相似图形知识结构

相似三角形知识结构

重点、难点分析：

1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．

2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 二、有关知识点：

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。

c

d

a b = d

b c a a c b d ==或 合比性质：d

d

c b b a ±=± ?=?=bc a

d d c

b a （比例基本定理） b

a

n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++=== :)0(等比性质

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

四、位似：

1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为

2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于

3、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或

4、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】

五、注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8 ”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例AD

AB

DE

BC

AE

AC

==，每个比的前项是同一个三

角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要

防止写成AD

DB

DE

BC

AE

EC

==的错误。

2、相似三角形的基本图形

Ⅰ.平行线型：即A型和X型。

Ⅰ.相交线型

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明

三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

六、练习题

一、填空题

1、如果

，则

，

。

C

E

D

B

A

C

A

D

B.

C

B

B

2、 已知 ,则

3、已知:x:y:z=3:4:5,且x+y-z=6,则:2x-3y+2z=

4、已知线段c 是线段a 和x 的比例中项，则x= ；如果线段b 是线段a 、x 、x 的第四比例项，a=2，b=8，则x 。

5、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于M ，若

1A

D M

S ?= ，9=?BMC S ，

梯形的面积 .

6、如图5中，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为______________

7、如图6，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．

8、如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322B D C 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）

9、已知正方形ABCD 的边长为1，P 为CD 的中点，点Q 在线段BC 上，若△ABC 与△QCP 相似（不包括全等情形），则 PQ 的长为

10、如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6，AC=12，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止。点D 的运动速度是1cm/秒，点E 的运动速度是2cm/秒。如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动是时间 ．

二、选择题

1、已知线段AB=1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为 （ ）

A

1

2

B

32- C

12

或

32- D 以上结论都不对

2、若

3

4

x y =，则下列各式不正确的是 （ ） A

74X Y Y += B y y x =- 4 C 2113x y x += D 1

4

x y y -= 3、如果a b c b c a c a b

==+++=k ，则k 的值为 （ ）

A

1

B 1 C

1

或﹣1

D ﹣1

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证

A ．0）

B ．（,)

C ．

D ． (2,2)

A B C D ．2

7题图

A ．（-2，3）

B ．（2，-3）

C ．（3，-2）或（-2，3）

D ．（-2，3）或（2，-3）

A ．∠ABD=∠C

B ．∠ADB=∠AB

C C ．

= D ．= A ．

7 B ．6 C ．5 D ．4

分析：可以证明△ABC ∽△BDC ，设AD=x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；

过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cosA 的值

三、解答题

1、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.

（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时x的值.

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

N

4、如图，正三角形ABC的边长为

3+

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC 及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC∶BC=4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）求AC、BC的长；

（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y 与x的函数关系式；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；