导数及其应用.知识框架

要求层次重难点

导数及其应用导数概念及其

几何意义

导数的概念 A 了解导数概念的实际背景；

理解导数的几何意义．

导数的几何意义 C

导数的运算

根据导数定义求函数y c

=，

y x

=，2

y x

=，3

y x

=，

1

y

x

=，

y x

=的导数

C

能根据导数定义，求函数

23

y c y x y x y x

====

，，，，

1

y y x

x

==

，（c为常数）的导数．

能利用给出的基本初等函数的导数公式

和导数的四则运算法则求简单函数的导

数，能求简单的复合函数（仅限于形如

()

f ax b

+的复合函数）的导数．导数的四则运算 C

简单的复合函数（仅限于形如

()

f ax b

+）的导数） B

导数公式表 C

导数在研究函

数中的应用

利用导数研究函数的单调性（其

中多项式函数不超过三次）

C

了解函数单调性和导数的关系；能利用导

数研究函数的单调性，会求函数的单调区

间（其中多项式函数一般不超过三次）．

了解函数在某点取得极值的必要条件和

充分条件；会用导数求函数的极大值、极

小值（其中多项式函数一般不超过三次）；

会求闭区间上函数的最大值、最小值（其

中多项式函数一般不超过三次）．

会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式

函数不超过三次）

C

利用导数解决某些实际问题 B

定积分与微积

分基本定理

定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基

本思想，了解定积分的概念．

微积分基本定理 A

高考要求

模块框架

导数及其应用

了解微积分基本定理的含义．

一、导数的概念与几何意义

1．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，

则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y

x x

+?-?=

??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．

注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．

如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()()

f x x f x y x x

+?-?=

??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．

“当x ?趋近于零时，00()()

f x x f x x

+?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：

“当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()()

lim x f x x f x l x

?→+?-=?”，符号“→”读作

“趋近于”．

函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作

“当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()()

lim ()x f x x f x f x x

?→+?-'=?”．

3．可导与导函数：

如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．

导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

4.导数的几何意义：

设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与

00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()()

f x x f x y x x

+?-?=

??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即

000()()lim x f x x f x x

?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．

知识内容

x 0x

y x

O

D C

B A

二、导数的运算

1

注：ln e a =L ． 注意()x x e e '=．

2．导数的四则运算法则：

⑴函数和（或差）的求导法则：

设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，

即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：

设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，

即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．

由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：

设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2

()()()()()

()()f x g x f x f x g x g x g x '''??-=????

． 特别是当()1f x ≡时，有2

1()

()()g x g x g x ''??=-????

．

三、导数的应用

1．利用导数判断函数的单调性的方法：

如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数．

2．利用导数研究函数的极值：

已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．

极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．

（二）主要方法：

1．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；

第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；

第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变

负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．

2．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：

第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；

第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，

最小的为最小值．

四、导数与其它知识综合

1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容； 2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；

3．导数与三角函数的结合；

4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．

五、微积分与定积分基本定理

1．函数定积分：

设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-L ，，，，，．

记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式

1

0()n n i i i I f x ξ-==?∑．

当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数

()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作

()b

a

f x dx ?

，即

1

()lim ()n b

i i a

i f x dx f x λξ-→==?∑?

．

其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积．

2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()b

a S f x dx =?．

求曲边梯形面积的四个步骤：

第一步：分割．在区间[]a b ，

中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -，

()12i n =L ，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-，

第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．

第三步：求和． 第四步：取极限．

3．求积分与求导数互为逆运算．

()()()b

a

F x dx F b F a '=-?

，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．

4．微积分基本定理

如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()b

a

f x dx F b F a =-?，其中()F x 叫做()f x 的一个

原函数．

由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数． 一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a F x ， 因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()b

b a a f x dx F x F b F a ==-?．