2024王导数据结构综合应用题

2024王导数据结构综合应用题假设2024年，王导是一位深受学生喜爱的计算机科学导师。他设

计了一道综合应用题，旨在考察学生对数据结构的应用能力。以下是

题目内容和解答。

题目：

在2024年的某个国家，有许多城市需要进行道路规划。每个城市

可以通过道路连接到其他城市，形成一个网络。现有一份城市之间的

道路连接关系表，其中包含了城市之间可以直接通行的道路及其长度。请设计一个算法，找到所有城市之间的最短路径及其长度。

解答：

为了解决这个问题，我们可以使用图的最短路径算法。以下是一种

常用的算法——Dijkstra算法。

1. 创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的城市，初始时为空。

2. 创建一个数组dist，用于存放每个城市到起点的最短路径长度，

初始时所有元素为无穷大。

3. 选取一个起点，设置dist[起点]为0，并将起点加入集合S。

4. 对于起点相邻的每个城市，更新其到起点的最短路径长度，并将

其加入集合S。

5. 从剩余的城市中选取一个离起点最近的城市u，将它加入集合S。

6. 对于每个城市v，如果v不在集合S中且通过u可以找到更短的

路径，则更新其最短路径长度，并将其加入集合S。

7. 重复步骤5和步骤6，直到所有城市都加入集合S。

使用Dijkstra算法可以找到起点到所有城市的最短路径及其长度。

在这里可以使用优先队列（最小堆）来存储城市和最短路径长度的对

应关系，以提高算法效率。

接下来我们以一个具体的例子来说明算法的步骤。

假设有4个城市，用数字1、2、3、4代表，它们之间的道路如下：- 城市1和城市2之间有一条长度为5的道路。

- 城市1和城市3之间有一条长度为9的道路。

- 城市2和城市3之间有一条长度为2的道路。

- 城市2和城市4之间有一条长度为6的道路。

- 城市3和城市4之间有一条长度为3的道路。

现在我们以城市1为起点，按照Dijkstra算法的步骤来求解最短路

径及其长度。

1. 初始化操作：

- 集合S = {1}，dist = [0, ∞, ∞, ∞]，表示起点到各个城市的最短路

径长度。

2. 对于起点1的邻居城市，更新其最短路径长度：

- dist[2] = 5，表示从起点1到城市2的最短路径长度。

- dist[3] = 9，表示从起点1到城市3的最短路径长度。

3. 从剩余城市中选取最近的城市，加入集合S，并更新其邻居的最短路径长度：

- 选取城市2，将其加入集合S。

- 更新dist[3] = 5+2 = 7。

4. 重复步骤3，选取最近的城市，加入集合S，并更新其邻居的最短路径长度：

- 选取城市3，将其加入集合S。

- 更新dist[4] = 7+3 = 10。

5. 所有城市都已加入集合S，算法结束。最短路径及其长度如下：

- 从起点1到城市1的最短路径长度为0。

- 从起点1到城市2的最短路径长度为5。

- 从起点1到城市3的最短路径长度为7。

- 从起点1到城市4的最短路径长度为10。

通过逐步选择最短路径的方法，我们可以找到起点到所有城市的最短路径以及其长度。这个算法在城市规划中非常实用，可以帮助城市规划师确定最佳路线，以提高交通效率。

总结：

在这道综合应用题中，我们使用了Dijkstra算法来解决城市道路规划的最短路径问题。这个算法通过逐步选择最短路径的方式，找到起点到所有城市的最短路径及其长度。它是一种常用的图算法，可以在城市规划、网络通信等领域得到应用。为了提高算法效率，我们可以使用优先队列（最小堆）来存储城市和最短路径长度的对应关系。希望这道题目和解答对你的数据结构学习有所帮助！