第十一章 第二节 二项式定理

突破点一二项式的通项公式及应用

[基本知识]

1．二项式定理

2.二项式系数与项的系数

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)C r n a

n －

r b r

是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．( ) (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题

1.????1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：45

2．在????x 2－2

x 6的展开式中，常数项为________． 答案：240

3.?

????

x －124x 8

的展开式中的有理项共有________项．

答案：3

[全析考法]

考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题

[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)????x 2＋2

x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40

D ．80

(2)(2019·陕西黄陵中学月考)????x ＋1

2x 6的展开式中常数项为( ) A.5

2 B ．160 C ．－52

D ．－160

[解析] (1)????x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·????2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·

22＝40. (2)????x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ????12x r ＝????12r C r 6x 6－2r

，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝????123C 36＝5

2，选A.

[答案] (1)C (2)A [方法技巧]

二项展开式问题的常见类型及解法

(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．

(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．

[例2] (1)(2018·广东一模)????x ＋1

x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100

D ．80

(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112

D ．168

[解析] (1)????x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1

x (1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3，1x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x ·C 4

5(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120.故选A.

(2)根据(1＋x )8和(1＋y )4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.

[答案] (1)A (2)D [方法技巧]

求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路

(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．

(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.

(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．

[例3] (1)(2019·枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30

D ．60

(2)(2019·太原模拟)?

???2x ＋1

x －15的展开式中常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ， 令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2

，

又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x

6－k ， 令6－k ＝5，则k ＝1，

所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.

(2)由????2x ＋1x －15＝????－1＋2x ＋1x 5，则其通项公式为(－1)5－r C r 5?

???2x ＋1x r (0≤r ≤5)，其中?

???2x ＋1x r 的通项公式为2r －t C t r x r －2t (0≤t ≤r )． 令r －2t ＝0，得????? r ＝0，t ＝0或????? r ＝2，t ＝1或?

????

r ＝4，t ＝2，

所以????2x ＋1x －15的展开式中的常数项为(－1)5C 05＋(－1)3C 25×2C 12＋(－1)1C 45×22C 24

＝ －161.

[答案] (1)C (2)－161 [方法技巧]

三项展开式问题的破解技巧

破解(a ＋b ＋c )n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．

[集训冲关]

1.[考法一](2＋3

3)100的展开式中，无理数项的个数是( ) A ．84 B ．85 C ．86

D ．87

解析：选A (2＋33)100展开式的通项为T r ＋1＝C r 100(2)100－r ·(33)r ＝C r 100250－r 2×3r 3，r

＝0,1,2， (100)

所以当r 是6的倍数时，T r ＋1为有理项， 所以r ＝0,6,12，…，96，共17项，

因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A. 2.[考法二](x 2－2)????1＋2

x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60 B ．50 C ．40

D ．20

解析：选A 由通项公式得展开式中x －1的系数为23C 35－22C 1

5＝60.

3.[考法二](x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40

D ．80

解析：选D (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－y )r ，当r ＝2时，T 3

＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.

4.[考法三]在????x ＋1

x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24

D ．－24

解析：选B 由????x ＋1x －16＝C 06????x ＋1x 6－C 16????x ＋1x 5＋C 26????x ＋1x 4＋…－C 56???

?x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16????x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以???

?x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 0

5

C 16＝－6，故选B.

突破点二 二项式系数性质及应用

[基本知识]

二项式系数的性质

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (2)在(1－x )9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．( )

(3)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题

1．若????x 2－1

x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．

答案：84

2．已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________.

答案：3

3．若(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案：2

[全析考法]

考

法

一

二

项

展

开

式

中

系

数

和

的

问

题

赋值法在求各项系数和中的应用

(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．

(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)

2，

②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)

2

.

[例1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式????x 2－2

x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )

A ．－1

B ．1

C ．27

D ．－27

(2)(2019·襄阳四中月考)设(x 2＋1)(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10的值为________．

[解析] (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3，取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.

(2)在所给的多项式中，令x ＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，即a 0

＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝2.

[答案] (1)A (2)2 [易错提醒]

(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；

(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．

考法二

二项式系数或展开式系数的最值问题

求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤

第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．

第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．

[例2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在????x －a

x 5的展开式中，x 3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )

A ．5

B ．10

C ．15

D ．20

(2)(2019·福州高三期末)设n 为正整数，????x －2

x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．

[解析] (1)????x －a x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ·????－a x r ＝(－a )r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝3，则r ＝1，所以－a ×5＝－5，即a ＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C 25＝10，选B.

(2)依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8

x 8－r ·????－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r ，令8－4r

＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2

＝112.

[答案](1)B(2)112

[方法技巧]求展开式系数最值的2个思路

1.[考法一、二]设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大的项是()

A．15x3B．20x3

C．21x3D．35x3

解析：选B在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n中，

令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋a n；

令x＝0，得1＝a0，

∴a1＋a2＋…＋a n＝2n－1＝63，∴n＝6.

而(1＋x)6的展开式中系数最大的项为T4＝C36x3＝20x3.

2.[考法一](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.

令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.

答案：3

3.[考法二]设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N ＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．

解析：依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，

于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24，解得n ＝4.

要使二项式系数C k 4最大，只有k ＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为

T 3＝C 24(5x )2·

(－x )2＝150x 3. 答案：150x 3

[课时跟踪检测]

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．????1

2x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5

D ．20

解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35???

?12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.

2．二项式????x ＋2

x 210的展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45

D ．360

解析：选A ????x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ????2x 2

k ＝2k C k 10x 5－52k ， 令5－5

2

k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180. 3．在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10

D ．11

解析：选C 二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n

2＝5，解得n ＝10.

4．(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )

A ．0

B ．1

C ．32

D ．－1

解析：选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r

，可知a 1，a 3，a 5

都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.

在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.

5．(2019·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240

D ．420

解析：选B [(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3

项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.

6．(2019·太原模拟)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________．

解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 3

5＝

120.

答案：120

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．若二项式????x －2

x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12

D ．15

解析：选C 由二项式????x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4????－2x 4＝16C 4n x n 2－6是常数项，

可得n

2

－6＝0，

解得n ＝12.

2．(2019·新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( )

A ．－27C 37

B ．－81

C 47 C ．27C 37

D ．81C 47

解析：选A (1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37

x 3，其系数为－27C 37，选A.

3．(2019·益阳、湘潭高三调考)若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )

A ．22 018－1

B ．82 018－1

C ．22 018

D ．82 018

解析：选B 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018

＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.

4．在二项式????x ＋3

x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

解析：选B 在二项式????x ＋3

x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n ，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴????x ＋3x n ＝????x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r ????3x r ＝3r C r 3

x 33－r

2

，令3－3r 2

＝0，得

r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9，故选B.

5．(2019·山西五校联考)????x 2－3x ＋4x ????1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25

D ．25

解析：选C ????x 2－3x ＋4x ????1－1x 5＝x 2????1－1x 5－3x ?

???1－1x 5＋4x ????1－1x 5，????1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)

r

???

?1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T

5

＝C 45(－1)

4

????1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2·???

?1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 2

5＝5－30＝－25，故选C.

6．(2019·武昌调研)若? ??

??3x －3x n

的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为( )

A ．－270

B ．270

C ．－90

D ．90

解析：选C ?

????3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于? ??

??

3x ＋3x n 的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n ＝1 024，∴n ＝5.则?

????3x －3x n ＝? ??

??3x －3x 5

，其通项T r ＋1＝C r 5???

?3x 5－r

·(－3x )r ＝C r 5

·35－r ·(－1)r ·x -+523r r

，令r －52＋r 3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·

32·(－1)3＝－90，故选C.

7．(2018·四川双流中学月考)在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为m ，含x 5项的系数为n ，则n

m

＝( )

A.53 B ．－5

3

C.35

D ．－3

5

解析：选D 因为n ＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m ＝C 36＝20，含x 5项的系数为n ＝(－1)C 1

6×2＝－12，则n m ＝－1220＝ －3

5

.故选D. 8．(2019·河南师范大学附属中学月考)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )

A ．39

B ．310

C ．311

D ．312

解析：选D 由题意得，因为(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9＝310，令x ＝ －1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9＝9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)＝310×9＝312.

9．(2019·衡水调研)若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S 为( )

A.152 B ．

154

C ．120

D ．240

解析：选B 由题意知，S ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64， P ＝C 46(－2)4

＝15×16＝240，

故P S ＝24064＝154. 故选B.

10．(2019·达州期末)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n

展开式的二项式系数和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ∈N *)，S n 与T n 的大小关系是( )

A ．S n ＞T n

B ．S n ＜T n

C ．n 为奇数时，S n ＜T n ，n 为偶数时，S n ＞T n

D ．S n ＝T n

解析：选C S n ＝2n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，所以T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n －a 0＝S n －(－1)n ，所以当n 为偶数时，T n ＝S n －1＜S n ，当n 为奇数时，T n ＝S n ＋1＞S n ，故选C.

11．(2019·成都检测)在二项式?

??

?ax 2＋

1x 5

的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________. 解析：?

???ax 2＋

1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×???

?1x r ＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45

a 5－4＝－10，解得a ＝－2. 答案：－2

12．(2019·济南模拟)????x －a x ????2x －1

x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．

解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x ＝1，得(1－a )×1＝2，解得a ＝ －1.????2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ????－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5

x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，展开式中含x 3项的系数为T 2＝(－1)×24C 15＝－80，令5－2r ＝5，得r ＝0，展开式中含x 5项的系数为T 1＝25C 05

＝32，所以????x －a x ????2x －1x 5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.

答案：－48

13．(2019·贵阳调研)????x ＋a

x 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．

解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ????a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39

＝－84，所以a ＝－1，所以二项式为????x －1

x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.

答案：0

14．(2019·天水一中一模)已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值

为________．

解析：因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C15×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为C14·a＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.

答案：3