《概率论与随机过程》第1章习题答案
《概率论与随机过程》第一章习题答案
1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解：
?
?
?
????=n n n n S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，
记录抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： {} ,11,10=S 。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），
观察选举的结果。
解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其
中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出
二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正
品。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，
观察装球的情况。
解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示
球a 放在盒子A 中，余者类推。
（10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S
（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三
段的长度。#
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C B A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC
（4）
A ，
B ，
C 中至少有一个发生。 解： C B A ??
（5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A
（6） A ，B ，C 中至多有一个发生。 解： A C C B B A ?? （7） A ，B ，C 中至多有二个发生。 解： C B A ??
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. #
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式
（1）B A 。 解： {}5=B A ；
（2）B A ?。 解： {}10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ；
（3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ；
（4） BC A 。 解： {}10,9,8,7,6,5,1=BC A
（5）)(C B A ?。 解： {}10,9,8,7,6,5,2,1)(=?C B A . #
4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A
，??????<≤=2341
x x B ，具体写出下列各式。
（1）B A ?。 解： ?
?
?
???≤≤???????≤≤=?223410x x x x B A
（2）B A ?。 解： ?
?
?
???≤≤???????≤≤???????<≤=?223121410x x x x x x B A
（3）B A 。 解：
{}φ=B A
（4）B A 。 解：??
????≤
??
≤≤=2312141x x x x B A . #
5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，
求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：由题意可知：0)(=ABC P ，
故()()()()8
5)()()()(=
+---++=??ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。
或 φ=??B C A )( ，
∴()()()()8
5)()()())((=
+-+=+?=??=??B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。#
6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。
解：（1）???
? ?????
?
???
????? ??????
??2001500
1101100
90400；
（2） 设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：
???
? ?????
????????? ?
????? ??-???
? ?????? ??-=--=∑
=2001500
1991100
1
4002001500200
1100
1)1()0(1)(200
2
P P k P k . #
7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：（1） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，某指
定房间中至少有一人的概率。
设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有
()k
n k n
k n N N N k n N
N k n k P --?
??
??-??? ?
????? ??=???
?
????-???? ??=111)(。故，某指定房间中至少有一人的概率为：
n
n
k N N P k P ?
?
?
??--=-=∑
=11)0(1)(1
。
所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：
74634
.025366.013653641500
=-=?
?
?
??-
（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，至少
有二个人在同一间房中的概率。
设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。
“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：
!
n)(N !N -。
所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。
0.42710.5729112
4-(12!12114=-=-
=--
！
）n
N
!
n)(N !N 。 #
8. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨
天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)
/(A B P 及)(B A P ?。 解： 7
.04
.028.0===P(B)
P(AB)P(A/B)
；7
04
0280...P(A)
P(AB)P(B/A)
==
5202804040....P(AB)P(B)P(A)B P(A =-+=-+=?。 #
9. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事
件的概率。
（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。
解： (1) 4528106!2!2!8!821028=????=???
? ??????
??！！；
(2) 45110!2!821022=?=???
? ?????
? ??！；
(3) 451610!2!8282101218=???=???
? ?????? ?????? ??！；或
45
169810292108=?+?；
(4)
45
99
110
29
210
8=
?
+
?
。 #
10. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，
2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？
解：设A 为“次品”，
已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；
05
.0)/(1=B A P ，04.0)/(2=B A P ，02.0)/(3=B A P ，
0345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(3
1
=?+?+?==
∑=j j j
B P B
A P A P 。故由，
)
()
()/()/(A P B P B A P A B P i i i =
可得：
36232.069250345.025.005.0)
()
()/()/(111≈=?=
=
A P
B P B A P A B P ； 40580
.069
280345
.035.004.0)
()
()/()/(222≈=
?=
=
A P
B P B A P A B P ；
23188
.069
160345
.040.002.0)
()
()/()/(333≈=
?=
=
A P
B P B A P A B P 。 #
11. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作
A 的概率为0.01。信息A 与信息
B 传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？
解：设：B A '',分别表示收到信息是A 和B 。由已知条件可知:
02
0./A)B P(='，010./B)A P(='，980./A)A P(='，990./B)B P(='32/P(A)=，31/P(B)=。
300/197='+'='/A)A P(A)P(/B ）A P(B)P()A P(
9
499.07
91961)
()
/()()/(==
''=
'∴A P A A P A P A A P 。 #
12. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电
器接点闭合与否相互独立。求L 至R 连通的概率是多少？
L
R
解: ]6543231[)()()(P ??????
)
P()P()P()P()
P()P()P()
P()P()P()P()P()P()P()P(6542316543265431652314231654653243265314312316543231?????-????+????+????+???+??-???-??-???-??-??-?++?+?=
6
5
4
2
343p p p p p -+-+=。 #
13. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击
中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。
解: 设i A ：为第i 次射击命中飞机；i B ：飞机击中i 次而被击落。C ：射击三次而击落飞机
[]+
++=)()()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P C P
[])()()()()()(32133213213212A A A P B P A A A P A A A P A A A P B P +++
458
.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0=++=++++++=。 #
14. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的三只球中的
最大号码，写出随机变量X 的概率密度。
解： ???
?
???
??
?
??-=3521x x p
15. (1) 设随机变量X 的概率密度为!
}{k a
k X P k
λ
==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。
（2）设随机变量X 的概率密度为N
a k X
P =
=}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。
解： （1）1!
!
}{0
0====
=∑
∑∑
∞
=∞
=∞
=λ
λ
λ
ae
k a
k a
k X P k k
k k
k ， λ
-=∴e
a
(2) 1N
a *
N N
a }k X {P 1
N 0
k 0
k ====∑
∑-=∞
= ， 1=∴a 。 #
16. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行
了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
设：n X X X Y +++= 21，则k
k k n K Y
P -?????
? ??==57.03.0}{。
（1）5=n 时，16308.07.03.05)3(55
3=?????
?
??=
≥-=∑
k k k k Y P
（2）7=n
时，353.07.03.07)3(7
37=?????
?
??=
≥∑
=-k k k k Y P 。 #
17. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。
（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
解: 参数为4的泊松分布为：!
4}{4
k e
k X
P k -?=
=， ,2,1,0=k 。 故，
(1)
02977
.0!
8*4}8{4
8
===-e
X P ； (2)
∑===-
=≥10
00284350
.0}{1}10{k k X
P X P 。 #
18. 设随机变量X 的分布函数为
??
???<≥-=-.0,0,
0,1)(x x e x F x
求}3{},2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。
解：（1）8647.01)2(}2{2=-==≤-e F X P （2）04979.0)3(1}3{=-=>F X P (3)
????
?≤≥='=-0
0,
0,)()(x x e x F x f x 。 #
19. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160
=μ
，σ的正态分布，若要求
80.0}200120{≥≤ 2 2 σ πσ -- = x x f 80.05.0]2exp[212]2exp[21]2)160(exp[21}200120{2 /402 /40/402 2 200 120 2 ≥?? ? ?? ? -- =- = --= ≤<∴? ? ? ∞ --dy y dy y dx x x P σ σ σπ π σ πσ 即， 9.0]2 exp[212 /40≥- ? ∞ -dy y σ π , 查表可得： 28 .140 ≥σ 25.31max =∴ σ。 # 20. 求2 X Y =的概率密度。 解：由2 X Y =可知：}9,4,1,0{= Y S 。故有 21. 设X 的概率密度为 ?? ? ??<<=其它 ,00,2)(2 ππx x x f ，求sinX Y =的概率密度。 解：1sin 0,0<=<< ?-=Y Y X arcsin arcsin π。 又}arcsin {}arcsin 0{}sin {)(ππ<<-+≤<=≤==X y P y X P y X Y P y F Y y dx x dx x y y arcsin 2 22arcsin 2 arcsin 0 2 π π π π π= + = ? ? -， 10< ?? ? ??<<-='=∴ 其它 , 010,112)()(2 y y y F y f Y Y π 。 # 22. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ?? ???≤≤≤≤+=其它. 020103 2 ,, y ,x , xy x )y ,x (f 求}1{≥+Y X P 。 解： ?? ?? -= = ≥+10 2 11dx ]dy )y ,x (f [ dydx )y ,x (f }Y X {P x Ω dx )y x y x (dx ]dy )xy x ([x x ??? --+ = + = 1 2 122 10 2 12 6 3 72 654 19 424 52 13 46 51 23 4 1 2 3 = + + = + + = ? x x x dx )x x x ( 。 # 23. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其中 没有一只寿命小于180 小时的概率。 解： 设k X 为取出的第k 只管子的寿命，故， ? ? ∞ -∞ -=- -=?-- = 1 2 2 2 180 0.8413 y )2 y exp(2120 )160()20 2)160(exp(2201)180(d x y dx x F k X π π 令 令),,,min(N 43214X X X X =。因为}{k X 相互独立，且同分布，所以， []{}[] 4 4 4 min 44) 1597.0() 180(1) 180(111)180(1}180{1}180{=-=---=-=≤-=>k k X X F F F N P N P 。 ## 24. 设随机变量X 的概率密度为 求)(),(),(53X E X E X E 22+。 解：2.03.023.004.02)(-=?+?+?-=X E ， 8.23.023.004.0)2()(2 222 =?+?+?-=X E ， 4 .1358.235)(3)53(2 2 =+?=+=+X E X E 。 # 25. 设X 服从二项分布，其概率密度为 {}.10.,,2,1,0,)1(<<=-??? ? ??==-p n k p p k n k X P k n k 求)(X E 和)(X D 。 解：∑ ∑ =-=-??? ? ??= == n k k n k n k p p k n k k X kP X E 00 ) 1(}{)( 1 110 1 12111212111()() ()()[()] () ! ()()[()()] () ()! () -=----=-----=------=--=+-=∑∑ n k n k k n k n k k n n n n n k k p p k n n n k np p p k np p p np ∑ =-+-??? ? ??-= +-=+-=n k k n k np p p k n k k X E X X E X X X E X E 0 2 )1()1()()]1([])1([)( np p n n np p p p n n np p p k k n n n p n n n n k k n k +-=+-+-=+--------=-=----∑ 22 2 ) 2()2(2 2 )1() 1()1() 1(! )2()] 3()2[()3)(2()1( []) 1()1()()()(2 2 2 2 2 p np p n np p n n X E X E X D -=-+-=-=。 # 26. 设X 服从泊松分布，其分布律为 {}.0, ,2,1,0,! >== =-λλλ k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。 解： λ λλ λλλ λ λ λ=?=-== -∞ =--∞ =-∑∑e e k e k e k X E k k k k 1 1 !)1(! )(， λ λλλ λλλλ λ+=+-=+-= +-=+-=∑∑ ∞ =--∞ =-2 2 2 20 2 ! )2(! ) 1() ()]1([])1([)(k k k k k e k e k k X E X X E X X X E X E []λλλλ=-+=-=2 2 2 2 )()()(X E X E X D 。 # 27. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为 ?? ???<<-=， 其它0,, 1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。 解： 2 1)(b a dx a b x X E b a += -= ? ， []()12 21 )()()(2 2 2 2 2 a b b a dx a b x X E X E X D b a -= ?? ? ??+--= -=? 。 # 28. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为 ()+∞ <<∞->??? ? ????- = x x f ,02-x exp 21)(22 σσμσπ，。 求)(X E 和)(X D 。 解： ()? ∞ +∞ -??? ? ????-= dx x X E 2 22-x exp 21 )(σμσπ， 令 t x =-σ μ ，则 ( ) μ ππ μ π μ μσπ μσπ == -= ??? ? ????-+= ??? ? ????-+= ? ? ?∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞-222/exp 22exp )(212exp )(21)(2 22dt t dt t t dx t t X E 其中，)2/exp()(2 t t t f -=为奇函数，故0 )2/exp(2 ? +∞ ∞ -=-dt t t ； 而( ) ( ) ()π 22 12exp 2 2/2/exp 2 2/exp 0 1 2 1 2 2 2 == -=-=-? ? ? ∞ +-∞ +∞ +∞ -)Γ( dy y y t y dt t dt t ()παα=Γ-=Γ? +∞ -)2 1 (, exp )(0 1 dx x x 。 ()? ∞ +∞ -??? ???? ?- -= dx x X D 22 2 2-x exp )(21 )(σμμσπ （令 t x =-σ μ ） ( ) () 2 2 2 2 /2 2 2 2 222/exp 22/exp 22σ ππσπσ π σ == ?? ??? ?-+ -= -= ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --+∞ ∞ -dt t te dt t t t 。 # 29. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立： （1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； （2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。 证： [] {}[][][][]{})()(2)()()()()(2 2 2 Y E Y X E X Y E Y X E X E Y E Y X E X E Y X D --+-+-=-+-=+ []{ }[]{}[][]{})()(2)()(2 2 Y E Y X E X E Y E Y E X E X E --+-+-= ),(2)()(Y X Cov Y D X D ++= ∴ ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； [][]{}{} )()()()()()(),(X E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov ---=--= ) ()()(Y E X E XY E -= ∴ )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。 # 30. 设随机变量X 的概率密度函数为???? ?≤>=-0 00x , x , e f(x)x 。求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期望。 解：[]22220 =-== =+∞-+∞ -? x x e dx xe X Y E ； [ ]3 /13 10 30 22=- ===+∞ -∞ +---? x x x X e dx e e e Y E 。 # 31. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为 ? ??<<<<=其它，,x, y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。 解： 1),(=?? +∞∞ -+∞ ∞ -dxdy y x f ， 故12 1 1 0== =?? ? ?? ? ? ? ?K Kxdx dx Kdy x ，∴ 2=K 4 12),()(1 3 1 = =?? ? ???= = ? ? ? ?? +∞∞ -+∞ ∞-dx x dx ydy x dxdy y x xyf XY E x 。 # 32. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等 式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解： 已知：7300=μ，700=σ。 ()μ ==+73002/94005200 故令210073009400=-=ε {}8889 .09/82100 7001121002 22 2≈=-=- ≥=<-ε σεμX P ∴ {}8889.09/82100≈≥<-μX P 。 # 33. 设随机变量X 的概率密度函数为???? ?≤>=-0 00x , x ,e )x (f x λλ，其中0 >λ 为常数。求)(X E 和)(X D 。 解： λ λ λ λ λ1 )2(1 1 )(0 = Γ= = =? ? +∞ -+∞ -dy ye dx xe X E y x ， （ !)()1(n n n n =Γ=+Γ） []2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 )3(1 1 1 1 )()()(λ λ λ λ λ λ λλ= - Γ= - = - = -=? ? +∞ -+∞ -dy e y dx e x X E X E X D y x 。 # 34. 设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ???≤>-=0 ,00), 2exp()(222 x x x x x f σσ，其中0 >σ 为常数。求)(X E 和 )(X D 。 解： σ ππσ σσ σ σ 2/2 2)1(22)2exp()(2 10 2 22 221 ==+Γ= =- = ? ? +∞ -+∞ dt e t dx x x X E t ， （ πn n n 2 !!)12()(2 1-=+Γ） []2 2 2 2 2 2 22 32 2 2 42 2)exp(22 )2exp()()()(σ ππσσ σ πσσ σ -= - =-=- - = -=? ? +∞ +∞ dt t t dx x x X E X E X D 。 # 35. 设随机变量X 的概率密度函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。其中p q ,p -=<< 110为常数， 则称 X 服从参数为p 的几何分布。试求)(X E 和)(X D 。 解：()p q p q p q p kpq X E k k k k 1 1111)(21 1 1 =??? ? ? ?-=' ???? ??-='? ?? ? ? ?== ∑ ∑∞ =∞ =-， [][]2 1 1 2 2 2 11)1()()()]1([)()()(p p pq k k X E X E X X E X E X E X D k k - + -= -+-=-=∑∞ =- = ()22 3 221 1211p q p q q pq p q q pq p q q pq k k = -??? ? ? ?-=-" ???? ??-=-"??? ? ? ? ∑ ∞ =。 # 36. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为. 2 0,20,)(8 1),(≤≤≤≤+= y x y x y x f 。求)(X E 、)Y (E 、 )Y ,X (Cov 。 解： 6 7)(4 1)2 (8 1])([ 8 1),()(2 2 2 2 02 2 202 2 = += + = += = ? ? ?? ?? ∞+∞-∞ +∞ -dy x x dx xy y x dx dy xy x dy dx y x xf X E ， 6 7)(4 1)2 (8 1])([ 8 1),()(20 2 20 2 02 2 2 2 2 = += + = += = ? ? ?? ?? ∞ +∞-∞ +∞ -dy y y dy y x x y dy dx xy y dy dx y x yf Y E ， 3 4)4 3 ( )2 3 ( 8 1])([ 8 1),()(2 2 2 2 2 2 3 20 2 2 2= + = + =+= = ? ? ?? ?? ∞+∞ -∞ +∞ -dy y y dy y x y x dy dx xy y x dy dx y x xyf XY E ， 36 16 76 73 4)()()(),(- =?- = -=Y E X E XY E Y X Cov 。# 37. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的， 且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。 （1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？ 解： 设X 为取整误差，则0)(=X E ,1212/σD(X)==。 （1） ? ? ? ?? ?≈>=??? ? ??>∑ ∑ ==34.1125/1512 /150011515001 15001 k k k k X P X P ??? ? ??? ? ? ?≤-=∑ =34.1125 1115001 k k X P ]34.1125 134.11251 [115001 15001 ? ?? ?? ?-≤-????? ?≤-=∑ ∑ ==k k k k X P X P ? ? -∞ --∞ --+ - =34 .12 /34 .12 /2 2 21211dt e dt e t t π π 1802 .00901.09099.01=+-= 或：? ? ? ?? ?≈>=??? ? ??>∑ ∑ ==34.1125/1512 /150******** 1 15001 k k k k X P X P ] 34.112511[215001 ? ???? ?≤-=∑ =k k X P 1802 .0]9099.01[2]211[234 .12 /2 =-?=- =? ∞ --dt e t π （2） 90 .0]211[21/121012 /110/12102 /1 1 2 =- -=? ?? ?? ?<=??? ? ?? ∑ ∑ ∞ --==n t n k k n k k dt e n X n P X P π 95 .0]21 /12102 /2 =? ∞ --n t dt e π ，645.1/1210≈n ， ∴ 443 =n 。 # 38. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的 概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。 （2）一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。 解： 设每个部件损坏的概率10.0}0{==k X P ，则每个部件未损坏的概率90.0}1{==k X P 。 令∑ == 100 1 100k k X η，由此可知100η具有参数为100 =n ，90 .0=p 的二项分布， 故整个系统工作的概 率为： (1) 100859010090 510{85100}{ }{}3 3 3 3 np np P P P η----<≤=< ≤ =- < ≤ 9520 .00475.09995.0213 /103 /52 /2 =-== ? --dt e t π (2) }3 ) 1(3{}09.09.0) 1(09.09.08.0{ }8.0{100100n p np np n P n n n p np np n n n P n n P n n n ≤ --< - =-≤ --< -=≤<ηηηηη 95 .0]211[21213 /2 /3/3 /2 /2 2 =- -== ? ? ∞ --- -n t n n t dt e dt e π π 975.0213 /2 /2 =? ∞ --n t dt e π ? 96 .13 =n , ∴ 35 =n 。 # 39. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话， 假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 解：设要m 条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 已知：05.0}1{==k X P ，95.0}0{==k X P 令∑ ==2001 k k n X η, 则n η具有参数为200 =n ， 05 .0=p 的二项分布。 ? --=??? ???????-≤ --< -=≤<5 .9/ )10(5 .9/ 102 /2 215.910)1(5 .910 }0{m t n n dt e m p np np P m P π ηη 90 .021215 .9/102 /5 .9/)10(2 /2 2 =- = ? ? -∞ ---∞ --dt e dt e t m t π π 9007 .090.00007.090.021215 .9/102 /5 .9/)10(2 /2 2 =+=+= ? ? -∞ ---∞ --dt e dt e t m t π π 32 .15 .910=-m ? 14 =m 。 # 《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得 （1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码． 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ; 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ； (5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(． 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=- 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求： 一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算． 二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算． 难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理 解与应用；独立性的应用． 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ； （2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑 球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵： （1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y 《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. .1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案 每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 )B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件 8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ? 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 精心整理 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ， B ， C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生； （5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”， 则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 概率论第一章课后习题答案
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