第一章全等三角形复习(共课时)

第一章全等三角形复习（共4课时）

知识与技能

1、掌握全等三角形的性质；三角形全等的判定，且能灵活运用判定定理判定两个三角形全等．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应用。

2.在交流中，感受数学思考的合理性和严密性.

数学思考

1．渗透辨证唯物注意思想。

问题解决

教会学生能灵活运用判定定理判定两个三角形全等，如何添加辅助线构造全等三角形．

情感态度与价值观

培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法.

重点:探究三角形全等的条件

难点:三角形全等的判定方法及应用。

基础知识梳理

1 / 16

教材知识全扫描

1．全等三角形：

1.⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。

⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三

角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。表示：

△ABC≌△DEF

教材P3一句话：

2.三角形全等的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线相等。

全等三角形的周长、面积相等。

3.全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）

特别提醒: “有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?由于没有“对应”二字，结论不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边

角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中

一等角的对边，则两个三角形不一定全等.

二次备课

SSA不能判定两三角形全等的例子在教材P10.

3 /

16

4.尺规作图：（1）作一个角等于已知角（教材P7_8）：步骤 （2）作已知角的平分线（教材P19）：步骤 3．角平分线的性质：

⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑵角平分线的判定：教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 二、经验与提示

1．寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． ② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角． ③ 有公共边的，公共边一定是对应边． ④ 有公共角的，公共角一定是对应角．

⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角) 2．找全等三角形的方法

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

4．证明线段相等的方法：

（1）中点定义；

（2）等式的性质；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。

5．证明角相等的方法：

（1）对顶角相等；

（2）同角（或等角）的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，同位角、内错角相等；

（4）角的平分线定义；

二次备课

（5）等式的性质；

（6）垂直的定义；

（7）全等三角形的对应角相等；

（8）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。

6．证垂直的常用方法

（1）证明两直线的夹角等于90°；

（2）证明邻补角相等；

（3）若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；

（4）垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

（5）证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；

（6）邻补角的平分线互相垂直。

7．全等三角形中几个重要结论

（1）全等三角形对应角的平分线相等；

（2）全等三角形对应边上的中线相等；

（3）全等三角形对应边上的高相等。

三、典型例题

题型一运用全等三角形的性质解决角度和边的长度问题

例1（基础题）已知△ABC≌△DEF，且∠A=52°，∠B=71°31′，DE=8.5 cm，求∠F的大小

与AB的长.

分析:由三角形的内角和可求出∠C的度数，根据两个三角形全等，对应角相等、对应

边相等，即可求出∠F的大小和AB的长.

解: 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），

∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（52°+71°31′）=56°29′.

二次备课∵△ABC≌△DEF，DE=8.5 cm，

∴∠F=∠C=56°29′，AB=DE=8.5 cm.

小结：本题是全等三角形的性质与三角形内角和定理的综合题，要求∠F和AB，可先找

∠F的对应角∠C和AB的对应边DE，再根据全等三角形的性质求值.

题型二利用全等变换解决几何问题

5 / 16

例2 （提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm，BE=4 cm，DH＝3 cm，则图中阴影部分面积为

。

二次备课

40°，求∠EDC′的度数.

∠C′EB＝

1. （2009·海南中考）5. 已知图2中的两个三角形全等，则∠α的度数是

A．72°B．60°C．58°D．50°

2.

3.

图2

c

58°

b

a

72°

50°

c

a

α

二次备课

7 / 16

M

F E C B

A

2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。 例题1、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

求证：MB=MC

例题2、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD

3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB ，A B ∥CD. 求证：△ADC 是等腰三角形

E D C A

B 二次备课

9 / 16

E

D

C

B

A 4

3 2 1

E D C

B

A

例题4、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DB=DC ， 求证：EB=FC

4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法

例题5、如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证AB=AC+BD

提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： （1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） （2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））

三、你能用尺规进行下面几种作图吗？ 1、已知三边作三角形 2、作一个角等于已知角

3、已知两边和它们的夹角作三角形

4、已知两角和它们的夹边作三角形

5、已知斜边和一直角边作直角三角形

6、作角的平分线 四、学以致用

1、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ，BC=30，BD ：CD=3：2，则DE= 。

2、如图，已知E 在AB 上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC 等于AD 吗？为什么？

A C

E B D 二次备课

G F E

D

C B

A

3、如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG ∥AF ，________，__________ 求证：_________

4、如图，在R △ABC 中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE.

一.选择题(每题3分,共39分)

1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ） A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边

2. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 一锐角对应相等

B. 两锐角对应相等

C.一条边对应相等

D.两直角边对应相等 3. 假如两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）

A. 一定全等

B. 一定不全等

C. 不一定全等

D. 面积相等

4. 如图，△ABC≌△BAD，点A 和点B ，点C 和点D 是对应点，假如AB=6cm ，BD=5cm ，AD=4cm ，那么BC 的长是( )A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 无法确定

二次备课

5. 如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=500，∠AEC=1200，则∠DAC的度数等

于( )

A. 1200

B. 700

C. 600

D.500

6. 某同学把一块三角形的玻璃打坏成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻

璃，最省事的方法是( )

A. 带①去

B. 带②去

C. 带③去

D. ①②③都带去

7. 在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB= A′B′，在下面判定中错误的是

( )

A. 若添加条件AC=A′C′，则△ABC ≌△A′B′C′

B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC ≌△A′B′C′

C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC ≌△A′B′C′

D. 若添加条件∠C=∠C′，则△ABC ≌△A′B′C′

8. 在△ABC和△A′B′C′中，①AB= A′B′,②BC= B′C′,③AC= A′C′，

④∠A=∠A′，⑤∠B=∠B′，⑥∠C=∠C′，则下列条件组不能保证△ABC≌△A′B′C′的

二次备课是( )

A.①②③

B.①②⑤

C.②④⑤

D.①③⑤

9．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

11 / 16

10. 在△ABC和△A′B′C′中, AB= A′B′, ∠B=∠B′, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′, 则补充的这个条件是( )

A．BC= B′C′ B．∠A=∠A′ C．AC= A′C′ D．∠C=∠C′

11. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上，且BF=DE，若∠AEB=1200，∠ADB=300，则∠BCF= ( )

A. 150°

B.40°

C.80°

D. 90°

12. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，那么下列结论中不正确的是( )

A. BD=CD

B. AB=AC

C. BE=CE

D. ∠3=∠1 ∠2

13. 如图AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）

A. ∠1=∠EFD

B. BE=EC

C. BF=DF=CD

D. FD∥BC

二、填空题(每小题3分，共39分)

14. 如图，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其他对应角分别

为，对应边分别为.

15. 如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的

距离.

二次备课

16.

如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加的一个条件是(填上

你认为适当的一个条件即可).

17. 如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形对.

18. 如图，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，假如AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，

则AN= cm，NM= cm，∠NAM= .

19. 已知：如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，

(1) 若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为 .

(2) 若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为 .

3) 若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为 .

20. 如图，已知在△A BC中，∠A=900，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝

15cm，则△DEB的周长为 cm.

二次备课

13 / 16

21. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加

条件

= .

22. 如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=度. 二次备课

23. 如图，AB=CD，AD=BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若，∠ADB=600，EO=10

，则∠DBC=，FO= .

24. 如图，△DEF≌△ABC，且AC＞BC＞AB，则在△DEF中，______＜ ______＜ _____.

25. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方

向旋转900得到△DCF，连接EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为 .

26. 在不等边△ABC中，∠APQ=∠PAQ，PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN。则下列结论：①AN=AM；

②QP∥AM；③△BMP≌△ANP，其中正确的代号是.

三、解答题(每小题9分，共72分)

27．如图，AC=AD，BC=BD，图中有相等的角吗？请找出来，并说明你的理由.

二次备课

15 / 16

28. 已知:如图，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2.

求证:∠3=∠4

二次备课