同角三角函数关系

1．2.2 同角三角函数关系

已知sin α－cos α＝－5

5，180°＜α＜270°，你能求出tan α的

值吗？你能化简sin θ－cos θ

tan θ－1

吗？……

为此，我们有必要研究同角三角函数的关系．

1．同角三角函数的平方关系是________________，使此式成立的角α的范围是________________．

2．同角三角函数的商数关系是________________，使此式成立的角α的范围是________________．

3．同角三角函数关系式是根据________________推导的． 4．sin 2α＋cos 2α＝1的变形有__________、__________．

5．tan α＝sin α

cos α的变形有__________、__________．

6．“1”的代换式有：1＝___________________________＝ ________________________________．

7．知道角α的某一三角函数值求另外两三角函数值时，如果角α所在象限指定则结果只有________组解，如果角α所在象限没有指定，一般应有________组解．

8．1＋tan 2θ＝____________________，θ的取值范围是______________________．

答案：1．sin 2α＋cos 2α＝1 (－∞，＋∞) 2．tan α＝sin αcos α

????

??α???α≠k π＋π2，k ∈Z

3．三角函数定义

4．sin 2α＝1－cos 2α cos 2α＝1－sin 2α 5．tan αcos α＝sin α cos α＝sin α

tan α

6．sin 2α＋cos 2α tan 45° 7．一 二

8.1

cos 2θ ????

??θ???θ≠k π＋π2，k ∈Z

同角三角函数关系

平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

商数关系：sin α

cos α

＝tan α

?

?

?

?

?

α≠kπ＋

π

2，k∈Z

.

这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个三角函数(在使得函数有意义的前提下)关系都成立．

同角三角函数关系的应用

1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．

2．利用同角关系可以进行三角函数式的化简．

化简要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．

3．证明三角恒等式．

基本原则：由繁到简．

常用方法：左→右；右→左；左?右．

基础巩固

1．若α为第二象限角，则sin2α－sin4α可化为(C)

A ．sin α－sin 2α

B ．sin αcos α

C ．－sin αcos α

D ．sin 2α－sin α

2．若f (sin x )＝2cos x ＋1，则f ? ??

??

12等于( )

A.3＋1 B ．1－ 3 C ．1＋3或1－ 3 D ．2

解析：由sin x ＝1

2求出cos x ，然后再代入函数关系式．

答案：C

3．已知sin α＝255，π

2≤α≤π，则tan α＝________．

答案：－2

4．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.1

2 C.3

2

D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.

答案：D

5．下列各式中与1－2sin 2cos 2相等的是( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2＋cos 2 D ．－sin 2－cos 2

解析：“1”的代换，1＝sin 22＋cos 22，同时要注意sin 2＞0，cos 2＜0.

答案：A

6．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．

解析：由??

?cos α＋2sin α＝－

5，sin 2α＋cos 2α＝1

?

???sin α＝－2

5

，

cos α＝－15.

∴tan α＝sin α

cos α＝2.

答案：2

7．cos α＝3sin α，0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( ) A ．±

310 B.310 C.310 D ．±3

10

解析：所求式子可化成sin α·cos α

sin 2

α＋cos 2

α

(齐次分式)，分子、分母同

除以cos 2α.

答案：B 8．若

sin α＋cos α

2sin α－cos α

＝2，则tan α的值为( )

A ．1

B ．－1 C.34 D ．－4

3

解析：分子、分母同除以cos α.

答案：A

9．sin 2x ＋sin 2y －sin 2x sin 2y ＋cos 2x cos 2y ＝________． 解析：sin 2x ＋sin 2y －sin 2x sin 2y ＋cos 2x cos 2y ＝sin 2x ＋sin 2y (1－sin 2x )＋cos 2x cos 2y ＝sin 2x ＋sin 2y cos 2x ＋cos 2x cos 2y ＝sin 2x ＋cos 2x (sin 2y ＋cos 2y ) ＝sin 2x ＋cos 2x ＝1. 答案：1

能力升级

10．A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝2

3，则△ABC

是________三角形．

解析：∵sin A ＋cos A ＝2

3，

∴sin A cos A ＝－5

18＜0.∴A 为钝角．

答案：钝角

11．设a 为常数，且a >1，0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为________．

解析：f (x )＝1－sin 2x ＋2a sin x －1＝－(sin x －a )2＋a 2. ∵a >1，0≤x ≤2π，∴当x ＝π

2

时，f (x )max ＝

2a －1. 答案：2a －1

12．已知tan α＝m ，α是第二象限角，则sin α的值等于( ) A.1＋m 21＋m 2 B ．－1＋m 21＋m 2

C ．±m 1＋m 21＋m 2

D ．－m 1＋m 21＋m 2

解析：由tan α＝m ，得1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1

cos 2

α＝1＋m 2

.∴cos 2

α＝1

1＋m

2

.∴cos α＝－1

1＋m

2

.故sin α＝tan α·cos α＝m ·? ??

??

?－1

1＋m 2＝－m 1＋m

2

.

答案：D

13．如果sin θ＋cos θ＝－15(0＜θ＜π)，则tan θ的值为( )

A ．－43 B.43 C ．±43 D ．－34

解析：sin θ＋cos θ＝－1

5，平方得

sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1

25.

故2sin θcos θ＝－24

25＜0.

∴θ为钝角，1－2sin θcos θ＝49

25

.

∴(sin θ－cos θ)2

＝4925，sin θ－cos θ＝75(－7

5

舍去)．

由?????sin θ＋cos θ＝－15，sin θ－cos θ＝75??????sin θ＝35，

cos θ＝－4

5，

∴tan θ＝－34.

答案：D

14．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？

解析：假设存在，设直角三角形两个锐角为α，β，则sin α，sin

β是方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．∵α＋β＝90°，∴sin β＝cos α.

由根与系数的关系，得

?????sin α＋cos α＝－3k

4

， ①

sin α·cos α＝2k ＋18， ②

①2－2×②，整理得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－

109

. 当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ＝144－160<0，所以原方程无解，k ＝2舍去．将k ＝－10

9代入②，得sin α·cos α＝sin

α·sin β＝－11

72，∴sin α，sin β异号，应有sin α<0或sin β<0.实际

上sin α>0，sin β>0，∴k ＝－10

9

不满足题意，∴k 值不存在．

1．2.3 三角函数的诱导公式

设0°≤α≤90°，对于任意一个0°到360°的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立．

β＝??

???α，当β∈[0°，90°]，

180°－α，当β∈[90°，180°]，180°＋α，当β∈[180°，270°]，360°－α，当β∈[270°，360°].

思考：180°－α，180°＋α，360°－α的三角函数值与α的三角函数值有怎样的关系呢？

1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式．

2．掌握诱导公式二至公式六及其应用．

1．设α为任意角，角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则角－α的终边与单位圆的交点P1的坐标是________，角π－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是________，角π＋α的终边与单位圆的交点P3的坐标是________．

2．诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝______，cos(2kπ＋α)＝________，tan(2kπ＋α)＝________，k∈Z.

3．诱导公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________．

4．诱导公式三：sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________．

5．诱导公式四：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________．

6．利用诱导公式求任意角的三角函数值，步骤如下：

任意角的三角函数――→

利用

0°～360°的角的三角函数――→

利用

锐角三角函数――→

查表求值(特殊角取特殊值)

7．△ABC中，sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________．

8．α与π

2－α的终边关于直线________对称．

9．诱导公式五：sin ? ????π2－α＝____________，cos ? ??

??

π2－α＝

________．

10．诱导公式六：sin ? ????π2＋α＝____________，cos ? ??

??

π2＋α＝

________．

11．六组诱导公式可以概括成________，________．

12．学习诱导公式的目的之一是把求任意角的三角函数值转化为求____________________．

13．在△ABC 中，sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B

2

＝________．

诱导公式

诱导公式如下表所示：

诱导公式的运用

1．运用诱导公式化简、求值的前提条件是熟记上述诱导公式．上述诱导公式可概括为一句口诀“奇变偶不变，符号看象限”．也就是诱导公式左边的角可统一写成k ·π

2±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时，

公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变(即左边为正弦则右边为余弦，左边为余弦则右边为正弦)，当k 为偶数时，公式等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k ·π

2±α为第几象限，以及左边的三

角函数在该象限的符号即为公式右边的符号．

2．利用诱导公式可以化简任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化小，化到锐角就行了”．

用诱导公式求三角函数式的值

已知cos(75°＋α)＝1

3，其中α为第三象限角．求cos(105°－

α)＋sin(α－105°)的值．

分析：从被求式和已知式的角度看，关键是寻求到75°＋α与105°－α之间的关系，我们发现(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，这样有关系式105°－α＝180°－(75°＋α)，就可以用诱导公式了．

解析：cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.

sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．

又cos(75°＋α)＝1

3＞0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四

象限角，则有

sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）

＝－

1－? ??

??－132 ＝－22

3

.

∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－1

3

.

方法指导：(1)解答本题的关键是发现105°－α与75°＋α之间的关系，即(105°－α)＋(75°＋α)＝180°.这为应用诱导公式化简本题找到入手之处．

(2)使用平方关系，出现开方运算时，需由角所在象限来确定根号前的“±”号．而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题．

(3)已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他三角函数值．若给定具体数值，但未指定角α所在象限，就需要进行分类讨论．

变式训练

1．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2 013)＝－1，则f (2 014)等于( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2 利用诱导公式化简三角函数

化简：sin ? ????k π＋23πcos ?

????

k π－π6(k ∈Z)．

分析：分k 为奇数和偶数进行讨论． 解析：(1)当k ＝2n (n ∈Z)时，

原式＝sin ? ????2n π＋23π·cos ?

?????2n π－π6 ＝sin 23πcos π6＝sin π3cos π6＝32×32＝34.

(2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，

原式＝sin ? ?????2n π＋π＋2π3cos ?

?????2n π＋π－π6 ＝sin ?

?????2π－π3cos ?

?????π－π6 ＝?

?????－sin π3? ?????－cos π6 ＝? ????－32×? ????－32

＝3

4

.

综合(1)(2)式可知，原式＝3

4

.

◎规律总结：归纳到一般有：sin(k π＋α)＝(－1)k sin α(k ∈Z)，cos(k π－α)＝(－1)k cos α(k ∈Z)．

思考：sin(k π－α)＝？cos(kπ－α)＝？sin ? ?????k π2±α＝？cos ?

??

?

??k π2±α＝？以上均有k ∈Z.

变式训练 2．化简：

sin （2π－α）cos （π＋α）cos ? ??

??π2＋αcos ? ???

?

112π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ? ??

?

?

9π2＋α.