高斯光束经透射型体光栅后的光束传输特性分析

目录

1 技术指标 (1)

1.1 初始条件 (1)

1.2 技术要求 (1)

1.3 主要任务 (1)

2 基本理论 (1)

2.1 高斯光波的基本理论 (1)

2.2 耦合波理论 (2)

3 建立模型描述 (4)

4 仿真结果及分析 (5)

4.1 角度选择性的模拟 (5)

4.1.1 不同光栅厚度下的角度选择性 (6)

4.1.2 不同光栅线对下的角度选择性 (7)

4.2 波长选择性的模拟 (8)

4.2.1不同光栅厚度下的波长选择性 (8)

4.2.2不同光栅线对下的波长选择性 (9)

4.3 单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (10)

4.4 多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (11)

5 调试过程及结论 (12)

6 心得体会 (13)

7 思考题 (13)

8 参考文献 (14)

高斯光束经透射型体光栅后的光束传输

特性分析

1 技术指标

1.1 初始条件

Matlab软件，计算机

1.2 技术要求

根据耦合波理论，推导出透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系式；数值分析平面波、谱宽和发散角为高斯分布的光束入射条件下，衍射效率受波长和角度偏移量的影响。

1.3 主要任务

1 查阅相关资料，熟悉体光栅常用分析方法，建立耦合波分析模型；

2 利用matlab软件进行模型仿真，程序调试使其达到设计指标要求及分析仿真结果；

3 撰写设计说明书，进行答辩。

2 基本理论

2.1 高斯光波的基本理论

激光谐振腔发出的基膜场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，称之为高斯脉冲光波。如图1所示为高斯脉冲光波及其参数的图。

图1 高斯脉冲光波及其参数图

沿z 方向传播的基膜高斯脉冲光波，其表达式的一般形式为：

()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=f z a r c t g R r z k i z r z c z y x 2e x p e x p ,,22200ωωψ （1） 公式（1）中，各个符号的含义：

0ω: 基膜高斯脉冲光束的腰班半径；

f ：高斯脉冲光波的共焦参数；

()z R ：与传播轴线相交于z 点的高斯脉冲光波等相位面的曲率半径；

()z ω：传播曲线相交于z 点的高斯脉冲光波等相位面的光斑半径。

公式（1）中，各符号的具体表达式：

()()2022222001;1;2;;;⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+===z f z z f z z R k y x r f f ωωλ

πλπωπλω

2.2 耦合波理论

如图2是用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。光

栅矢量K 垂直于边界平面，其大小为Λ=/2πK ，Λ为光栅周期，θ为入射角。

图2 布拉格光栅模型

R---入射波，S---信号波，Φ---光栅的倾斜角，0θ---再现光波满足布拉格条件时的入射角（与z 轴所夹得角）；K---光栅矢量的大小，d---光栅的厚度，r θ和s θ---再现光波和衍射光波与z 轴所夹的角度，Λ---光栅周期。

光波在光栅中的传播由标量波动方程描述

02

2=+∇E k E （2） 公式（2）中()z x E ,是y 方向的电磁波的复振幅，假设为与y 无关，其角频率为ω。公式（2）中传播常数()z x k ,被空间调制，且与介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ相关： ωμσεωj c k -=22

2 （3）

公式（3）中，在自由空间传播的条件下，c 是自由空间的光速，μ为介质的渗透率。在此模型中，介质常量与y 无关。布拉格光栅的界面由介质常数()z x ,ε和传导率()z x ,σ的空间调制表示：

()()

⎩⎨⎧⋅+=⋅+=X K X K cos cos 1010σσσεεε （4） 公式（4）中，1ε和1σ是空间调制的振幅，0ε是平均介电常数，0σ是平均传导率。假设对ε和σ进行相位调制。为简化标志，我们用半径矢量X 和光栅矢量K

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y x X ； ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=cos 0sin K ； Λ=K /2π 结合公式（3）和公式（4）

()

X jK X jK e e j k ⋅-⋅++-=κβαββ2222 （5） 此处引入平均传输常数β和平均吸收常数α

()λεπβ/2210=； ()21002/εσμαc = （6）

耦合常数κ定义为

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=21012101//241εσμεελπκc j （7） 耦合常数κ描述了入射光波R 和衍射光波S 之间的耦合光系。耦合常数是耦合波理论的中心参量。当耦合常数0=κ时，入射光波R 和衍射光波S 之间不存在耦合，因此也没有衍射存在。

光学介质通常由他们的折射率和吸收常数来表征。当满足如下条件时，运用平均传输常数β、平均吸收常数α和耦合常数κ等参量就十分方便。

αλπ>>n 2；()z n 12αλ

π>>；1n n >> （8） 公式（8）适用于几乎所有的实际情况。公式（8）中，n 为平均折射率，1n 是折射率空间调制的振幅，1α是吸收常数空间调制的振幅。其中，λ是自由空间的波长。在以上的条件下，可以写出具有较高精确度的平均传输常数β

λπβ/2n = （9）

和耦合常数κ

2//11αλπκj n -= （10）

3 建立模型描述

基于Kogelnik 耦合波理论，探讨高斯光束经过透射体光栅后的传输特性，推导透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系式，推导出两组变量之间的关系，即角度选择性与光栅线对、波长选择性与光栅线对，角度选择

性与光栅厚度、以及波长选择性与光栅厚度之间的光线。

同时，要数值分析平面波、谱宽和发散角为高斯分布的光束入射条件下，衍射效率受波长和角度偏移量的影响。

本次课程设计是利用matlab 软件对实验结果进行模拟的。

4 仿真结果及分析

4.1 角度选择性的模拟

讨论角度选择性时，假定波长的偏移量λ∆等于零，即不考虑光栅的波长选择性。角度的选择性讨论主要分为两种情况。

1角度选择性曲线中的水平选择角，即角度选择性曲线的主瓣半宽度。若角度选择性曲线中的水平选择角越大，则光栅的角度选择的范围越宽；若角度选择性曲线中的水平选择角越小，则光栅的角度选择的范围越窄。

2角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度，即衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小。若角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越高，则旁瓣对角度选择的影响越大；若角度选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越低，则旁瓣对角度选择的影响越小。

衍射效率随角度偏移量的变化而变化，这两者的关系由下式表示:

()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧Λ∆==++=θθθπξθλπξξ

ηcos cos cos /1sin 0

1221222d n v v v (11)

公式（11）中各符号的意义，以及运用matlab 进行数值模拟计算时所取数值如下： η----光栅的衍射效率；

n----所用介质的折射率，取值为1.76；

1n ----折射率调制度，取值为4104-⨯;

λ----写入光栅时的入射光波在真空中的波长，取值为610064.1-⨯m ；

d----记录介质的厚度，即光栅厚度，讨论其取值范围（1mm--1.8mm ）；

Λ----光栅周期，讨论起取值变化范围（800线对/mm —1600线对/mm ）；

θ∆----光波入射角，其大小为布拉格角度与角度偏移，即为所考察的角度选择性，讨论起变化范围为（ .101.0--）；

θ----光波入射角，其大小为布拉格角度与角度偏移之和，即θθθ∆+=0；

0θ----布拉格角，由介质折射率、入射光波长λ以及光栅周期Λ，其表达式为Λ=2/sin 0λθn 。

4.1.1 不同光栅厚度下的角度选择性

对公式（11）在matlab 上进行模拟，选取光栅线对为定值（1200线对/mm ），光栅的厚度在1mm —1.8mm 范围内变化。图3中图（a ）--图（d ）依次为光栅厚度d=1mm ，1.3mm ，

1.5mm ，1.8mm 下的角度选择性与衍射效率关系的曲线。

（a ） （b ）

（c ）

（d ） 图3 不同光栅厚度下的角度选择性 对比这4个图形，比较光栅的水平选择角和旁瓣高度随光栅厚度的曲线变化趋势，可

以得出结论：

当光栅厚度变大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变大。

4.1.2 不同光栅线对下的角度选择性

对公式（11）在matlab上进行模拟，选取d=1mm,为固定值。光栅线对在800线对/mm—1400线对/mm范围内变化。图4中图（a）-（d）依次为线对为800/mm、1000/mm、1200/mm、1400/mm下的角度选择性与衍射效率关系的曲线。

(a) (b)

(c) (d)

图4不同光栅线对下的角度选择性

对比这4个图形，比较光栅的水平选择角和旁瓣高度随光栅线对数目曲线变化趋势，可以得出结论：

当光栅线对增大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变化不明显。

4.2 波长选择性的模拟

讨论光栅的波长选择性时，假定角度的偏移量θ∆等于零，即不考虑光栅的角度选择性。对波长选择性曲线邪恶分析，主要讨论两个方面：

1 波长选择性曲线中的波长变化，若波长选择性曲线中的波长变化越大，则光栅的波长选择的范围越宽；若波长选择性曲线中的波长变化越小，则光栅的波长选择范围越窄。

2波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度，即衍射曲线旁瓣峰值相对于曲线中心峰值的大小。若波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越高，则旁瓣对波长选择的影响越大；若波长选择性曲线中的第一个旁瓣峰值高度越低，则旁瓣对波长选择的影响越小。

衍射效率随波长的偏移量的变化而变化，这两者的相互变化关系可由下式表示。

()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧Λ∆==++=θλπξθλπξξηcos 2cos /1sin 21221222n d

d n v v v （12）

公式（12）中各符号的意义，以及运用matlab 进行数值模拟计算时所取得数值如下： η----光栅的衍射效率；

n----介质的折射率，取值为1.52；

1n ----介质的折射率调制度4104-⨯；

λ----写入光栅时的入射光波在真空中的波长，取值为610064.1-⨯m;

θ----光波入射角；

Λ----光栅周期，讨论其取值变化范围（800线对/mm —1600线对/mm ）；

d----记录介质的厚度，即光栅厚度（1mm —1.8mm ）；

λ∆----波长偏移，即波长选择性，其取值范围为（6101-⨯m--6103-⨯m ）；

0θ----布拉格角，由介质折射率、入射光波长以及光栅周期确定，其表达式为Λ=2/sin 0λθn 。

4.2.1不同光栅厚度下的波长选择性

对公式（11）在matlab 上进行模拟，选取光栅线对为定值（1200线对/mm ），光栅的

厚度在1mm—1.8mm范围内变化。图5中图（a）--图（d）依次为光栅厚度d=1mm，1.2mm，1.4mm，1.6mm下的波长选择性与衍射效率关系的曲线。

（a） (b)

(c) (d)

图5 不同光栅宽度下的波长选择性

对比这4个图形，总结图中光栅的波长变化和旁瓣高度随光栅厚度的曲线变化趋势，可以得出结论：

当光栅厚度变大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变大。

4.2.2不同光栅线对下的波长选择性

对公式（11）在matlab上进行模拟，选取d=1mm,为固定值。光栅线对在800线对/mm—1400线对/mm范围内变化。图6中图（a）-（d）依次为线对为800/mm、1000/mm、1200/mm、1400/mm下的波长选择性与衍射效率关系的曲线。

（a ） （b ）

（c ）

（d ） 图6 不同光栅线对下的波长选择性 对比这4个图形，总结图中光栅的波长变化和旁瓣高度随光栅线对数目变化的曲线变化趋势，可以得出结论：

当光栅线对增大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变化不明显。

4.3 单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性

透射型体光栅的布拉格条件是

Λ=2/sin λθn m （13） 单色发散的高斯光束，如果在光束的传播方向上满足透射型体光栅的布拉格条件，即公式（13），则归一化光束强度公式可以写为

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣⎪⎭ ⎝-=12exp ,b b G θ （14） 其中，m θθ-为角度变化量，b 为发散角，对于一个有限的衍射光束直径为D 的光束，它的发散角可表示为 D

b πλ02= （15） 结合公式（11）与公式（13），可以得出单色发散的高斯光束的衍射效率公式：

()()()⎰

=θθθηπηθd b G b b ,121 （16） 根据公式（16），在matlab 上编写程序进行仿真，可以得到发散角与衍射效率的关系图。

图7 单色发散光束经透射型体光栅衍射效率与发散角关系图

4.4 多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性

多色平面波经透射型布拉格体光栅满足布拉格条件，则它的归一化光束强度公式可以写为

⎥⎥⎦⎢⎢⎣

⎪⎭ ⎝-=22exp ,w w G λ （17） 公式（17）中w 为角谱宽度，0λλ-为波长变化量。结合公式（12）与公式（17）可以得出多色平面波经透射型布拉格体光栅后的衍射效率公式：

()()()λλληπηλd w G w

w ,122⎰= （18） 根据公式（18），在matlab 上编写程序进行仿真，可以得到发散角与衍射效率的关系图。

图8 多色平面波衍射效率与角谱宽度关系图

5 调试过程及结论

通过耦和波理论的学习及理解，以及在matlab 软件上的不断调试与验证，调试过程中遇到不少困难，有matlab 程序出错的，也有出图但是与结果不符合的，但通过不断的尝试以及不断查找资料，终于得到了透射体光栅性能参量(角度和波长选择性)与光栅参数(光栅周期，光栅厚度等)之间的关系，得出如下结论：

1当光栅厚度变大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变大。

2当光栅线对增大时，光栅的选择角度变小，旁瓣高度变化不明显。

3当光栅厚度变大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变大。

4当光栅线对增大时，光栅的波长变化变小，旁瓣高度变化不明显。

与此同时，通过学习高斯光束的两种不同形式--单色发散光束和多色平面波，在matlab软件上不断调试，学习用数值积分函数quad来解决积分问题，最终得到光束衍射效率与谱宽及发散角的关系。

衍射效率随着发散角以及谱宽的增大而减小。

6 心得体会

经过这一个多星期的努力，此次课程设计终于接近尾声了，这一多星期，我们通过查资料、学习新知识、预答辩、编程序、仿真调试以及最后的报告的书写，虽然辛苦，但收益良多。

首先，此次课程设计帮助我们巩固了信息光学的知识，进一步理解光栅、高斯光束等一系列知识。其次，此次课程设计有设计到许多新的知识，这又是对自己的一种挑战，对自己自学能力的挑战。这次课程设计涉及到耦合波理论、体光栅等一系列新知识，都需要自学，我只能通过老师给予的资料以及网络尽可能得去理解它；与此同时，此次课设需要用matlab来编写，由于之前matlab没学好，这也得重新学习，这样负担很重。但是，我们都坚持下来了，不懂的同学间讨论以及向老师咨询，尽可能去理解。终于我们有对新知识有一定的理解，这样一步步完成课设的技术要求。此次课设虽然遇到了许多困难与艰辛，但是学到了很多知识。

最后，我想这次的课程设计也是一种锻炼自己学习能力的过程，体现了我们自主学习，自主分析，自我督促的态度。这一过程弥补了被动教学的不足，对我们的个人能力的提升也有很大的作用。自主设计程序、自主学习新的知识、学习使用新的软件，学会了使用matlab软件，这为以后的学习以及进一步的学习都有很大的帮助。

7 思考题

1透射型体光栅的布拉格条件是什么？

答：透射型体光栅的布拉格条件是Λ=2/sin λθn m

2 体光栅有哪些应用领域？

答：体光栅可作为透镜，用于制作基本光学元件，如平板透镜元件、波面变换器件、波分复用器件等；还可以与其他器件组合可在光电集成系统、激光收发器系统中有广泛应用前景。

8 参考文献

[1] 苏显渝,李继陶.信息光学.科学出版社，2007年12月.

[2] 谢敬辉,赵达尊，阎吉祥.物理光学.北京理工出版社，2007年10月.

[3] Igor V. Ciapurin , Leonid B. Glebov ,. Modeling of phase volume diffractive gratings . Optical Engineering ，January 2006.

[4]周炳琨,高以智.激光原理.国防工业出版社，2009年1月.

[5]常巍,谢光军，黄朝峰.MATLAB 基础与提高.电子工业出版社，2007年9月.