热学第二章习题课

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第二章分子动理论的平衡态理论

◆本章学习目标

理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率，最概然速率。理解等温大气压强公式、等温大气标高、能量均分定理、理想气体内能

◆本章教学内容

1、气体分子的速率分布律

2、麦克斯韦速度分布律、相对最概然速率的速度分量分布于速率分布

3、重力场中微粒按高度的分布，等温大气压强公式、等温大气标高

4、能量按自由度均分定理，理想气体内能

◆本章重点

麦克斯韦速率分布律和速度分布律、三种速率分布、能量均分定理、理想气体内能

一、气体分子的速率分布律

在平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大，速率可以看作在0～之间连续分布的。此时分子的速率分布函数应该这

样来定义：假设系统的总分子数为，在速率v～

v+dv之间的分子数为，则我们用来表示

在速率v～v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率；或者对于任意一个分子来说，这是它的速率处于v～v+dv之间的概率。由于和速率区间

dv的大小成正比（即dv越大则dw越大），通常用来反映气体分子的速率分布，它与所取区间dv的大小无关而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数

速率分布函数的物理意义是：在速率v附

近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率；或者说，对于任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率，故也称为分子速率分布的概率密度。对于任意一个分子来说，它的速率是多大是偶然的，但却具有一定的概率分布。只要给出了速率分布函数，整个分子的速率分布就完全确定了。由速率分布函数可求出：

v～v+dv区间的分子数

v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率，即一个分子的速率在v～v+dv区间的概率

在分布函数的曲线上，它表示曲线下一个

微元矩形的面积。

～区间的分子数可以用积分表示为

～区间的分子数在总数中占的比例，即一

个分子的速率在～区间的概率

在分布曲线上，它表示在～区间曲线下的

面积。令，则即为全部分子数N，故

有

此式称为速率分布函数的归一化条件，表示所有分子与分子总数的比率为1，即一个分子速率在0～区间的概率为1。在分布曲线上，它表示在~区间曲线下的面积为1。

（2）统计平均速率

下面讨论如何用统计分布函数来求统计平均值。

一般来说，假定某量有个测量值，测量结果

为的有个，为的有个，…为的有个，按照求平均值的方法，该量测量的平均值应该是

其中这种形式意味着只要把各种测量值全

部加起来，再除了测量总次数，就可得；而

这种形式意味着，每一种测量值先乘以它出现的概率，然后再把每一种测量值与它对应的概率的乘积加起来得到，虽然两种方法计算的结果肯定是一样的，但作为方法本身来说，还是有区别的。

同理，该量测量的方均值（先平方后再求平均值）应该是

实际上只要把上面的式中的用来代替就

达到上式。

对于总分子数很大的平衡态气体，由于分子

速率在之间的分子数有个，这个分子

的速率严格来说肯定是不相同的，但差别极其微小，因此可以近似认为这个分子速率都是等于

的。所以这个分子的速率加起来等于

，全部气体分子的速率加起来等于

，故分子的平均速率

式中这种形式，意味着把每个分子的速率全部加起来，然后再除以总分子数就是；而

这种形式则意味着先计算速率与速率在

区间的概率的乘积，然后再全部将它们相

加得出。

同理，方均速率只要将上式中的用代替即可很方便地写出

若进一步要求方均根速率只要将开方即可：

从上述三式可以清楚地看出，为了计算，或

，实际上只要给定速率分布函数就可以

了，可见速率分布函数的重要性。

还有一个常用的速率，也是与速率分布函数直接有关的，这就是最概然速率。它的定义是，

速率分布函数（）曲线峰值所对应的速率。

其物理意义是，在附近单位速率区间内的分子

数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于附近单位速率

区间内的概率最大。

根据求极值的方法，令

即可求出。最概然速率、平均速率和方均

根速率统称为速率分布的特征速率。

【例1】一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；

（2）速率在0～v0/2范围内的粒子数；

（3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。

【解】

（1）按上图所示的速率分布曲线形状，应有

k为0～v0之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得

故速率分布函数为

（2）速率在范围内的分子数为：

（3）由和，可得粒子的平均速率

方均速率

故方均根速率

最概然速率是具有最大值，即速率分布

曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲线，可得

二、麦克斯韦速率分布律

理想气体在平衡态下，分子的速率分布函数为

这个函数表达的速率分布规律叫做麦克斯韦速率分布律。式中，T为理想气体平衡态的热力学温度，m为气体分子的质量，k为玻耳兹曼常量。上式表达的分布规律从数学形式上看是较为复杂的，从下面的曲线可以更清楚地看到它的特点。

（a）同种气体，不同温度

（b）同一温度，不同气体

麦克斯韦速率分布曲线

三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值

三个特征速率

作为平衡态的理想气体系统，它的热运动常用最概然速率、平均速率和方均根速率来表征。按前面讲述的定义和计算方法，利用麦克斯韦速

率分布函数可得平衡态理想气体的最概然速

率、平均速率和方均根速率，它们分别是:

最概然速率：

平均速率：

方均根速率：

从三个式子很容易看出，三个特征速率都和

成正比，都和成反比，当气体的温度T和摩尔

质量M相同时，：：=1.41：1.60：1.73（见下图）。在室温下，三个特征速率的数量级一般为每秒几百米。三个特征速率就不同的问题有各自的应用。举例来说，在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子运动的平均自由程时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，则要用到方均根速率。

从麦克斯韦速率分布函数可以看出，分布函数不仅是速率v的函数，还与系统的构成—分子

的质量m，和系统的状态—温度T有关：由可变因子T/μ或T/M决定。三个特征速率也仅取决于T/μ或T/M。

从公式可以看出：气体的温度越高，曲线的峰值速率（以及平均速率和方均根速率）越大，但由于曲线下的总面积始终为一，故速率分布曲线会随温度升高而变得比较平坦，所以曲线的峰值会随温度升高反而降低。

利用理想气体的物态方程，可以把理想

气体的三个特征速率用压强P和体积V来表示，例如最概然速率就可以记作

其中ρ为气体密度。

【例】对于给定的理想气体，试分别求，和的速率附近与最概然速率的附近相比，在相同的速率小区间内的分子数比。

【解】

由，可得任意速率区间内的分子数

当很小时，在该速率区间内近似不变，

可将上式简化为

因而，当速率分别为和时，由相同，有

理想气体的分子速率，遵守麦克斯韦速率分

布。由可得

以最概然速率代入上式，又有

分别以，和代入上式，可以算出：

时，

时，

时，

显然，速率越是偏离最概然速率，区间内的分子数越少。

四、 麦克斯韦速度分布律

1. 1.

麦克斯韦速度分布律 在平衡状态下，当气体分子间的相互作用可以

忽略时，速度分量 x υ 在区间 x

x x d υυυ+内，y υ在区间 y y y d υυυ+内，z υ在区间内z z d υυ+的分子的比率为

22232()/22z x y m kT x y z dN m e d d d N kT υυυυυυπ-++?? ???=

这个结论叫麦克斯韦速度分布律。

2. 2.

速度分量的分布函数 速度分量x υ的分布函数

2122()()2x m kT x m f e kT υυπ-= 同理有y υ的分布函数

2122()2y m kT y m f e kT υυπ-??= ??? z υ的分布函数122/2()2z m kT z m f e kT υυπ-??= ???

五、重力场中微粒按高度的分布

重力场中粒子按高度的分布规律0mgz kT n n e

-=, 由气体状态方程代入得00mgz gz kT kT P P e P e μ--==。 等温大气标高：g M RT mg kT H m

==

六、能量按自由度均分定理

单原子分子：i=3。

刚性双原子分子：i=5，其中t=3，r=2。

刚性多原子分子：i=6，其中t=3，r=3。

能量按自由度均分定理

（1）能量按自由度均分定理的说明

一个分子的平动动能可以表示为：

。

上式可以理解为：分子的平动动能是分配在三个平动自由度上的。但对于气体中的一个分子而言，这种分配没有规律，速度的各个分量大小各不相同。对于大量分子而言，分子的平均平动动能表示为：

上式也可以理解为：气体分子的平均平动动能也是分配在三个平动自由度上的。但是，根据理想气体平衡态的统计假设我们有：

。因而气体分子的平均平动动能在

三个平动自由度上是平均分配的，即每个自由度将分得平均平动动能的三分之一。又由温度公式

，可得每个自由度分得的平均平动动能为：

上式表明：平衡态下的分子运动，每一个平动自由度都均分的平均动能，没有哪个自由度的运动更占优势。

如果气体是由刚性的多（双）原子分子构成的，则分子的热运动除了分子的平动外，还有分子的转动。转动也有相应的能量。由于分子间频繁的碰撞，分子间的平动能量和转动能量是不断相互转化的。当理想气体达到平衡态时，其中的平动能量与转动能量之间有什么关系呢？是平

动与转动平分能量吗？实验证明：理想气体达到平衡态时，其中的平动能量与转动能量是按自由度分配的。从而就得到如下的能量按自由度均分定理。

（2）能量按自由度均分定理

理想气体在温度为的平衡态下，分子运动的

每一个平动自由度和转动自由度都平均分的

能量，而每一个振动自由度平均分得的能量。

这个结果可以由经典统计物理学理论得到严格的证明，称为能量按自由度均分定理，简称能量均分定理。

在大学物理中，我们所研究的气体一般不需要考虑分子内部的振动自由度。所以气体分子的平均动能为：

其中是自由度，为平动自由度数目，为转动自由度数目。

平均平动动能为：

平均转动动能为：

平均动能等于平均平动动能与平均转动动能之合。

能量均分定理适用于达到平衡态的气体、液体、固体和其它由大量运动粒子组成的系统。对大量粒子组成的系统来说，动能之所以会按自由度均分是依靠分子频繁的无规碰撞来实现的。在碰撞过程中，一个分子的动能可以传递给另一个分子，一种形式的动能可以转化另一种形式的动能，而且动能还可以从一个自由度转移到另一个

自由度。但只要气体达到了平衡态，那么任意一个自由度上的平均动能就应该相等。

七、理想气体的内能

（1）内能的定义

热运动系统的内能定义为：系统内热运动能量的总和。对于实际气体来说，它的内能通常包括所有分子的平动动能、转动动能、振动动能及振动势能。由于分子间存在着相互作用的保守力，所以还具有分子之间的势能，所有分子的各种形式的动能和势能的总和称为气体的内能。

（2）理想气体处平衡态时的内能

根据理想气体的微观模型，理想气体的分子间无相互作用，因此分子之间没有势能。又由于不考虑分子内部原子间的振动，因此其理想气体平衡态的内能只是所有分子平动动能和转动动能之和，即

式中为系统的总分子数，为分子的平均动

能，为分子的平动和转动自由度。由于，上式进一步可写为：

。

又由，我们得到理想气体的内能公式

这说明，对于给定的系统来说（m、M、都是确定的），理想气体平衡态的内能唯一地由温度来确定，也就是说理想气体平衡态的内能是温度的单值函数，由系统的状态参量就可以确定它的内能。系统内能是一个态函数，只要状态确定了，那么相应的内能也就确定了。按照理想气体物态方程，内能公式还可以记作

如果状态发生变化，则系统的内能也将发生变化。对于理想气体系统来说，内能的变化：

或记作

与状态变化所经历的具体过程无关。上述与内能有关的公式我们在后面有广泛的应用希望大家熟练掌握。

下面我们通过一些例题来给大家介绍相关的应用。

【例1】一容器内贮有理想气体氧气，压强p ＝1.00atm，温度t＝27.0℃，体积V＝2.00m3。求：

（1）氧分子的平均平动动能；

（2）氧分子的平均转动动能；

（3）氧气的内能。

【解】

氧分子为双原子分子，自由度＝5，其中，平

动自由度＝3，转动自由度＝2。由能量均分定理和理想气体的内能公式，可得

（1）

（2）

（3）

【例2】一摩尔的水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，求分解前后的平均平动动能比和内能比。设分解前后的气体均为刚性理想气体分子。

【解】

由化学方程式

2H2O→2H2＋O2