数学分析第二型曲线积分

数学分析第二型曲线积分

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§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：

掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． 教学重点，难点：

重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：

第二型曲线积分

一 第二型曲线积分的意义

在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。

为此在曲线B A )

内插入1-n 个分点121,,,-n M M M Λ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A )

分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为

i s ?，则分割T 的细度为

i n

i s T ?=≤≤1max 。

设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么

)),(),,((),(y x Q y x P y x F =。

又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=?i i i x x x 与1--=?i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记

),(1i i M M y x L i i ??=-，

于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功

i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ?+?=?≈-),(),(),(1ηξηξηξ,

其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。因而力),(y x F 沿曲线B A )

所作的功近似的等于

∑∑∑===?+?≈=n

i i i i n i i i i n i i y Q x p W W 1

1

1

),(),(ηξηξ

当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。

定义1 设函数),(y x P 与),(y x Q 定义在平面有向可求长度曲线上。对L 的任一分割

T ，它把L 分成n 个小曲线段

),,2,1(1n i M M i i Λ=-

其中B M A M n ==,0。记各小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ?，分割T 的细度i n

i s T ?=≤≤1max 。

又设T 的分点i M 的坐标为),(i i y x ，并记。在每个小曲线段i i M M 1-上任取一点),(i i ηξ，若极限

∑∑=→=→?+?n

i i

i

i

T n

i i

i

i

T y

Q x

p 1

1

),(lim

),(lim

ηξηξ

存在且与分割T 与点),(i i ηξ的取法无关，则称此极限为函数),(y x P ，),(y x Q 沿有向曲线

L 上的第二型曲线积分，记为

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或?

+AB

dy y x Q dx y x P ),(),( )1(

上述积分也可写作

??+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),(

或 ?

?+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

为书写简洁起见，)1(式常简写成

?+L

Qdy Pdx 或?

+AB

Qdy Pdx

若L 为封闭的有向曲线，则记为

?+L

Qdy Pdx

)2(

若记),()),,(),,((),(dy dx ds y x Q y x P y x F ==，则)1(式可写成向量形式 ??L

ds F 或?

?AB

ds F )3(

于是，力)),(),,((),(y x Q y x P y x F =沿有向曲线B A L )

:对质点所作的功为

?+=L

dy y x Q dx y x P W ),(),(。

倘若L 为空间有向可求长度曲线，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 为定义在L 上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为

?++L

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(， )4(

或简写成

?++L

Rdz Qdy Pdx 。

当把)),(),,(),,((),(y x R y x Q y x P y x F =与),,(dz dy dx ds =看作三维向量时，)4(式也可表示成)3(式的向量形式。

第二型曲线积分与曲线L 的方向有关。对同一曲线，当方向由A 到B 改变为由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的i i y x ??,也随之改变符号，故有

??

+-=+BA

AB

Qdy Pdx Qdy Pdx

而第一型曲线积分的被积表达式只是函数),(y x f 与弧长的乘积，它与曲线L 的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：

1. 若),,2,1(k i dy Q dx P AB i i Λ=+?存在，则dy Q c dx P c k i i i L

k i i i ??

?

??+??? ??∑?∑--11也存在，且

()∑?∑?∑=--+=??

?

??+???

??k

i L

i k i i i L k i i i Qdy Pdx c dy Q c dx P c 111,

其中),,2,1(k i c i Λ=为常数。

2. 若有向曲线L 是由有向曲线k L L L Λ,,21首尾相接而成，且

)

,,2,1(k i Qdy Pdx i

L Λ=+?

存在，则

?+L

Qdy

Pdx 也存在, 且

∑?

?=+=+k

i L L

i

Qdy Pdx Qdy Pdx 1

。二 第二型曲线积分的计算

与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。

设平面曲线

??

?==)

()

(:t y t x L ψ?，],[βα∈t 其中)(),(t t ψ?在[]βα,上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为()()()αψα?,与

()()()βψβ?,。又设),(y x P 与),(y x Q 为L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线

积分

()()()()()()()()[]dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L

??'+'=+β

αψψ??ψ?,,),(),(

)6(

仿照1中定理1.20的方法分别证明

()()()()dt

t t t P dx y x P L

??'=β

α?ψ?,),(，

()()()()dt t t t Q dx y x Q L

??

'=β

α

ψψ?,),(，

由此便可得公式)6(，这里不再赘述了。

对于沿封闭曲线的第二型曲线积分)2(的计算，可在L 上任意选取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点。

例1 计算

?-+L

dy x y xydx )(，其中L 分别沿如图320-中路线

(i)直线AB ；

(ii)ACB (抛物线：1)1(22

+-=x y )； (iii)ADBA (三角形周界) 解 (i)直线AB 的参数方程为???+=+=t

y t

x 211， ]1,0[∈t 。

故由公式)6(可得

()()[]()

6

252512211)(1

210

=

++=+++=-+???

dt t t dt t t t dy x y xydx AB

。 (ii)曲线ACB 为抛物线21,1)1(22

≤≤+-=x x y ，所以

()[]()[

](){}

??

--+-++-=-+2

1

2

2

14112112)(dx

x x x x x dy x y xydx ACB

()

3

10123532102

1

23=

-+-=?dx x x x 。

(iii)这里L 是一条封闭曲线，故可从A 开始，应用上段的性质2，分别求沿DB AD ,和BA 上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。

由

于

沿

直

线

)

21(1,:≤≤==x y x x AD 的线积分为

2

3)(2

1

=

==-+???

xdx xydx dy x y xydx AD

AD

。 沿直线)31(,2:≤≤==y y y x DB 的线积分为

0)2()()(3

1

=-=-=-+???

dy y dy x y dy x y xydx DB

DB

。

沿直线BA 的线积分可由(i)及公式)5(得到

6

25)()(-

=-+-=-+??

AB

BA

dy x y xydx dy x y xydx 所以

38625023)()(-=??

?

??-++=

-=-+??

DB

L

dy x y dy x y xydx 例2 计算

?

+L

ydx xdy ，这里:L (i)沿抛物线22x y =，从O 到B 的一段（图20-4）

；(ii)沿直线段x y OB 2:=；(iii)沿封闭曲线OABO 。

解 (i) []

23

6

62)4(1

21

2==

=+=+???

dx x dx x x x ydx xdy L

。 (ii)

22

1

4)22(10

=?

=+=+??

dx x x ydx xdy L

。 (iii)在OA 一段上，;10,0≤≤=x y 在AB 一段上，;20,1≤≤=y x 在BO 一段上与(ii)一样是x y 2=从1=x 到0=x 的一段。所以

,001

==+??

o

OA

dx ydx xdy

,212

1

==+??

dx ydx xdy AB

,2-=+-=+??

OB

BO

ydx xdy ydx xdy (见(ii))。

因此

0220=-+=++=+?

?

?

?BO

AB

OA

L

ydx xdy 。

对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与)6(式相仿。设空间有向光滑曲线L 的参量方程为

:L ??

?

??===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ， 起

点

为

))

(),(),((αααz y x ，终点为

))

(),(),((βββz y x ，则

[]??

'+'+'=++β

α

dt

t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx L

)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((。)7(

这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。 例3 计算第二型曲线积分 ?

+-+=

L

dz x dy x y xydx I 2)(，

其中L 是螺旋曲线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，从0=t 到π=t 上的一段。

解 由公式)7(，

()2

1)cos cos sin cos sin cos (20

2222223a dt b a t t a t a t t a I t =

+-+-=?π

π

0222332sin 21)1(21sin 21sin 3

1????????? ??+++--=t t b a t a t a

π)1(2

12

b a +=

。 例4 求在力),,(z y x x y F ++-作用下，

(i)质点由A 沿螺旋线1L 到B 所作的功（图520-），其中

π20,,sin ,cos :1≤≤===t bt z t a y t a x L ；

(ii)质点由A 沿直线2L 到B 所作的功。

解 如本节开头所述，在空间曲线L 上力F 所做的功为

??+++-=?=L

L

dy z y x xdy ydx ds F W )(。

(i)

由于bdt dz tdt a dy tdt a dx ==-=,cos ,sin ，所以

?-=+++--=π

ππ20

2222222)(2)sin cos cos sin (a b dt b t ab t ab t a t a W t 。

(ii)2L 的参量方程为

b t t z y a x π20,,0,≤≤===。

由于,,0,0dt dz dy dx ===所以

)(2)(20

b a b dt t a W b

πππ+=+=?

。

复习思考题、作业题： 1 (1)(4), 2