高二数学复习1：空间中的平行与垂直关系

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高二数学作业空间中的平行与垂直关系

[知识要点]

要点1、空间中的平行关系： ◆平行直线：

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

◆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．

◆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．

◆两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理

的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫

⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪

⎪

⎪⎭

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒

◆两个平面平行的性质

（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； 〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ◆注意体会以下平行问题的转化思路、方向与转化条件、途径：

要点2、空间中的垂直关系： ◆线线垂直

〔1〕线线垂直的定义：所成的角是直角，两直线垂直。 〔2〕垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。 ◆线面垂直

〔1〕定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l 与平

b

a

b a

αα

P P a

b βα

c b a βα

2

面α垂直记作：l ⊥α。

〔2〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

〔3〕直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

◆面面垂直

〔1〕两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 〔2〕两平面垂直的判定定理：〔线面垂直⇒面面垂直〕如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

〔3〕两平面垂直的性质定理：〔面面垂直⇒线面垂直〕若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

◆注意体会以下垂直问题的转化思路、方向与转化条件、途径：

◆空间平行、垂直问题知识体系：

◆异面直线垂直的判断：

〔1〕三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

〔3〕三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫

⎪

=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭

。

注意：

*三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 **要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。 作业：

a

P

α

O

A

.

1、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；

④存在异面直线m l ,，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β。 其中可以判断α与β平行的条件有 〔 〕 〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个

2、已知m,n 是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若,,βα⊥⊥m m 则α∥β；②若γβγα⊥⊥,，则α∥β； ③若m n m ,,βα⊂⊂∥n ，则α∥β；

④若m,n 是异面直线，α⊂m ，m ∥β，β⊂n ，n ∥α，则α∥β。 其中真命题的是 〔 〕

〔A 〕①② 〔B 〕①③ 〔C 〕③④ 〔D 〕①④

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，2AB =，60BAD ∠=，M 是PD 的中点． (Ⅰ)求证：OM ∥平面PAB ； (Ⅱ)平面PBD ⊥平面PAC ； (Ⅲ)当三棱锥C PBD -的体积等于3

2

时，求PA 的长．

4

4、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，

1AA =,M N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．

〔Ⅰ〕求证：平面APM

⊥平面11BB C C ；

〔Ⅱ〕若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ； 〔Ⅲ〕试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直.

若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．

5、已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥'C ABDE -〔如图〕.

〔Ⅰ〕求证：DE ⊥平面'BC D ； 〔Ⅱ〕设平面'C DE

平面'ABC l =，求证：AB ∥l ；

〔Ⅲ〕若'C D BD ⊥，2AB =，3BD =，F 为棱'BC 上一点，设'

BF

FC λ=，当λ为何值时，三棱锥'C ADF -的体积是1？

N

A

M

P

C

B

A 1

C 1

B 1 A

B

E

D

C

C'

D

E

F

B

A

.

6、如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=，AC BD ⊥. 〔Ⅰ〕求证：1//B C 平面11ADD A ； 〔Ⅱ〕求证：1AC B D ⊥；

〔Ⅲ〕若12AD AA =，判断直线1B D 与平面1ACD 是否垂直？并说明理由.

7、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BD BC =，BD AC ⊥，点M 是棱1BB 上一点．

〔Ⅰ〕求证：11B D ∥平面1A BD ； 〔Ⅱ〕求证：MD AC ⊥； 〔Ⅲ〕试确定点M 的位置，使得 平面1DMC ⊥平面11CC D D ．

8、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点,M N 分别为线段,PB PC 上的点，且MN PB ⊥.

〔Ⅰ〕求证：平面PBC ⊥平面PAB ；

〔Ⅱ〕求证：当点M 不与点,P B 重合时, MN //平面ABCD ； 〔Ⅲ〕当3,4AB PA ==时，求点A 到直线MN 距离的最小值.

D 1

D A C 1

A 1

B 1

B C P

M

C

D N

A

6

[练习]

[练习1] 判断下列命题的对错，对的在〔 〕内打“√〞号，错的在〔 〕内打“⨯〞号： 〔1〕空间中过任意一点都只存在一条与已知直线垂直的直线 〔 〕 〔2〕垂直同一条直线的两条直线平行 〔 〕

〔3〕一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直〔 〕 〔4〕一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与该平面内的任何一条直线都不垂直〔 〕 〔5〕同一平面的两条垂线一定共面 〔 〕 〔6〕垂直于同一直线的两个平面一定相交 〔 〕 〔7〕平面α和直线b a ,，如果,,//a b a ⊥α那么α⊥b 〔 〕 〔8〕已知直线m,n 与平面βα,，γ

①若m ∥α，α⊥n ，则m n ⊥； 〔 〕 ②若α⊥m ，m ∥β，则βα⊥。 〔 〕 ③若,,βα⊥⊥m m 则α∥β； 〔 〕 ④若γβγα⊥⊥,，则α∥β； 〔 〕 ⑤若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ 〔 〕 ⑥若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥ 〔 〕

[练习2]已知m,n 是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若,,βα⊥⊥m m 则α∥β；②若γβγα⊥⊥,，则α∥β； ③若m n m ,,βα⊂⊂∥n ，则α∥β；

④若m,n 是异面直线，α⊂m ，m ∥β，β⊂n ，n ∥α，则α∥β。 其中真命题的是 〔 〕

〔A 〕①② 〔B 〕①③ 〔C 〕③④ 〔D 〕①④ [练习3]两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则平面β内〔〕

〔A 〕一定存在与直线m 平行的直线； 〔B 〕一定不存在与直线m 平行的直线； 〔C 〕一定存在与直线m 垂直的直线； 〔D 〕不一定存在与直线m 垂直的直线。

[练习4]若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是〔 〕

〔A 〕若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥

.

〔B 〕若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥

〔C 〕若m β⊥，m α∥，则αβ⊥ 〔D 〕若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥

[练习5]已知直线m,n 与平面βα,，给出下列三个命题： ① 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ② 若m ∥α，α⊥n ，则m n ⊥； ③ 若α⊥m ，m ∥β，则βα⊥。

其中真命题的个数是〔 〕

〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 [练习6]在梯形ABCD 中，AB

CD ，AD DC CB a ===，60ABC ∠=.平面ACEF ⊥平面ABCD ，

四边形ACEF 是矩形，AF a =，点M 在线段EF 上．

〔Ⅰ〕求证：BC ⊥AM ； 〔Ⅱ〕试问当AM 为何值时，AM 平面BDE ？证明你的结论．

〔Ⅲ〕求三棱锥A BFD -的体积.

[练习7] 如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC =2，BC =1，且AC ⊥BC ，点D ，E ，F 分别为

AC ，AB ，A 1C 1的中点． 〔Ⅰ〕求证：A 1D ⊥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求证：EF ∥平面BB 1C 1C ； 〔Ⅲ〕写出四棱锥A 1-BB 1C 1C 的体积. 〔只写出结论，不需要说明理由〕

B 1

A E

D

A

C

8

[练习8]如图，在周长为8的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将矩形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠=. 设G 为AF 上一点，且满足//CF 平面BDG .

〔Ⅰ〕求证：EF DG ⊥； 〔Ⅱ〕求证：G 为线段AF 的中点；

〔Ⅲ〕求线段CG 长度的最小值.

[练习9]已知长方形ABCD 中

, 2AD AB ==，E 为AB 中点，将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆，所得四棱锥P BCDE -如图所示.

〔Ⅰ〕若点M 为PC 中点，求证：BM

平面PDE ；

〔Ⅱ〕当平面PDE ⊥平面BCDE 时，求四棱锥P BCDE -的体积； 〔Ⅲ〕求证: DE PC ⊥.

[练习10]在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面

BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点．

〔Ⅰ〕求证：AO CD ⊥；

〔Ⅱ〕求证：平面AOF ⊥平面ACE ；

〔Ⅲ〕侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?

若存在，求出AP PC

的值；若不存在，请说明理由．

F

E G

A B

D C

⇒

E

C D

C

B

E

A

P

D

E

B

C

F

O

B

C

D

A

E