(信息学奥赛辅导)排列和组合基础知识

排列与组合基础知识

有关排列与组合的基本理论和公式：

加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中

办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。那么完成这件事共

有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种

不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×

m n 种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。

公式：阶乘公式!(1)(2)

321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；

全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!

m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：

!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!

m m

n n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）

提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。

（2）书写方式：r n P 记

为P （n,r ）；r n C 记为C （n,r ）。

加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）

乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）

加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42）

图1 A

图2

图3 A

图4

注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。因此对于加法原理、乘法原理、排列、组合等知识，需要非常熟练，以达到简化问题的目的。

加法原理、乘法原理、排列、组合例题：

1.（1）用数字0、1、2、3能组成多少个三位数？（2）要求数字不能重复，又能组成多少个三位

数？

（提示：（1）先确定百位数，只能是1、2、3之间的数字；再确定十位数，可以为0、1、2、3任何一个；最后确定个位数，可以为0、1、2、3任何一个。根据乘法原理，共有3×4×4＝48个。

（2）同理，先确定百位数、再确定十位数、最后确定个位数，根据乘法原理，共有3×3×2个）

2.国际会议洽谈贸易，有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司，彼此都希望与异国的每个

公司单独洽谈一次，问需要安排多少个会谈场次？

（提示：共分为中英、中日、英日会谈三类，对于中英会谈，先选定中方公司有8种选法，在选定英方公司有5种选法，故根据乘法原理有5×8：同理中日8×6；英日5×6；总的会谈：118）

3.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要摆放在书架上，问有多少种不同的摆放方案数。

（提示：此题为全排列，故摆放方案总数为P(5,5)=5!=120种。也可以按乘法原理思考，即摆放第一本书有5种选择，摆放第二本数有4种选择，……，最后结果为5×4×3×2×1即5！）

4.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书摆放在书架上，问有多少种不同方案。

（提示：可根据选排列公式计算，总数为P(5,3)。也可以根据乘法原理计算，答案为5×4×3＝60）

5.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书，问有多少种方法。

（提示：此题为组合问题，答案为3

5543

⨯⨯

=＝10）

6.五种不同颜色的珠子串成一圈项链，问有多少种不同的方法。

（提示：此题属于圆排列问题，答案为（5－1）！＝24）

7. 把两个红色球、两个蓝色球、三个黄色球摆放在球架上，问有多少种方案。

（提示：此题为排列问题。摆放方案总数为（2＋2＋3）！种，但是两个红球一样，所以要除以2！，同理两个蓝球，除以2！，三个黄球，除以3！，即摆放方案总数为(223)!2102!2!3!

++=⨯⨯） 8. 有男女各5人，其中3对是夫妻，他们坐成一排，若每对夫妻必须相邻而坐，问有多少种方法？

（提示：因为3对夫妻必须相邻而坐，因此可以将每对夫妻看为一个整体进行排列，这样排列总数为（7!）种方法，又因为每对夫妻可以可以左右调换位置，因此总的方案为（7！×2×2×

2））

9. （1）把3个相同的球放到4个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？

（2）把4个相同的球放到3个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？

（3）推广开来，把R 个相同的球放到N 个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？

（提示：这是允许重复组合的典型模型。）

（解答（1）：3个球放入4个不同颜色盒子的分法共有3、0、0、0；1、2、0、0；1、1、1、0

三类；对于第一类3、0、0、0的方法，共有44P 种方法，但是有3个0是一样的，所以应该除

以33P ，即第一类分法的方法数为4343/P P 种，同理，第二种分法的方法数为4242/P P ，第三种分

法的方法数为4343/P P ，所以总共的方法数为（4343/P P ＋4242/P P ＋4343/P P ）种。

解答（2）自行求解。

解答（3）：这一类问题，我们称为重复组合问题，其求解公式为C （n+r-1,r ）。请记住该公式即可。）

排列组合练习习题：

1. 有5本日文书、7本英文书、10本中文书。问（1）从中任取2本书有多少种方案？（2）从中取2

本相同文字的书有多少种方案？（3）从中取2本不同文字的书有多少种方案？

（提示：此题为组合问题。答案分别为：25710C ++、2225710C C C ++、222257105710()C C C C ++-++）

2. 把八个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃（即在任何一行、任何一列

都只有一个“车”），那么称八个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态？（提示：乘法原理。先在第一行放置一个“车”，有8种选法，再在第二行放置一个“车”，还有7种选法，同理……，总共有8×7×…×2×1，即8！种不同的安全状态。）

3. 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，问有多少种方案？

（提示：1～300之间的数被3除的余数共有三类，分别是余数为0、余数为1、余数为2，每类各100个数。任取3个数且这3个数相加的和正好被3除尽的情况只能是以下四种情况之一：余数为0＋1＋2；0＋0＋0；1＋1＋1；2＋2＋2。再根据乘法原理和加法原理即可求解。

答案为：100×100×100＋100×99×98＋100×99×98＋100×99×98）

4. 5对夫妇围绕圆桌坐下吃饭，共有多少种方案？如果要求夫妇必须坐在一起，又有多少种方案？

（提示：此题为圆排列问题。第一问的答案为（10－1）！。对于第二问，因为夫妇必须坐在一起，因此可以将每对夫妇看为一个整体先行进行圆排列，排列方案为（5－1）！，又因为每对夫妇可以左右交换位置，因此总的排列方案为（5－1）！×2×2×2×2×2。）

5. N 个男同学和N 个女同学围绕圆桌坐下，要求男女必须交替就座，问共有多少种就座方法？

（提示：先经这N 个男同学进行圆排列，方案为（N －1）！，然后每个女同学依次坐入到两个男同学中间，第一个女同学有N 个位置可以选，第二个女同学有N －1个位置可以选，依此类

推。根据乘法原理，所有的就座方案为（N－1）！×N！）

6.8人站成一排排队，如果其中的甲和乙两人要求一定站在一起，问有多少种排队方法？如果甲和

乙两人要求一定不站在一起，又有多少种方法？

（提示：第一问中，甲和乙一定站在一起，因此可以先将此二人看为一个整体，则排队方法为7！，又因为甲和乙可以交换位置，因此总的方案为7！×2。对于第二问，则用8个人的总排队方案数减去甲和乙站在一起的方案数即可，答案为8！－7！×2。）

7.有N个男同学和M个女同学站成一排，其中这M个女同学要求站在一起，问共有多少种排队方

法？

（提示：排列问题＋乘法原理。分两步：第一，先将这M个女同学看成一个整体排列；第二，再将这M个女同学再排列。然后根据乘法原理即可求得。答案为：（N＋1）！×M！）

8.一个长度为N＋M个字符的01字符串，问其中有N个1的字符串有多少个？

（提示：组合问题。现有N＋M个字符，如果把1看作取字符，把0看作不取字符，那么其中有N个1的字符串即相当于从N＋M个字符中，任取N个字符的组合。答案为：C（N＋M，N））

9.一个N*M（N表示行，M表示列）的网格，从左上角（1，1）点开始走到右下角（N，M）点，

每次只能向右或者向下走，问有多少种不同的路径。

（方法一：从（1，1）点走到（N，M）点，无论如何走一共都

要走（N－1）＋（M－1）步，其中N－1步向右走，M－1步Array向下走，因为只有两种走法，不妨用二进制表示走路方式，1

表示向右走，0表示向下走。则可用一个长度为（N＋M－2）

的二进制串来表示走路方法，其中如果出现了N－1个1，则表

示找到了一种路径。从而把题目转化为求长度为N＋M－2的2

进制串中有N－1个1的个数，即求组合数学公式C（N＋M－

2，N－1）的值。

方法二：对本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的某个点，只能从该点的上边过来，或者从该点的左边过来，根据加法原理，要到达该点的路径数目，就等于到达该点上点的路径与该点左点的路径数目之和，因此我们可以按照逐行递推的方法求出从起点到终点的路径数目。初始化，左上角第一个元素值为1，其它点的值为上点与左点的和。）

对于如右图的网格，用方法一的答案为C（4＋3，3）＝35；

用方法二逐行递推的方法得到网格上的数字，最后答案也为35。

比较两种方法，当数据较小时，采用公式一比较直接，但如果数据较大时，公式一的乘法运算量较大，这时可考虑用方法二逐行递推求得答案。

10.在上题中，若规定N

坐标(a,b)恒满足a

（测试数据：N＝4，M＝5；答案：）

11.在上上题中，如果其中有X个点设置有障碍而无法通过，问有多少条路径？其中X的值以及这X

个点的坐标由键盘输入。

（测试数据：N＝5，M＝4，X＝2，这2个障碍点坐标为（2,3）和（4,2）；答案：）

12.一个由N个0和N个1组成的01字符串，要求从左往右，1的个数始终不少于0的个数的字符串

共有多少个？如N＝1时，只有字符串10；如N＝2时，有1100、1010两个字符串；如N＝3时，有111000、110100、110010、101100、101010五个字符串。

（提示：该字符串的长度为2N，其中规定有N个1，即相当于从2N个字符中取出N个字符，方

案数为C （2N ，N ）。该题还规定从左往右，1的个数始终不少于0的个数，那么在C （2N ，N ）个方案中，必定有一些排列方案不符合要求，那么是哪些不符合要求呢？我们看N ＝2的例子，此时所有的排列方案有0011、0101、0110、1001、1010、1100六种，其中只有1010和1100两种方案符合要求，为什么呢？实际上，在N ＝2时，即有N 个1，这样，我们将任意一个0填充到这N 个1中的方案数有N ＋1种，如下图有①、②、③三个格子可以填充0，但是要保证所有的0总在1之后，因此也就只有③的位置符合要求（如1100和1010我们都认为是所有的0在1的右边，而1001则有一个0不在1的右边），即只有C （2N ，N ）的1／（N ＋

1）种方案符合要求。所以答案为：C （2N ，N ）／（N ＋1））。该数列称为Catalan 数列，其数列为1、

）

N 个0和N 个1组成的01字符串，要求从左往右，1的个数始终不多于0的

个数的字符串共有多少个？

同理：相当于1的位置只能排在所有0的位置之后，因此个数同样为：C （2N ，N ）／（N ＋

1）。）

13. 用N 个A 和N 个B 排列成一个字符串，要求从左往右的任意一位，A 的个数不能少于B 的个

数，问有多少种排列方案。

14. 有2N 个顾客排队购买一种产品，该产品的售价为5元，其中N 个顾客手持5元的货币，其余N

个顾客手持10元货币。由于售货员手中没有零钱找零，因此售货员必须将这2N 个顾客按照一定的次序排好队，问有多少种排队方式可以依次顺利发售货品，而不出现无法找零的情况。

15. 学校某年级参加数学、物理、化学的培训，人数分别是150、120、100人。

同时培训数学、物理两门课的学生有21人；同时培训数学、化学的有16

人；同时培训物理、化学的有8人；三科都培训的有5人。问该年级共有多

少人？（提示：对于此类问题，我们可以用一个图示法表示，从图中我们看出，总

人数即为：A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －C ∩A ＋A ∩B ∩C ＝150＋120＋100

－21－16－8＋5＝330）

排列组合考试卷：

16. 在15个同学中准备选出4名同学参加国际信息学奥林匹克竞赛，其中学生甲和学生乙两人中，至

少有一人必须被选中，问共有多少种选法？

（提示：15人中任意选出4人的总方案为C （15，4），15人中选4人并且甲和乙都不选的方案为C （13，4），这样答案为：C （15，4）－C （13，4））

17. 用A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母进行排列，其字符排列中不出现“ACE ”或“DF ”字串的排列

方案有多少种？

（提示：六个字母的总排列方案为P （6，6），又因为要求排列的字符串中不得出现“ACE ”或“DF ”字串，因此我们可以将“ACE ”看作一个整体，排列方案为P （4，4），将“DF ”看作一个整体，排列方案为P （5，5），“ACE ”和“DF ”同时出现的方案为P （3，3），所以答案为：P （6，6）－P （4，4）－P （5，5）＋P （3，3）；即6！－（4！＋5！）＋3！。）

18. 栈的计数。编号分别为1～N （1<=N<=18）的N 辆列车顺序进入一个栈式结构的站台（先进后

出），试问这N 辆列车开出车站的所有可能次序有多少种序列。

（此题为NOIP2003年第九届普及组复赛试卷第三题）

（分析：我们用1表示进栈，0表示出栈，考虑到列车必须先进栈再出栈，因此从左到右1的个 A B C

数总不少于0的个数（即总是进栈的列车多于或等于出站的列车，否则无列车可以出栈），这样问题就转化为我们已经解决了的问题。答案为：C （2N ，N ）／（N ＋1））

19. 有一排格子排成一排，已知共有8个格子。现有两个不同颜色的球要放在其中，要求两个球不能

相邻，问共有多少种摆放方案。

（提示：在所有的摆放方案中，减去两个球相邻的摆放方案，即将此二球看为一个整体，（注意

此二球可以左右交换位值），因为有六个格子一样，最后需要除以66

P 。答案：878

7662P P P -＝42种）

20. 有一排格子排成一排，已知共有8个格子。现有三个不同颜色的球要放在其中，要求任意两个球

不能相邻，问共有多少种摆放方案。

（提示：为了方便理解说明，不妨将这三个不同颜色的球编号为1、2、3号。所有的摆放方案为88P ，减去任意两个球相邻的摆放方案，共有六种情况（即12、21、13、31、23、32），此时需要注意三个球相邻的情况，三个球相邻的情况有123、312、213、321、132、231共六种情况，在减去任意两个球相邻的情况时，比如减去12相邻的情况时，三个球相邻的情况123和312同时被减去了，同理还有其它五种情况，说明三球相邻的情况各被多减了一次，所以最后需要加上三球相邻的情况。答案为：87687655

66P P P P -+＝120种） 21. 有一排格子排成一排，已知共有8个格子。现有2个红色球和3个蓝色球要放在其中，要求如

下：（1）每个格子最多摆放一个球；（2）同一种颜色的球必须相邻摆放；（3）不同颜色的球之

（提示：将每种颜色的球看作一个整体后方法同上。答案：545433

2P P P -＝12种） 22. 有一排格子排成一排，已知共有12个格子。现有3个红色球、2个蓝色球和1个黄色球要放在其

中，要求如下：（1）每个格子最多摆放一个球；（2）同一种颜色的球必须相邻摆放；（3）不同

（提示：将每种颜色的球看作一个整体后方法同上。答案：9879876

666P P P P -+＝210种） 23. 有一排格子排成一排，已知共有8个格子。现有两个相同的球要放在其中，要求两个球不能相

邻，问共有多少种摆放方案。

（提示：在19题的基础上，只是因为两个球相同而已，所以最后需除以22

P ，答案：878762622P P P P -⋅） 24. 有一排格子排成一排，已知共有8个格子。现有三个相同的球要放在其中，要求任意两个球不能

相邻，问共有多少种摆放方案。

（提示：方法同上题，因为三个球相同，故最后需除以3

3P ，答案：8768765353

66P P P P P -+⋅＝20种）

(完整版)基础排列组合部分知识总结

计数原理 1.摆列组合知识导学： 1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第 1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2 类方法中，有 m 2 种不一样的方法，在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有＝ m 1 ＋ m 2 ＋＋ m n 种不一样的方法 . N 2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第 2 步，有 m 2 种不一样的方法，做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有＝ m 1 × N m 2 × × m n 种不一样的方法 . 摆列数公式： A n m n ( n 1)( n 2)( n 3) ( n m 1) A n m n! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ） (n m)! 组合数公式： m A n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( n m 1) C n A m m n C n m n! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ） m! (n m)! 组合数的两个性质 C n m C n n m 规定： C n 0 1 C n m 1 C n m C n m 1

例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。解决该类问题应从简单分类议论下手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不一样角度考虑问题．例 2、分步乘法计数原理的应用书架上的一格内有 6 本不一样的书，此刻再放上 3 本不一样的书，但要保持原有书的相对次序不变，那么全部不一样的放法共有多少种？分析（插空法）：把3本不一样的书放入书架，需保持书架上原有书的相对地点不变．达成这件事分为三个步骤，每一步各放 1 本．第一步有m1 = 7 种放法，第二步有m2 = 8 种放法，第三步有m3 = 9 种放法，由分步乘法计数原理可知，共有N = m 1×m2× m3 = 7×8× 9= 504 种放法．例 3、两个计数原理的综合应用有一项活动，需在 3 名老师， 8 名男同学和 5 名女同学中选人参加．（l）若只需一人参加，有多少种不一样方法？（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不一样选法？（3）若需一名老师和一名同学有多少种不一样选法？分析：（ l ）有三类选人的方法： 3 名老师中选一人，有 3 种方法； 8 名男同学中选一人，有8 种方法； 5 名女同学中选一人，有 5 种方法。由分类加法计数原理，共有3＋ 8＋ 5＝16 种选法．

(完整版)排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理（1）分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列（1）定义从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质：（Ⅰ） =（Ⅱ）（Ⅲ） 3.组合（1）定义

a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。（2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例： b)组合数的主要性质：（Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系（1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：二、经典例题例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法；第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 3、七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）

排列与组合基础知识

排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。那么完成这件事共有N ＝m 1 ＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。公式：阶乘公式!(1)(2) 321n n n n =?-?-??，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()! m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为： !(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()! m m n n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；r n C 记为C （n,r ）。加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42） A B 图1 A B 图2

排列组合基础知识

关于排列组合的一些基础知识 1. 排列：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。 2. 组合：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的方式进行组合，称为从n个元素中取出m个元素的组合。 3. 排列的公式：A(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）。 4. 组合的公式：C(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）÷m×（m-1）×（m-2）×...×2×1。 5. 重复排列：在排列时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与排列的顺序有关，这种排列称为重复排列。 6. 重复组合：在组合时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与组合的方式无关，这种组合称为重复组合。 7. 排列数的性质：若A(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则A(n,m)=A(n,n-m)；若n=m则A(n,m)=1。 8. 组合数的性质：若C(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则C(n,m)=C(n,n-m)；若n=m则C(n,m)=1。 9. 插空法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插空法。 10. 捆绑法：在排列或组合时，先将几个元素捆绑在一起，作为一个元素处理，然后再对其他元素进行排列或组合的方法称为捆绑法。 11. 插板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插板法。 12. 隔板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，中间插

入隔板，使得每部分元素的个数等于规定的个数，这种方法称为隔板法。

排列组合基础知识

排列组合基础知识排列组合基本原理讲解如下：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。难点从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力。限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解。计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时

需要的思维量较大；计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。乘法原理和分步计数法 1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。 2、合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定：组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注：若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序

最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）

最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）组合数学 >最不枯燥的排列组合学习！尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街…… 忙着刷题后期肯定没办法写总结，就只好一边学习一边填坑啦啦啦。 ^上面的都是废话^ ————————————————————————————— 一、什么是组合数学（完全没用，建议跳）对于很多计数类问题，由于方案数过于巨大，我们无法用搜索的方式来解决问题因此我们需要对计数类问题进行一些优化这些优化就是组合数学研究的内容：（没错就是研究计数类问题） ———————————————————— 二、基本原理加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。（这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～）三、排列与组合：（弱小的主角）

排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)! （自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘）组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!) （自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦）四、定理一箩筐（这东西才是组合数学（死亡）的真谛啊）欧几里得算法：这东西好说。辗转相除法。一个式子基本上就涵盖了：gcd(ab)=gcd(ba%b); 事实上里面还有一点东西，就是和更相减损术一起用来优化（我不知道我理解的对不对啊QAQ） 1.若x，y均为偶数，则gcd(xy)=2*gcd(x/2y/2); 2.若x为偶数，y为奇数，则gcd(xy)=gcd(x/2y); 3.若x为奇数，y为偶数，则gcd(xy)=gcd(xy/2); 4.若x，y均为奇数，则gcd(xy)=gcd(x-yy); ——《信息学奥赛之数学一本通》代码不放啦~ 懒的理直气壮扩展欧几里得算法：我花了半个小时看了证明！（傻得无所畏惧，证明一共不到三行）

排列组合基础知识

排列组合基础知识一、两大原理 1.加法原理 (1)定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有 m中不同的方法，第二类方法中有匕种不同的方法……第n类方法中n n种不同的方法，那么完成这件事共有N n, n2... n n种不同的方法。 ( 2)本质：每一类方法均能独立完成该任务。 ( 3)特点：分成几类，就有几项相加。例 1. 从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有 3 班，汽车有 2 班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有 3+2 种方法。 2.乘法原理 (1)定义做一件事，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m,中不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m,m2...m n 种不同的方法。 ( 2) 本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。 ( 3)特点：分成几步，就有几项相乘。例 2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车 2班，汽车 3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车 1—汽车 1，火车 2—汽车 1 火车 1 —汽车 2，火车 2—汽车 2 火车 1 —汽车 3，火车 2—汽车 3 所以共有 2 4 8 种方式。二、排列组合 1.排列 (1)排列的定义：从n个不同的元素中，任取m个(m n)元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。 ( 2)使用排列的三条件 ①n个不同元素； ②任取m 个； ③讲究顺序。 2.组合 (1)组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个(m n )元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。 ( 2)使用三条件 ①n个不同元素； ②任取m 个； ③并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素”；排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。

排列与组合基础知识

排列与组合基础知识与习题一.基础知识（一）计数原理 1 .加法原理：完成一件事，共有n 类办法，在第一类中有^种有不同的方法，在第2类中有m 2种不同的方法……在第n 类型有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2++m n 种不同的方法. 2 .乘法原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法；那么完成这件事共有N=m 1Mm2M …父m n 种不同的方法. 3 .提示：分类计数原理与分类”有关，要注意类与类之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与分步”有关，要注意步与步之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重不漏. （二）排列与组合 1 .排列定义：从n 个不同的元素中任取m （m 寸!）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2 .排列计算公式：A nm =n （n-1）…（n-m+1）（m

排列与组合知识点

排列与组合一、两个基本计数原理：（排列与组合的基础） 1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同方法. 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法. 二、排列与组合（1）排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示对排列定义的理解： 1、定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列” 2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。全排列数公式可写成!n A n n =.

由此，排列数公式可以写成阶乘式：)! (!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -= +-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等）排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法（排除法）、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 2、间接法（排除法）：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。因此间接法又称排除法。 3、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置。例题：由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法） 4、捆绑法：在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为捆绑法，即“相邻元素捆绑法” 例2：3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？ 5、插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，也叫“不相邻元素插空法” 例3：甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？ 6、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列例4:7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？

排列与组合知识点

排列与组合一、两个基本计数原理：(排列与组合的基础) 1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有"类办法，在第一类办法中有“种不同的方法，在第二类办法中有加2种不同的方法，……，在第"类办法中有加”种不同的方法，那么完成这件事共有N = “ +叫+…+叫种不同方法. 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成"个步骤，做第一步有“种不同的方法, 做第二步有川2种不同的方法，……，做第〃步有加”种不同的方法，那么完成这件事共有N = m x x tn2 x---x m…种不同的方法. 二、排列与组合 (1)排列定义:一般地，从“个不同元素中取出m(m < n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从" 个不同元素中取岀加个元素的一个排列：排列数用符号表示对排列定义的理解： 1、定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一怎顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是"取出加个元素，再按顺序排列” 2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc与acb是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：A； = -1)(/2-2) • • • (n -m + l)(n,e TV*)我们把正整数由1到〃的连乘积，叫做"的阶乘，用"!表示，即n\= n x(/?-1)x(n-2)x• • • x2x 1,并规定0!=1。全排列数公式可写成A；；=川・

由此，排列数公式可以写成阶乘式：4："=呛?一1）（“ —2）•••（“ —〃?+ 1）= —一（主要用（n-my. 于化简、证明等）排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法（排除法）、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 2、间接法（排除法）：先不考虑题目中的限制条件，求岀所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。因此间接法又称排除法。 3、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置。例题：由0丄2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，苴中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法） 4、捆绑法：在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为捆绑法，即“相邻元素捆绑法” 例2： 3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？ 5、插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当, 也叫“不相邻元素插空法” 例3：甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？ 6、定序问题除法处理：对于左序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以左序元素的全排列例4:7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一泄相邻），则共有多少种不同的站法？请浏览后下戦，资料供参考，期待您的好评与关注！

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！ 3 5C ＝（5×4×3）/（3×2×1） 2 6C ＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出 n m C 公式是种子数M 开始及自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。以取值N 的阶层作为分母 35P ＝5×4×3 6 6P ＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P ＝从M 开始及自身连续N 个自然数的降序乘积当N ＝M 时即M 的阶层排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列及组合的标志是“有序”及“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个及分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列及组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”及“不在” “邻”及“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合根底知识及习题分析在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下根本的运算公式！ 3 5C ＝〔5×4×3〕/〔3×2×1〕 2 6C ＝〔6×5〕/〔2×1〕通过这2个例子看出 n m C 公式是种子数M 开场及自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。以取值N 的阶层作为分母 35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P ＝从M 开场及自身连续N 个自然数的降序乘积当N ＝M 时即M 的阶层排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序与无序摆放的各种可能性〞.区别排列及组合的标志是“有序〞及“无序〞. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列〞，无序用“组合〞；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法〞，分步用“乘法〞. 分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法〞，这是对完成这件事的所

有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进展分类；其次，分类时要注意满足两条根本原那么：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤〞，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个与分类有关，一个及分步有关.如果完成一件事有n类方法，这n类方法彼此之间是相互独立的，无论那一类方法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有假设干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列及组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在〞及“不在〞 “邻〞及“不邻〞在解决问题时要掌握根本的解题思想与方法：