第四章 Laplace方程的格林函数法

第四章 Laplace 方程的格林函数法

在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace 方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace 方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 Laplace 方程边值问题的提法

在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace 方程

2

2

2

2

2

2

2

u u u u u x

y

z

????=?≡

+

+

=???

作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace 方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。

（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即

u

f

Γ

= （4.1）

第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。

Laplace 方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace 方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。

（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在

Ω+Γ

上连续，在Γ上任一点处法向导数

u n

??存在，并且等于已知函数f

在该点的值：

u f

n

Γ

?=? （4.2）

这里n 是Γ的外法向矢量。

第二边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。

以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace 方程的解，这样的问题称为内问题。

在应用中我们还会遇到Dirichlet 问题和Neumann 问题的另一种提法。例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件u

f

Γ

=，这里Γ是Ω的边界，f

表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。

由于Laplace 方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件：

lim (,,)0(r u x y z r →∞

==

（4.3）

（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数

f

，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在

'Ω+Γ

上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件（4.3），

并且它在边界Γ上取所给的函数值

u

f

Γ

= （4.4）

（4）纽曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它闭曲面Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件（4.3），而且它在Γ上任一点的法向导数u n

??存在，满足

u f

n Γ

?='

? （4.5）

这里'n 是边界曲面Γ内内法向矢量。

重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。 §4.2 格林公式

为了建立Laplace 方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则是曲面积分中高斯公式的直接推论。

设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,)P x y z ，

(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 是在Ω+Γ

上连续，在Ω内具有一阶连续偏导数的任

一函数，则成立如下的高斯公式

(

)[cos(,)cos(,)cos(,)]P Q R dV P x Q y R z dS

x

y

z

Ω

Γ

???+

+

=

++??????

??

n n n （4.6）

其中d V 是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，d S 是Γ上的面积元素。

下面来推导公式（4.6）的两个推论。

设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内

具有连续的所有二阶偏导数，在（4.6）中令

,,v v v P u

Q u

R u

x y z

???===???

则有

()(

)u v u v u v v u v dV dV u

dS

x x

y y

z z

n

Ω

Ω

Γ

????????+

+

+

=

??????????

???

??

或

()v u v dV u

dS u vdV

n

Ω

Γ

Ω

??=

-

??????

??

???

（4.7）

（4.7）式称为第一格林公式。

在公式（4.7）中交换,u v 位置，则得

()u v u dV v

dS v udV

n

Ω

Γ

Ω

??=

-

??????

??

???

（4.8）

将（4.7）与（4.8）式相减得到

()()v u u v v u dV u

v

dS

n

n

Ω

Γ

???-?=

-?????

??

（4.9）

（4.9）式称为第二格林公式。

利用格林公式可以推出调和函数的一些基本性质。 （ⅰ）调和函数的基本表达式

所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值。为此，构造一个函数

1v r

=

=

（4.10）

函数1r

除点0M 外处处满足Laplace 方程，它在研究三维Laplac 方程中起着重要的作用，通常称它为三维Laplace 方程的基本解。由于1

v r

=在

Ω

内有奇异点0M ，我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半

径的球面εΓ，在Ω内挖去εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图4-1），在K εΩ-内直至边界上1

v r =是任意次连续可微的，在公式（4.9）中取

u

为调和函数，并假定它在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，而取1

v r

=，并

以K εΩ-代替该公式中的Ω，得

1

()

111()[]K u r u u dV u

dS r r n r n

ε

ε

Ω-Γ+Γ???-?=-?????

?? （4.11）

因为在K εΩ-内0u ?=，10r

?

=。而在球面ε

Γ上 2

11()()11

r r n r r ε

??=-==??

因此

2

22

1

()

11

44r u dS udS u u

n ε

ε

πε

πε

ε

ΓΓ?==

=???

??

其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值。

同理可得

11

4(

)u

u

u dS dS r n

n

n

ε

ε

πεε

ΓΓ???=

=?????

??

此处(

)u n ??是

u n

??在球面εΓ上的平均值。将此二式代入（4.11）可得

1()

1[]44()0u u r u dS u n r n

n

ππεΓ???-+-=?????

现在令0

ε

→，由于0

l i m ()u u M ε→∞

=（因为(,,)u x y z 是连续函数），

lim 4(

)0u n

επε→∞

?=?（因为(,,)u x y z 是一阶连续连续可微的，故u n

??有界），则

得

011

1()()[()

(

)]4M M M M u M u M u M dS

n r r n

π

Γ

?

?=-

-

????

（4.12）

此处为明确起见，我们将r =

M M r

。

（4.12）说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式（4.12）用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示。

（ⅱ）Neumann 问题有解的必要条件

设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式（4.9）中取u 为所给的调和函数，取1v ≡，就得到

0u

dS n

Γ

?=???

（4.13）

由（4.13）可得Neumann 问题（u f

n

Γ

?=?）有解的必要条件为函数f 满

足

0fdS Γ

=??

（4.14）

事实上，这个条件也是Neumann 内问题有解的充分条件，证明见其他证明材料。

（ⅲ）平均值公式

设函数()u M 在某区域Ω内是调和的，0M 是Ω内任一点，a K 表示以0M 为中心，以a 为半径且完全落在Ω内部的球面，则成立下列平均值公式

02

1()4a

K u M udS

a

π=

??

（4.15）

要证明这个公式，只要将公式（4.12）应用域球面a K ，并注意在

a

K 上

11r

a

=

，

2111

()()n r r r a

?

?==-??，以及

110a

a

K K u

u

dS dS r n

a

n

??=

=????

??

即可。

（ⅳ）Laplace 方程的解惟一性问题

现在利用格林公式讨论Laplace 方程解的惟一性问题，将证明如下结论：Dirichlet 问题在12()()C C Ω?Ω内的解是惟一确定的；Neumann 问题的解除了相差一个常数外也是惟一确定的。

以12,u u 表示定解问题的两个解，则它们的差12v u u =-必是原问题满足零边界条件的解。对于狄氏问题，v 满足

0,0

v v Γ?=Ω???

=??在内

（4.16）

对于Neumann 问题，v 满足

0,0v v

n

Γ?=Ω??

??=?

??在内 （4.17）

下面来说明满足条件（4.16）的函数1()v C ∈Ω，则在Ω内恒为零；满足条件（4.17）的函数Ω内为一常数。

事实上，在公式（4.8）中取12u v u u ==-，则得

2

0()v v

dS v dV

n

Γ

Ω

?=

-

????

???

由条件（4.16）或（4.17）得

2

()0v dV Ω

?=???

故在Ω内必有

v v =?=grad 0

即

0v v v x

y

z

???=

=

=???，或v C ≡。对于狄氏问题，由0v

Γ

=，得0C =，故0v =。

需要注意得氏，这里我们仅证明了狄氏问题在12()()C C Ω?Ω内的

解是惟一的，其所以要假定1()u C ∈Ω，只是为了应用格林公式（4.9）。其实这个要求是多余的，利用调和函数的极值原理，可以证明狄氏问题在12()()C C Ω?Ω内的解是惟一的。关于这一点，见其他参考材料。 §4.3 格林函数

公式（4.12）说明了一个调和函数可以用这个函数在边界上的值及其在边界上的法向导数来确定它在区域Ω内值。但这个公式不能直接提供狄氏或Neumann 问题的解，因为公式公式中既包含u Γ又包含了

u n

Γ

??。对于狄氏问题而言，u Γ是已知的，但

u n

Γ

??不知道，并且由

解的惟一性可知，当给定了u Γ以后就不能再任意给定u n

Γ

??。所以要

想从（4.12）得到狄氏问题的解，就必须消去u n

Γ

??，这就需要引进格

林函数的概念。

在公式（4.9）中取,u v 均为Ω内的调和函数，且在Ω上有连续的一阶偏导数，则得

0()u v v

u

dS

n

n

Γ

??=

-????

（4.18）

将（4.12）与（4.18）相减得

011

1(){[

(

)](

)

}44M M M M v u u M u v dS

n

n r r n

ππΓ

??

?=

-

+-?????

（4.19）

如果能选取调和函数v ，使满足

14M M v

r πΓ

Γ

=

（4.20）

则（4.19）中的

u n

Γ

??项就消失了，于是有

01

()(

)4M M u M u

v dS

n r πΓ

?

=--??? （4.21）

令

01(,)4M M G M M v

r π=

- （4.22）

则（4.21）可表为

0()G u M u

dS

n

Γ

?=-???

0(,)G M M 被称为Laplace 方程的格林函数。如果格林函数0(,)G M M 表

达式中的调和函数一经求得，并且它在闭区域Ω上存在连续的一阶偏导数，则狄氏问题

0,()

u u f M Γ?=Ω???=??在内

的解若存在（且在Ω上是一次连续可微的），这个解必然能表示为

0()()

G u M f M dS

n

Γ

?=-??? （4.23）

对于泊松方程的狄氏问题

,u F u f

Γ?=Ω???=??在内

而言，若存在Ω上一次连续可微的解，这个解必能表示为

0()()

G u M f M dS G F dV

n

Γ

Ω

?=--

??????

.

这样一来，对任意函数f 求解Laplace 方程或Poisson 方程的狄氏问题就转化为求此区域内的格林函数。从（4.22）可知，确定格林函数又必须解一个特殊的狄氏问题

00,14M M v v r πΓ

Γ

?=Ω??

?

=??

在内

（4.24）

虽然对于一般的区域，求解问题（4.24）也不是一件容易的事，但公式（4.23）还是有重要意义的，因为：（1）格林函数仅依赖于区域，而与原定解问题中所给的边界条件无关，只要求得了某个区域的格林函数，就能一劳永逸地解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题；（2）对于某些特殊的区域，如球，半空间等，格林函数可以用初等方法求得。

格林函数在静电学中有明显的物理意义。设在闭曲面Γ内一点0M 处放一个单位正电荷，则它在Γ面内侧感应有一定分布密度的负电荷，而在Γ外侧分布有相应的正电荷。如果曲面Γ是导体并接地，则外侧正电荷就消失，且电位为零。这是Γ内任意一点M 的电位是由二种电荷产生的，一是点0M 处单位正电荷，由它产生的电位为0

14M M r π（在有理化单位制中，这个电位应为0

14M M r πε，此处为了方便，取介

质的介电系数1ε

=），二是在Γ

内感应的负电荷，由它产生的电位为v ，

v 是定解问题（4.24）的解。因此，格林函数就是导电曲面Γ

内的电

位。

§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解

从（4.23）可知，对于一个曲面Γ所围成的区域Ω，只要求出了它的格林函数，则在这个区域内狄氏问题的解就能以积分形式表示出来。对于某些特殊的区域，它的格林函数可以用电象法求得。所谓电象法就在区域Ω外找出0M 关于边界Γ的象点1M ，然后在这个象点放

置适当的负电荷，由它产生的负电位与0M 点单位正电荷所产生的正电位在曲面Γ上互相抵消，由于0M 在Γ内部，它关于Γ的象点1M 则在

Γ

的外部，所以，放在1M 处的点电荷所形成的电场的电位在Γ内部是

调和函数v ，而且根据要求，有0

14M M v

r πΓ

Γ

=

，故在0M 与1M 处两个点

电荷所形成电场在Γ内的电位就是所要求的格林函数。下面以半空间、球域为例说明电象法的应用。

4.4.1 半空间的格林函数

求解Laplace 方程在半空间0z ≥内的狄氏问题，就是求函数

(,,)u x y z 使适合

222222

00,0(,),,z u u u

z x y z u

f x y x y =????++=>??????=-∞<<+∞

? （4.25）

首先找格林函数0(,)G M M ，在半空间0z >的0000(,,)M x y z 点置单位正电荷，并找出0M 关于0z =的平面对称点1000(,,)M x y z -（图4.2），在1M 点置单位负电荷，则它与0M 点的单位正电荷所产生的电位在平面

0z =上互相抵消。由于

1

14M M r π在上半空间0z >内为调和函数，在闭域

0z ≥上具有连续的一阶偏导数，因此

1

01

1

1(,)[

]4M M M M G M M r r π=

-

（4.26）

就是半空间0z >的格林函数。

为了求得（4.25）的解，计算

G z n ?=?，由于在平面0z =上的外法

线方向是O z 轴的负向，所以有

2

2

232

0000

2

2

232

0000

2

2

232

00000

1{

4[()()()]

}[()()()]1

2[()()()]

z G G z z n z z z x x y y z z z z x x y y z z z x x y y z z ππ=??=-

==??-=-+-+-+--+-+-=-

-+-+- （4.27）

将（4.27）代入（4.23）中，得到问题（4.25）的解为

0000

2

2

232

000(,,)1(,)2[()()()]

u x y z z f x y dxdy

x x y y z z π

+∞+∞-∞

-∞

=-+-+-??

（4.28）

4.4.2 球域的格林函数

设有一球心在原点，半径为R 的球面Γ，在球内任取一点

000 (=)O M M r ρ，连0O M 并延长至1M 使0

1

2

OM OM r r R

= ，点1M 称为0M 关于球

面Γ的反演点（图4.3）。以1ρ表示1

O M r

，则2

1R

ρ

ρ=。

在0M 放置单位正电荷，在1M 放置q 单位的负电荷，我们要适当选择q 的值，使得这两个电荷所产生的电位在球面Γ上相互抵消，即

01144M P

M P

q r r ππ=

，

或

10M P M P

r q r =

，

其中P 使球面Γ上任一点。由于1OM P 与0O M P 在点O 它们有公共角，且夹这角的两边成比例

1

R

R ρρ=，因此这两个三角形是相似的，从而有

100

M P M P

r R

r ρ=

，

故

R

q ρ=

。

即只要在点1M 放置放置

R

ρ单位的负电荷，由它所形成电场的电位

104M M

R v r πρ=

不仅在Γ所围成的球域Ω的内部是调和函数，在Ω+Γ上一

次连续可微，且在Γ上满足

010144M M

M M

R r r ππρ=

ΓΓ

即

01011

[]0

4M P

M

P

R

r r πρ-

= （4.29）

所以，球域的格林函数为

010011(,)()4M M

M

M

R

G M M r r π

ρ=

-

（4.30）

现在利用格林函数求球域内的狄氏问题

0,u u f Γ

?=Γ???

=??在内部, 的解。为此，要算出

G n ?Γ

?，注意到

1M M r =

1

1M M r =

其中O M

r ρ

=，γ是0O M 与O M 的夹角（当然也是1O M 与O M 的夹角），

于是

02

011(,)4)

G M M R πρρ=

-

=

在球面Γ上，

02

2

32

002

2002

2

2

4

32

0022

2

2

32

00cos 1{

4(2cos )

(cos )}(2cos )

1

4(2cos )

R

R

G G n

R R R R R R R R ρρρργ

ρ

π

ρρρργρρργρρρργρπρργ==-??==-

??+---

-+-=-

+-

代入（4.23）可得球内狄氏问题的解为

22

02

2

32

001()4(2cos )

R u M fdS

R

R R ρπρργΓ

-=

+-??

（4.31）

或写成球坐标的形式

22

20

0002

2

32

00(,,)(,,)

sin 4(2cos )

R R u f R d d R R ππ

ρρθ?θ?θθ?π

ρργ-=

+-??

（4.32）

其中000(,,)ρθ?为点0M 的坐标，(,,)R θ?是球面Γ上点P 的坐标，cos γ是

0O M 与O P

夹角的余弦。因为向量0O M ，O P 的方向余弦分别为

00000(sin cos ,sin sin cos )θ??θθ与(sin cos ,sin sin ,cos )

θ?θ?θ，

所以

0000000cos cos cos sin sin (sin sin cos cos )cos cos sin sin cos()

γθθθθ????θθθθ??=++=+-.

公式（4.31）或（4.32）称为球的Poisson 公式。

以上推导都是形式上的，即在假定定解问题有解的条件下得到解的表达式，至于（4.28）与（4.32）是否就是相应定解问题的解，还应加以验证。验证过程省略。