江苏省南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(2)

金陵中学2020届高三数学检测卷（2）

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置

．．．．．．．

上．

1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则?U A ＝▲________．

2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．

3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．

4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．

5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．

6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2

a 2－y

2

b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为

y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．

8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π

6，则f (2φ)的值为

▲________．

9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a

1d 的值为▲________．

10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→

DC 的值为▲_____．

11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．

12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．

13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．

14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在

x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln2

2

，则实数a 的值为▲________．

(第4题

)

(第3题)

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．

16．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－2

10

．

(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．

17．(本小题满分14分)

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优

化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －

3x

500

)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？

18．(本小题满分16分)

如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为1

2，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别

是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－1

2，求k 的值；

(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝3

2，求M 的坐标．

(第15题

)

(第18题)

19．(本小题满分16分)

设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；

(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1

a n ＋1．

①求证：数列{2

n －1

b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；

②是否存在正整数n ，使得i ＝1

n ∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分16分)

已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；

(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； (3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．

数学Ⅱ(附加题)

21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝?????

?1x 3y 对应的变换作用下得到点

Q (6，12)，求M －

1．

B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

已知椭圆C 的参数方程为?

???

?x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线

l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．

[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)

某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12

． (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；

(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．

23．(本小题满分10分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2，BA ＝1，AD ＝3，PB ＝3．

(1)求二面角P －CD －A 的平面角的余弦值； (2)若点E 在棱P A 上，且BE ⊥平面P AD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值．

阶段性检测

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．{0}

(第23题)

2．10 3．16 4．90 5．13 6．(2，7) 7．2 8．12 9．1 10．－43

11．3π

12．解析：因为x ＋y ＝1，所以

x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y ＝(2x ＋3y )(x ＋y )＝2y x ＋3x

y

＋5≥5＋26，当且仅当?

????2y x ＝3x y x ＋y ＝1，即?????x ＝6－2

y ＝3－6时取“＝”．

13．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P (－5，0)，且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP

为直径的圆上．设点M (x ，y )，则x 2

＋y 2

＝25．联立???x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0

，解得x ＝5

2．又因为点

M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为(5

2

，5]．

14．解析：令f (x 1)＝g (x 2)＝t ，则e x 1

＝a x 2＝t ，故x 1＝ln t ，x 2＝t 2a 2．令h (t )＝x 2－x 1＝t 2

a

2－ln t ，

则h’(t )＝2t a 2－1t ．令h’(t )＝0得t ＝22a ．当t ＞22a 时，h’(t )＞0，h (t )单调递增；当0＜t ＜

2

2a 时，h’(t )＜0，h (t )单调递减．因此，[h (t )]min ＝h (22a )＝12－ln(22a )＝ln2

2

，解得a ＝e ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(1)因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．············································· 2分

又AF ⊥CD ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ?平面ADF ，

所以CD ⊥平面ADF ， ············································································ 5分 又CD ?平面ABCD ，

所以平面ADF ⊥平面ABCD ． ·································································· 7分 (2)因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ， ············································· 9分 又AB ?平面ABEF ，CD ?平面ABEF ，

所以CD ∥平面ABEF ， ········································································ 11分 又CD ?平面DCEF ，平面DCEF ∩平面ABEF ＝EF ，

∴CD ∥EF ． ······················································································· 14分

16．(1)因为点A ，B 的横坐标分别为－

31010，－210

， 结合三角函数的定义得cos α＝－31010，cos β＝－2

10． ································· 2分

因为α，β均为钝角， 所以sin α＝1－cos 2α＝

1010，sin β＝1－cos 2β＝710

2， ································ 4分 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－31010)×(－210)＋1010×7102＝5

5． ······ 6分

(2)(方法一)sin2α＝2sin αcos α＝－35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝4

5， ························· 8分

因为α∈(π

2

，π)，2α∈(π，2π)，且sin2α＜0，cos2α＞0，

所以2α∈(32π，2π)，又β∈(π2，π)，所以2α－β∈(π2，3

2π)． ··························· 10分

又sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝(－35)×(－210)－45×7102＝－2

2， ··········· 12分

所以2α－β＝5

4π． ················································································ 14分

(方法二)因为α，β∈(π2，π)，cos α＝－31010＜cos β＝－2

10

，

所以π2＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π

2

．

由(1)知sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝2

55， ················································· 8分

所以sin(2α－β)＝sin[(α－β)＋α] ＝sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝

255×(－31010)＋55×1010＝－22

． ············· 10分 因为0＜α－β＜π2，π2＜α＜π，所以2α－β∈(π2，3

2π)， ··································· 12分

所以2α－β＝5

4π． ················································································ 14分

17．(1)由题意得，10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， ······································ 2分

即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500． ·················································· 4分 即最多调整500名员工从事第三产业． ······················································ 5分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x

500)x 万元，

从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )(1＋

1

500

x )万元， 则10(a －3x 500)x ≤10(1000－x )(1＋1

500x )，····················································· 8分

故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1

500x 2，

故ax ≤2x 2

500

＋1000＋x ，

即a ≤2x 500＋1000

x ＋1恒成立． ································································ 10分

因2x 500＋1000x

≥22x 500·1000

x

＝4， 当且仅当2x 500＝1000

x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5， ······························· 12分

又a ＞0，故0＜a ≤5．

故a 的取值范围为(0，5]． ··························· 18．(1)设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a

2

c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．

故b 2＝a 2－c 2＝3．

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1． ···········(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋两式相减，得

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y

2x 1＋x 2

＝0，

所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32

． ······························································· 8分

(3)由题意，S 1S 2＝32，即1

2·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝3

2，整理可得|y 1||y 2|＝12

， ····················· 10分

所以→NF ＝2→FM ．

代入坐标，可得??

?1－x 2＝2(x 1－1)

－y 2＝2y 1，即???x 2＝3－2x 1

y 2＝－2y 1

． ····································· 12分

又点M ，N 在椭圆C 上，所以?

??x 124＋y 12

3

＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23

＝1

，

解得?

??x 1＝

74

y ＝38

5．

所以M 的坐标为(74，35

8) ． ································································· 16分

19．(1)由S n ＋1－2S n ＝1，得S n －2S n －1＝1 (n ≥2)，

两式相减，得a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋

1a n

＝2 (n ≥2)． ········································· 2分

因为a 1＝1，由(a 1＋a 2)－2a 1＝1，得a 2＝2，所以a

2a 1＝2，

所以a n ＋

1a n

＝2对任意n ∈N *都成立，

所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2． ········································ 4分 (2)① 由(1)知，a n ＝2n －

1，

由b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1，得b n ＋1＝b n 2＋1

2

n ， ························································ 6分

即2n b n ＋1＝2n －

1b n ＋1，即2n b n ＋1－2n －

1b n ＝1，

因为b 1＝1，所以数列{2n －

1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． ················· 8分

所以2n －

1b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，

所以b n ＝n

2

n －1． ·················································································· 10分

② 设T n ＝i ＝1

n

∑b i ，

则 T n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ×(12

)n －

1，

所以12T n ＝ 1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －1)×(12)n －1＋n ×(1

2)n ，

两式相减，

得12T n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ×(12)n ＝1－(1

2)n

1－12－n ×(12)n ＝2－(n ＋2)×(1

2

)n ， 所以T n ＝4－(2n ＋4)×(1

2)n ． ································································· 12分

由i ＝1n

∑b i ＝4－n ，得4－(2n ＋4)×(1

2)n ＝4－n ，即n ＋2n ＝2n －1．

显然当n ＝2时，上式成立，

设f (n )＝n ＋2n

－2n －1

( n ∈N *)，即f (2)＝0．

因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋3n ＋1－2n )－(n ＋2n －2n －1)＝[2n (n ＋1)＋2n －

1]＜0，

所以数列{f (n )}单调递减， 所以f (n )＝0只有唯一解n ＝2，

所以存在唯一正整数n ＝2，使得i ＝1n

∑b i ＝4－n 成立． ··································· 16分 20．(1)由f (x )＝e x －a (x ＋1)，知f’(x )＝e x

－a ．

若a ≤0，则f’(x )＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； ················· 2分 若a ＞0，令f’(x )＝0，得x ＝ln a ，

当x ＜ln a 时，f’(x )＜0，当x ＞ln a 时，f’(x )＞0，

所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；在(ln a ，＋∞)上单调递增． ······················ 4分 (2)由(1)知，当a ＞0时，f min (x )＝f (ln a )＝－a ln a ．

因为f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，所以b ≤－a ln a ，所以ab ≤－a 2ln a ． ············ 6分

设t (a )＝－a 2ln a ，(a ＞0)，由t’(a )＝－(2a ln a ＋a 2·1

a )＝－a (2ln a ＋1)，

令t’(a )＝0，得a ＝e －

12，

当0＜a ＜e －

1

2时，t’(a )＞0，所以

t (a )在(0，e

－

1

2)上单调递增；

当a ＞e

－

1

2时，t’(a )＜0，所以

t (a )在(e

－

1

2，＋∞)上单调递减，

所以t (a )在a ＝e

－

1

2处取最大值，且最大值为

1

2e

． 所以ab ≤－a 2

ln a ≤12e ，当且仅当a ＝e －

12，b ＝12e －1

2时，ab 取得最大值为12e

． ···· 10分

(3)设F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝e x －ex －2ax －a ， 题设等价于函数F (x )有零点时的a 的取值范围．

① 当a ≥0时，由F (1)＝－3a ≤0，F (－1)＝e －

1＋e ＋a ＞0，所以F (x )有零点． · 12分

② 当－e

2

≤a ＜0时，若x ≤0，由e ＋2a ≥0，得F (x )＝e x －(e ＋2a )x －a ＞0；

若x ＞0，由(1)知，F (x )＝－a (2x ＋1)＞0，所以F (x )无零点． ···················· 14分

③ 当a ＜－e

2时，F (0)＝1－a ＞0，

又存在x 0＝1－a

e ＋2a

＜0，F (x 0)＜1－(e ＋2a )x 0－a ＝0，所以F (x )有零点．

综上，a 的取值范围是a ＜－e

2

或a ≥0．···················································· 16分

数学Ⅱ(附加题)

21．

A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

依题意得??????1x 3y ??????03＝??????612，解得???x ＝2y ＝4

，即M ＝??

??

??1234， ·

························· 5分 因为det(M )＝1×4－2×3＝－2≠0，

所以M

－1

＝

?????

???4－

2

－2－2

－3－2

1－2＝?????

???

－21 32

－12． ··········································· 10分 B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]

设P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离

d ＝|3cos θ＋sin θ－8|2 ·············································································· 5分

＝|2cos(θ－π

6

)－8|

2，

所以当θ＝7π6时，d 取到最大值10

2＝52． ················································ 10分

22．(1)设甲恰好通过两个项目测试的事件为A ． P (A )＝C 23(12)2(1－12)＝3

8

．

答：甲恰好通过两个项目测试的概率为3

8． ·················································· 2分

(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3．

因为每人可被录取的概率为C 23(12)2(1－12)＋(12)3＝1

2， ······································ 4分

所以P (X ＝0)＝(1－12)3＝1

8

，

P (X ＝1)＝C 13(12)(1－12)2＝3

8，

P (X ＝2)＝C 23(12)2(1－12)＝3

8

，

P (X ＝3)＝(12)3＝1

8．

故X 的概率分布列为

··································· 8分

所以X 的数学期望为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝3

2

． ·························· 10分

23．(1)以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐

标系B －xyz ．

因为A (1，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，D (1，3，0)，P (0，0，3)， 所以→CD ＝(1，1，0)，→

PC ＝(0，2，－3)．

易知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)． ············································ 1分 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则?

????m ·→CD ＝0m ·→PC ＝0，即?????x ＋y ＝02y ＝3z ．

取z ＝2，则m ＝(－3，3，2)．

设二面角P －CD －A 的平面角为α，可知α为锐角， ···································· 3分 则cos α＝|cos ＜n ，m ＞|＝

|n ·m |

|n |·|m |＝

2

3＋3＋4

＝10

5，

即二面角P －CD －A 的平面角的余弦值为

10

5

． ··········································· 5分 (2)因为点E 在棱P A 上，所以设→AE ＝λ→

AP ，λ∈[0，1]． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→

AE ＝(－λ，0，3λ)， 故→BE ＝→BA ＋→

AE ＝(1－λ，0，3λ)．

因为BE ⊥平面P AD ，AP ?平面P AD ，所以BE ⊥AP ． 因为→

AP ＝(－1，0，3)，

所以→BE ·→

AP ＝0，即λ－1＋3λ＝0，解得λ＝14， ··········································· 7分

所以→BE ＝(34，0，34)，所以BE ＝|→

BE |＝32．

设直线BE 和平面PCD 所成的角为β，可知β为锐角． 因为m 为平面PCD 的一个法向量， 则sin β＝|cos ＜→

BE ，m ＞|＝

34

3＋3＋4×

32＝1020

， 即直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为10

20

． ········································ 10分