第2课时 全等三角形

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一、选择题

第 2 课时全等三角形

1.．如图，在△ ABC ，△ADE 中，BAC DAE = 90 °，AB = AC ，AD =AE ，点C，

D ，

E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：

①BD =C E ；②BD ⊥CE；③ACE DBC= 45 °；④BE 2 2（AD2 AB2），

其中结论正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

第1 题第2 题第3 题第4 题

2.．如图，已知边长为4 的正方形ABCD ，P 是BC 边上一动点（与B 、C 不

重合），连结AP ，作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于 E ．设BP = x ，△PCE面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )

A．y =2 x+1 B．y =

1

x -2x2 C．y =2 x-

1

x 2 D．y =2x

2 2

3.．在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D、E 分别在AC、BC

边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；

③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为

8．其中正确的结论有( )．

A．1 个B．2 个C．3 个D．4个

4.．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，且都等于 1 ，

若等腰直角△ ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则AB 的长是() A．2 B．C．D．

5.△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC

于点E，则PD+PE 的长是( )

A．4.8 B．4.8 或3.8 C．3.8 D．5

6.．在锐角△ ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以

AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，

连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点

M ，下列结论：① BG =CE ；②BG ⊥CE ；③ AM 是

△AEG 的中线；④ EAM ABC，

其中正确结论的个数是()

A．1 个B．2个

C．3 个D．4个第6 题

10

B

二、 填空题 7. ． 长为 l 的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边 x 的取值范围为 ．

8. ．如图，等边△ABC 的边长为 3，F 为 BC 边上的动点，FD ⊥AB 于 D ，FE ⊥AC 于 E ， 则 DE 长的最小值为 ．

第 8 题 第 9 题

第 10 题

9

. ．如图，BA 1 和 CA 1 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2 是∠A 1BD 的角平分线， CA 2 是∠A 1CD 的角平分线，BA 3 是∠A 2BD 的角平分线，CA 3 是∠A 2CD 的角平分线，若 ∠A 1=α，则∠A 2013 为 ． 10. ． 如图， Rt △ ABC 中， ∠ ACB = 90 °， AC = 4 ， 将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 °至 AB ′， 连接 B ′C ， 则△ AB ′C 的面积为 ． 三、 解答题 1. 如图，已知∠ABC ，分别以 AB 和 BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接 AE ，

CD ．

(1) 求证：AE =CD ；

(2) 若 DB 垂直平分 CE ，求∠ABC 的大小．

C

E

A

D

2 1

2. ． 已知∠ ACD = 90 °， MN 是过点 A 的直线， AC = DC ， DB ⊥ MN 于点 B ，

如图（ 1 ） 易证 BD + A B = CB ， 请根据提示完成证明： 证明： 过点 C 作 CE ⊥ CB 于点 C ， 与 MN 交于点 E

（ 1 ） 当 MN 绕 A 旋转到如图（ 2 ） 和图（ 3 ） 两个位置时， BD 、 AB 、CB 满足什么样关系式， 请写出你的猜想， 并对图（ 2 ） 给予证明． （ 2 ） MN 在绕点 A 旋转过程中， 当∠ BCD = 30 °， BD = CB =___．

时， 则 CD =___，

2

13.．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（0 °＜α＜60 °），将线段BC 绕点 B 逆时

针旋转60 °得到线段BD ．

（1 ）如图 1 ，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；

（2 ）如图2 ，∠BCE = 150 °，∠ABE = 60 °，判断△ ABE 的形状并加以证明；

（3 ）在（2 ）的条件下，连接DE ，若∠ DEC = 45 °，求α 的值．

12 ．过程如下：

过点C 作CE ⊥ CB 于点C ，与MN 交于点E

∵∠ACB + ∠BCD = 90 °，∠ACB + ∠ACE= 90 °，∴∠BCD = ∠ACE ．∵ 四边形ACDB 内角和为360 °，∴ ∠ BDC +∠ CAB = 180 °．

∵∠EAC + ∠CAB= 180 °，∴∠EAC = ∠BDC ．

又∵ AC = DC ，∴ △ ACE ≌ △ DCB ，∴ AE =DB，CE = CB ，

∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE =CB ．

又∵BE = AE + AB ，∴BE =B D +A B ，∴BD +A B =CB ．

（1 ）如图（2 ）：AB BD2CB ．

证明：过点C 作CE ⊥ CB 于点C ，与MN 交于点 E ，

∵∠ACD = 90 °，

∴∠ACE = 90 °- ∠DCE ，∠BCD = 90 °- ∠ECD ，

∴∠BCD = ∠ACE ．

∵DB ⊥MN ，

∴∠CAE = 90 °- ∠AFC ，∠D = 90 °- ∠BFD ，

∵∠AFC = ∠BFD ，

∴ ∠ CAE = ∠ D ，又AC = DC ，

∴△ACE ≌△DCB ，

∴AE = DB ，CE = CB ，

∴△ECB 为等腰直角三角形，

∴BE =CB ．又BE =AB -AE ，

∴BE = AB - B D ，

∴AB -B D =CB ．

如图（3 ）：BD - A B =CB．

证明：过点C 作CE ⊥ CB 于点C ，与MN 交于点 E ，

∵∠ACD = 90 °，

∴∠ACE = 90 °+ ∠ACB ，∠BCD = 90 °+ ∠ACB ，

∴∠BCD = ∠ACE ．

∵DB ⊥MN ，

∴∠CAE = 90 °- ∠AFB ，∠D = 90 °- ∠CFD ，

∵∠AFB = ∠CFD ，

∴ ∠ CAE = ∠ D ，又AC = DC ，

∴△ACE ≌△DCB ，

∴AE = DB ，CE = CB ，

∴△ECB 为等腰直角三角形，

∴BE =CB ．又BE =AE -AB ，

∴BE =BD -A B ，∴BD -AB =CB ．

（2 ）MN 在绕点 A 旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴ 综合了第一个图和第二个图两种情况

若是第1 个图：易证△ ACE ≌ △ DCB ，CE =CB ，

∴ △ ECB 为等腰直角三角形，

∴∠AEC = 45 °= ∠ CBD ，

过D 作DH ⊥ CB ．则△ DHB 为等腰直角三角形．

BD =BH ，

∴BH = DH = 1 ．

直角△ CDH 中，∠ DCH = 30 °，

∴CD = 2 D H =2，CH =．∴CB =+ 1

若是第二个图：过 D 作DH ⊥CB 交CB 延长线于

H ．解法类似上面，CD = 2 ，但是CB = ﹣1 ．

13 ．（1 ）解：∵AB =A C ，∠A =α，

∴∠ABC =∠ACB=（180 °﹣∠A ）= 90 °﹣α，

∵∠ABD = ∠ABC ﹣∠DBC ，∠DBC =60 °，

即∠ABD =30 °﹣α；

（2 ）△ABE 是等边三角形，

证明：连接AD ，CD ，ED ，

∵ 线段BC 绕B 逆时针旋转60 °得到线段BD ，则

BC = BD ，∠ DBC = 60 °，

∵ ∠ABE = 60 °，

∴∠ABD =60 °﹣∠DBE = ∠EBC =30 °﹣α，且△BCD 为等边三角形，在△ ABD 与△ ACD 中

∴△ABD ≌△ACD （SSS ），

∴∠BAD =∠CAD = ∠BAC =α，

∵∠BCE = 150 °，

∴∠BEC =180 °﹣（30 °﹣α）﹣150 °= α=∠BAD ，

又∵ ∠ EBC =∠ABD ，BD = BC ，

∴△ABD ≌△EBC （AAS ），

∴AB = BE ，

∴ △ ABE 是等边三角形；

（3 ）解：∵∠BCD = 60 °，∠BCE = 150 °，

∴∠DCE = 150 °﹣60 °= 90 °，

∵∠DEC = 45 °，

∴ △ DEC 为等腰直角三角形，

∴DC = CE= BC ，

∵∠BCE = 150 °，

∴∠EBC =（180 °﹣150 °）= 15 °，

∵∠EBC =30 °﹣α=15 °，∴α=30 °．