玻色统计和费米统计

玻色分布和费米分布

玻色分布和费米分布 现对费米分布推导如下 ： 对 ()∏-=Ωl l l l l D F a a !!! ..ωω 取对数得：()[] ∑---=Ωl l l l l D F a !ln !ln !ln ln ..εωω N>>1 ， 若假设a l >>1 ， ωl >>1可得到： ()()[]∑----=Ωl l l l l l l l l D F a a a a ωωωωln ln ln ln .. 约束条件： ∑=l l N a ； ∑=l l l E a ε 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β则拉格朗日函数为：l l l l l l D F a a a E N δβεαωβδαδδ∑??? ? ??++-- =--Ωln ln .. 若令上式为零，则有：0ln =++-l l l l a a βεαω ， 即 上式给出了费米系统粒子的最概然分布，称为费米——狄拉克分布。 玻色分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 6．8 三种分布的关系 1 、由 ∑=l l N a ∑=l l l E a ε确定拉氏乘子a 和β的值. 在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量而由∑=l l l a εE 确定系统的内 能.或将a 和β都当作由实验确定的已知参量,而由 ∑=l l N a ∑=l l l E a ε确定系统的平均 总粒子数和内能. 2 、能级的εl 有ωl 个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS 的量子态S 上的平均粒子数为: s s s a f ω= 即: s s s a f ω= 定域系统 ：s e βεα-- 费米系统：11++s e 玻色系统： 1 1 ++s e βεα 总粒子数和能量可分别表示为: N = ∑s s f 定域系统 = ∑--s S e βε α “+”费米系统 “-”玻色系统 = ∑±+s S e 1 1 βεα

第八章 玻色统计和费米统计教案

热力学与统计物理课程教案

第八表 玻色统计和费来统计 8.1 热力学量的统计表达式 一、非简并气体和简并气体 第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件可以表达为： 122 3 2>>?? ? ??= h mkT πN V e α 或 122 32 3 <

费米狄拉克统计

费米–狄拉克统计[编辑] 维基百科，自由的百科全书 （重定向自费米-狄拉克统计） 费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。 这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。[1][2] 费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。 目录 [隐藏] ? 1 概述 ? 2 历史 ? 3 费米–狄拉克分布 o 3.1 粒子的能量分布 ? 4 量子范畴和经典范畴 ? 5 参考文献 ? 6 相关条目 概述[编辑] 函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一 个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们 处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即 在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难 想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称 为最可几分布）时，体系总状态数为：

第八章 玻色统计和费米统计

159 第八章 玻色统计和费米统计 8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 ln .S k Ω= 解: 对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4）） ()! ,!! l l l l l Ωa a ωω=-∏ （1） 取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7）） ()()ln ln ln ln .l l l l l l l l l Ωa a a a ωωωω=----????∑ （2） 另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为 () ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN U αβαβαβ???? =-- ? ????=++ ()ln ,l l l k Ξa αβε?? =++???? ∑ （3） 其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13）） () ln ln 1.l l l Ξe αβεω--=+∑ （4） 由费米分布 e 1 l l l a αβεω+= + 易得 1e l l l l a αβεωω--+= - （5） 和 ln .l l l l a a ωαβε-+= （6） 将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为 ln ln .l l l l l Ξa ωωω=-∑ （7） 将式（6）和式（7）代入式（3），有

160 ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω?? -=+ ?-? ? ∑ ()()ln ln ln .l l l l l l l l l k a a a a ωωωω=----????∑ （8） 比较式（8）和式（2），知 ln .S k Ω= （9） 对于理想玻色系统，证明是类似的. 8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 ()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1, ln 1ln 1, s s s s s s s s s s S k f f f f S k f f f f =-++????=-+--????∑∑ 其中s f 为量子态s 上的平均粒子数. s ∑表示对粒子的所有量子态求和. 同时 证明，当1s f <<时，有 ()B.E. F.D.M.B.ln .s s s s S S S k f f f ≈≈=--∑ 解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为 ()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l l l l l l l l l l l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=----???? ??-=--+?? ??∑∑ 1ln 1ln ,l l l l l l l l l l a a a a k ωωωωω??????=---+?? ? ? ?????? ∑ （1） 式中l ∑表示对粒子各能级求和. 以l s l a f ω= 表示在能量为l ε的量子态s 上的平 均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到 ~,l l s ω∑∑ 上式可改写为 ()()F.D.ln 1ln 1.s s s s s S k f f f f =-+--????∑ （2）