九年级上下册数学培优讲义

一元二次方程㈠

★知识点精讲

1.一元二次方程的概念

⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.

⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法

⑴直接开平方法：针对()

()02

≥=+an n a m x

⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2

≥=+n n m x a 注：

① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；

②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.

⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注：

⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.

典型例题讲解及思维拓展

●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .

⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .

拓展变式练习1

1.关于x 的方程03)3(7

2

=+---x x m m

是一元二次方程，则m =__________.

2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .

●例2 解下列方程：

⑶0182=+-x x ⑵()()2

2

21239x x -=-

拓展变式练习2 解下列方程:

⑶8632+-=x x ⑵()()2

2

21239x x -=-

⑶()()1232=--x x ⑶()2

22596x x x -=+-

⑸04)32(5)23(2=+-+-x x ⑹()()02123122

=++-+x x

⑺()2223n n m x m x =+-- ⑻a x a ax x -=+-222

●例3 已知0132=-+x x ，求

?

?? ?

?

--+÷--2526332x x x x x 的值.

拓展变式练习3

1.已知0200052=--x x ，求()()2

1122

3

-+---x x x 的值.

2.已知0132=+-a a ，求2294a a --.

■ 巩固训练题

一、填空题 1.若方程()()05322

2

=-++--x m x m m

是一元二次方程，

则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .

3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.

4.若4

1

2+

-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.

5.已知06522=--y xy x ，则

y

x

的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________. 二、解答题

1. 解下列方程：

⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292

=-+x

⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x

⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532

-=-

2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.

（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？

（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？

■思维与能力提升

1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.

2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.

3.已知()012009200720082

=-?-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较

小根为b ，求()2003

b a +.

4.如图，锐角?ABC 中，PQRS 是?ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=?，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS 为无理数.

■ 补充讲解

■反思与归纳

DS 金牌数学专题二

一元二次方程㈡

★知识点精讲

1.一元二次方程根的判别式

⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用?表示，即 .

⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：

?>?0方程有 的实数根；?=?0方程有 的实数根；

?

⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有

a

b

x x -=+21，a c x x =?21

⑵ 推论：

如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =?21. ⑶ 常用变形：

()212

212

2212x x x x x x -+=+ ()()212

212

214x x x x x x -+=-

3.列方程解应用题的一般步骤：

⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______. 4.常见题型 ⑴ 面积问题；

⑵ 平均增长（降低）率问题； ⑶ 销售问题； ⑷ 储蓄问题.

典型例题讲解及思维拓展

●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.

1.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.

2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程

()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，

若不存在，请说明理由.

●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的

值： ⑶ 2

1

12x x x x + ⑶ ?

??? ??+???? ?

?+122111x x x x ⑶ ()221x x -

1. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：

⑶ 3

21231x x x x + ⑶

1

12112+++x x

x x ⑶ 21x x -

2.已知关于x 的方程()024

1

22=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实

根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.

●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村

饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．

（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；

（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？

1. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.

2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.

3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数

．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).

⑴求y与x的函数关系式；

(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？

(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？

■巩固训练题

一、填空题

1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为 ，m = .

2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，1222

2

=-x x ，则=21x x .

3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .

4.以2与－6为根的一元二次方程是 .

5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.

6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 . 二、解答题

1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.

2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).

(1)求y 与x 之间的函数关系式.

(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？

■思维与能力提升

1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根？

2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.

3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且

132

22121=++x x x x ，(

)()

021

12

1

1=+++

x x x

x ，求q p +的值.

4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的 最小值.

■补充讲解

■反思与归纳

DS 金牌数学专题三

反比例函数

★知识点精讲

1.反比例函数

⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫 做 ，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质

0>k 0

反 比 例 函 数 图 象

性 质

两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而

两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而

⑶ k 的几何意义

=AOBP S 矩形_________.

=?AOP S Rt __________.

3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点

⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．

①当 时，直线与双曲线有两个交点． ②当 时，直线与双曲线有一个交点．

y P(m,n) A

o

x

B

③当 时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用

① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合

典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1

232

)12(---=k k

x k y 的图像经过二、四象限.

⑴求k 的值.

⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.

拓展变式练习1

1.若反比例函数2

2)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值

是 .

2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，

（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数

，、为其图象上的两点，若

时，

，则的取值范围是___________.

1y 2y 3y x k y 2

2--=k 1y 2y 2

1

3y 1y 2y 3y

●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=

的图象相交于A 、B 两点.

（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；

（3）根据图象回答：当x 为何值时，

一次函数的函数值大于反比例函数的函数值

拓展变式练习2

1. 如图，一次函数1

22

y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上

一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k

y k x

=>的图象于

Q ，32

OQC S ?=，求k 的值和Q 点的坐标.

2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；

1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.

x y

O A P C Q

B

O

x

y

B

A D C 3.已知函数2

2

1y y y +

=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，4

37

=

y .求y 关于x 的函数关系式.

●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点

A 作A

B ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；

②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.

拓展变式练习3

1.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=?ABO .

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；

（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.

2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．

3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y x

k 的图象上，且点A 、B?的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． （3）求△AOB 的面积．

O x

y

A C D

B