第10章大学物理 袁艳红

习题10-3图

第10章 静电场中的导体和电介质

习 题

一 选择题

10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高

(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高

(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D

解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。

10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ]

(A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A

解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。

10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ]

(A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N 上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A

解析：带负电的带电体M 移到不带电的导体N 附近的近端感应正电荷；在远端

感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N 的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N ，或导体N 的负电荷入地。故正确答案为（A ）。

10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q

电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d 。设无穷远 处为零电势，则在导体球球心O 点有[ ] (A) 0E =，04πε=

q V d

(B) 2

04πε=

q

E d ，04πε=

q

V d

(C) 0E =，0V = (D) 2

04πε=q E d ， 04πε=q

V R

答案：A

解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此0E =。导体球球心O 点的电势为点电荷q 及感应电荷所产生的电势叠加。感应电荷分布于导体球表面，至球心O 的距离皆为半径R ，并且感应电荷量代数和q ∑为0，因此

004q

V R

πε=

=∑感应电荷。由此在导体球球心O 点的电势等于点电荷q 在O 点处的电

势04πε=

q V d

。

10-5 如图10-5所示，两个同心球壳。内球壳半径为R 1，均匀带有电量Q ；外球壳半径为R 2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为r 处的P 点的电场强度大小及电势分别为[ ]

(A) 0E =，01

4πε=

Q

V R

(B) 0E =，012

11

()4πε=

-Q V R R (C) 2

04πε=Q E r ，04πε=Q

V r (D) 2

04πε=Q E r ， 01

4πε=Q

V R

答案：B

习题10-4图

习题10-5图

解析：根据静电场的高斯定理0d i

i

S

q

E S ε=

∑?

，同心球壳的电场强度大小分布为

111222

00,0,4r R E Q R r R E r πε<<=???

<<=

??

，则点P

的电场强度为0E =，电势

12

1

120

12

11d d (

)4R R R Q V E r E r R R πε=+=

-??。 10-6 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是[ ]

(A) 电容器极板上电荷面密度增加 (B) 电容器极板间的电场强度增加 (C) 电容器的电容不变 (D) 电容器极板间的电势差增大 答案：D

解析：电容器极板上电荷面密度Q

S

σ=

，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度0

E σ

ε=，电容器极板间的电场强度不变。平行极板电容0

S

C d

ε=，两极板间距离增加，则电容减小。电容器极板间的电势差U Ed =，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大。因而正确答案为（D ）。

10-7 在静电场中，作闭合曲面S ，若有d 0S

?=?D S （式中D 为电位移矢量）

，则S 面内必定[ ]

(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷 (B) 没有自由电荷 (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 (D) 自由电荷的代数和为零 答案：D

解析：根据有电介质时的高斯定理d i S

i

Q ?=∑? D S ，可知S 面内自由电荷的代数

和为零。

10-8 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是[ ]

(A) 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1r 倍

(B) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1r 倍 (C) 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1r 倍

(D) 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的r ε倍 答案：A

解析：各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的1r 倍。

10-9把一空气平行板电容器，充电后与电源保持连接。然后在两极板之间充满相对电容率为r ε的各向同性均匀电介质，则[ ]

(A) 极板间电场强度增加 (B) 极板间电场强度减小 (C) 极板间电势差增加 (D) 电容器静电能增加 答案：D

解析：平行板电容器充电后与电源保持连接，则极板间电势差保持不变，真空中电场强度U

E d

=

不变化，因而各向同性介质中的电场强度为真空中电场强度的1r 倍，也不变化。各向同性介质中的电容器静电能201

2

r W E V εε=，相对于真空

中电容器静电能有所增加。故正确答案为（D ）。

10-10 1C 和2C 两空气电容器并联起来接上电源充电。然后将电源断开，再把一电介质板插入1C 中，如图10-10所示，则[ ]

(A) 1C 和2C 极板上电荷都不变

(B) 1C 极板上电荷增大，2C 极板上电荷不变 (C) 1C 极板上电荷增大，2C 极板上电荷减少 (D) 1C 极板上电荷减少，2C 极板上电荷增大

答案：C

解析：1C 和2C 为并联，则电容器两端电势差相等。1C 中插入一电介质，则1C 的电容增大（0r C C =ε），1C 极板上电荷增大（Q CU =）。由于电源断开，1C 和2C 两

习题10-10图

端总电荷量不变，因此2C 极板上电荷减少。故正确答案为（C ）。

二 填空题

10-11任意形状的导体，其电荷面密度分布为σ（x ,y ,z ），则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E （x ,y ,z ）= ，其方向 。 答案：

(,,)

x y z σε；垂直导体表面 解析：处于静电平衡的导体表面附近的电场强度正比于电荷面密度，因而

(,,)

(,,)x y z E x y z σε=

，方向垂直于导体表面。 10-12 如图10-12所示，同心导体球壳A 和B ，半径分别为12R R 、，分别带电量q Q 、，则内球A 的电势A V =_____________；若把内球A 接地，则内球A 所带电量A q ＝____________。 答案：

01

02

44q Q R R πεπε+

；1

2

R Q R -

解析：根据静电场的高斯定理0

d i

i

S

q

E S ε=

∑?

，

同心球壳的电场强度大小分布为111222

023200,

0,4,

4r R E q

R r R E r q Q

r R E r πεπε??

<<=??<<=??

?+>=??，则内球A 的电势1

2

1

2

1230

12

d d d (

)4R R A R R Q q Q

V E r E r E r R R πε∞

=++=

+???。若把内球A 接地，则内球A 的电势0

12(

)04A A q Q Q V R R πε=

+=，解得12

A R

q Q R =-。 10-13 如图10-13所示，在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球心O 相距为r ( r >R )处放置一点电荷 –q ，不计接地导线上电荷的影响，则金属球表面上的感应电荷总量为 ，金属球表面电势为 。

习题10-12图

答案：R

q r

；0

解析：金属球接地，则金属球的电势为0。金属球 球心电势为00044q Q q V V V r

R

πεπε--=+=

+=感应感应，

解得，感应电荷总量为R

Q q r

=感应。金属球表面是一个等势面，电势与地的电势相等，电势为0。

10-14 两带电导体球半径分别为R 和r (R >r )，它们相距很远，用一根导线连接起来，则两球表面的电荷面密度之比:σσR r = 。 答案：

r R

解析：导体表面的电荷面密度反比与曲率半径，因此::R r r R σσ=。

10-15 对下列问题选取“增大”、“减小”、“不变”作答。（1）平行板电容器保持板上电量不变（即充电后切断电源）。现在使两板的距离增大，则：两板间的电势差_______,电场强度__________,电容__________，电场能量__________。（2）如果保持两板间电压不变（即充电后与电源连接着）。则两板间距离增大时，两板间的电场强度__________，电容________，电场能量__________。 答案：（1）增大，不变，减小，增大；（2）减小，减小，减小

解析：（1）保持板上电量Q 不变，使两板的距离d 增大。电容器极板上电荷面密度Q

S

σ=

，平板电荷量及面积没有变化，因此电容器极板上电荷面密度不变，并且极板间的电场强度0

E σ

ε=

，电容器极板间的电场强度不变。电容器极板间的电势差U Ed =，电场强度E 不变，距离d 增大，则电势差增大。平行极板电容

0S

C d

ε=，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量22e Q W C =，电荷量Q 不变，C 减小，则电场能量e W 增大。

（2）保持两板间电压U 不变，使两板的距离d 增大。则极板间的电场强度U

E d

=

，

习题10-13图

电容器极板间的电场强度减小。平行极板电容0

S

C d

ε=，两极板间距离增加，则电容减小。电场能量21

2

e W CU =，电压U 不变，C 减小，则电场能量e W 减小。

10-16一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质。已知相对电容率为r ε，若极板上的自由电荷面密度为σ，则介质中电位移的大小D = ，电场强度的大小E = ，电场的能量密度

e w = 。

答案：σ；0r

σ

εε；202r σεε

解析：根据电介质中的高斯定理d S

D S q =?

，得电位移矢量的大小D σ=。由于

0r D E εε=，因此电场强度的大小0r

E σ

εε=

。电场的能量密度2

2

2000222r

e r r

w E εεε

σσεεεε===（）。

10-17 在电容为0C 的空气平行板电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半的金属板，则电容器的电容C = 。 答案：02C

解析：插入金属板后，电容0C 成为两电容1C 和2C 串联，且120

0414

S

C C C d ε===。因此等效电容为012

1211C C C C =

=+。

10-18一平板电容器，两极板间是真空时，电容为0C ，充电到电压为0u 时，断开电源，然后将极板间充满相对电容率为r ε的均匀电介质则此时电容C ＝__________，电场能量 e W =___________。

答案：0r C ε；2

002r

C u ε

解析：电容器的电容仅与电容器的大小、形状及填充的电介质有关，将极板间充

满相对电容率为r ε的均匀电介质时，电容为0=r C C ε。断开电源后，两极板上的

电荷量不变化，因此电场能量22

200000()222e r r

C u C u Q W C C εε===。 10-19 一平行板电容器两极板间距离为d ，电荷面密度为0σ，将一块相对电容率为2r ε=,厚度为

2

d

均匀电介质插入到两极板间(见图10-19)，则电容器的两极板间电压是插入前的_________倍，电容器的电容是插入前的__________倍，电容器储存的电能是插入前的__________倍。

答案：34；43；3

4

解析：电介质内部的电场强度0

02

r E E

E ε==，

插入电介质后两极板间电压003

224

d d U E

E E d =+=，插入前两极板间电压为0U E d =，因此电容器的两极板间电压是插入前的

34倍。电容器的电容Q

C U

=，电荷量Q 不变，电容与电压U 成反比，因此，电容器的电容是插入前的

4

3

倍。电容器储存的电能1

2e W QU =，与电压U 成正比，因此，电容器储存的电能是插

入前的3

4

倍。

三 计算题

10-20 两块大金属板A 和B ，面积均为S ，两块板平行地放置，间距为d ，d 远小于板的尺度。如图10-20所示，现使A 板带电Q A ，B 板带电Q B 。在忽略边缘效应的情况下，试求：

（1）A 、B 两板各个表面上的电量； （2）A 、B 两板的电势差；

（3）若B 板外侧接地，A 、B 两板各个表面上的电量又是如何分布？两板的电势差是多少？

2

d

习题10-19图

解：（1）两板处于静电平衡，则两板内部电场强度为0，则

()(){1234012340:/20:

/20

A B σσσσεσσσσε---=++-=

()(){

1234A B

S Q S Q σσσσ+=+=

1423()/2()/2A B A B Q Q S

Q Q S σσσσ==+=-=-

1423()/2

()/2

()/2A B A B B A Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ∴==+=-=-

（2）312412340000022222A B

Q Q E E E E E S

σσσσεεεεε-=+--=+--= 02A B

AB Q Q U E d d S

ε-=?=

（3）B 板外侧接地，则40σ=

()()1230123012/20/20()A

S Q σσσεσσσεσσ--=++=+=

14230

A

A Q Q Q Q Q Q ∴====-

20002A

A

AB Q Q E U E d d S

S

σεεε=

=∴=?=

10-21 如图10-21所示，半径为10.01 m R =的金属球，带电量101110 C Q -=?，球外套一内外半径分别22310 m R -=?和23410 m R -=?的同心金属球壳，壳上带电1021110 C Q -=?，求：(1)金属球和金属球壳的电势差；(2)若用导线把球和球壳连接在一起，这时球和球壳的电势各为多少？ 解：根据高斯定理，电场强度分布为：

11212

01

2

322

0,4,

4Q R r R E r Q Q r R E r πεπε<<=

+>=

A

A B

习题10-20图

习题10-21图

(1) 2

2

1

1

11120

012111d d 6044R R AB R R Q Q U E r r V r R R πεπε??==

=-= ???

?

?

(2) 3

3

12

122220

03

1d d 27044B R R Q Q Q Q V E r r V r R πεπε∞

∞

++==

==??

270A B V V V ==

10-22 半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，如图10-22所示，求：（1）空间的电位移和电场强度分布；（2

解：（1）导体球处于静电平衡状态，电荷分布在球的表面，球内部没有电荷

根据有电介质的高斯定理i i

S

DdS Q =∑??

，

20140r R D r π

100r

D

E εε=

=

20124R r R D r Q π<

4Q

D r π∴=

2

22

00(1)4r r

D Q

E r εεεπε=

=

=

21234R r R D r Q π<

4Q

D r π∴=

2

32

004r

r D Q E r εεπεε=

=

2244r R D r Q π>?=时，， 42

4Q

D r π∴=

4

42

00(1)4r r

D Q

E r εεεπε=

=

=

因此，空间的电位移和电场强度分布为：

习题10-22图

0020

()()4r R D Q r R r π??， 0012012202200()()4()4()

4r

r R Q R r R r E Q R r R r Q

r R r πεπεεπε??

（2）介质内表面（1r R =）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相反，因此，其面密度为：

103122

11

11(1)()44r r r r r Q Q E R R R εεσεεεπεπ---'=-=

=- 介质外表面（2r R =）上的极化电荷与导体球上的电荷电性相同，因此，其面密度为：

203222

22

11(1)()44r r r r r Q Q

E R R R εεσεεεπεπ--'=-==

10-23 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，求地球—电离层系统的电容。（设地球和电离层之间为真空） 解：已知6371km 100km +R d R R d ===地球地球电离 ， ，

设地球-电离层分别带点±Q

则根据高斯定律，地球-电离层间的电场强度为：2

04Q E r πε=

20

111

d d 6044R R R R Q Q

U E r r V r R

R πεπε??

==

=-= ? ???

?

?

电离

电离

地球

地球

地球电离 204 4.5810F R R Q

C U R R πε-?===?-地球电离地球电离

10-24 如图10-24所示，两根平行无限长均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R （d R <<）。导线上电荷线密度分别为+λ和-λ。试求（1）两导线间任一点P 的电场强度；（2）两导线间的电势差；（3）该导体组单位长度的电容。

解：（1）根据高斯定理，电荷线密度为+λ的导线在

+λ-λx

点P 处电场强度计算如下：

01

22xh E h

E x

λ

πλεπε+?=

∴=

方向沿x 轴正方向，02E i x

λπε+∴=

同理，电荷线密度为-λ的导线在点P 处电场强度为：02()

E i d x λ

πε-=

-

因此，两导线间任一点P 的电场强度为：

00()22()

E E E i x d x λλπεπε+-=+=+-

（2）根据电势差的定义，两导线间的电势差为：

000d ()d ln

22()d R R d R

U E r x x d x R

λλλπεπεπε--==+=-?? （3）该导体组单位长度的电容为：

001

ln ln Q C d R d R U R R

πελλπε?=

==

--

10-25 如图10-25所示， 一平板电容器充满两层厚度各为d 1和d 2的电介质，它们的相对电容率分别为1r ε和2r ε，极板的面积为S 。求：（1）电容器的电容；（2） 当极板上的自由电荷面密度为0σ

两层介质的电位移。

解：（1）设两板分别带Q ±的电荷

两板间没有电介质时的电场强度为：

0000/Q S Q E S

σεεε=

== 放入电介质后，相对电容率分别为的 电介质中电场强度为：0

11

01r r E Q

E S

εεε=

=

相对电容率分别为的电介质中电场强度为：0

2202r r E Q

E S

εεε=

=

习题10-25图

则两板间的电势差为：

12

1122012

()r r d d Q U E d E d S εεε=?+?=

+ 电容器的电容为：012

12

0122112

/()r r r r r r d d d Q Q C Q U S d d εεεεεεεε=

=+=+ （2）相对电容率分别为1r ε的电介质的界面上，极化电荷面密度为： 0110110

0011

(1)

(1)(1)r r r r r E σεσεεεεσεεε-'=-=-= 相对电容率分别为2r ε的电介质的界面上，极化电荷面密度为：

0220220

0022

(1)

(1)(1)r r r r r E σεσεεεεσεεε-'=-=-= （3）相对电容率分别为1r ε的电介质的电位移为：

101101

001

r r r D E σεεεεσεε=== 相对电容率分别为1r ε的电介质的电位移为： 0

202202

002

r r r D E σεεεεσεε===

10-26 如图10-26所示，在点A 和点B 之间有五个电容器，其连接如图10-26所示。（1）求A ，B 两点之间的等效电容；（2）若A ，B 之间的电势差为12 V ，

求AC U ，CD U 和DB U 。

解：（1）(48)μF 12μF AC C =+=

(62)μF 8μF CD C =+= 1111111μF μF

128244AB AC CD DB

C C C C =

++??

=++= ???

4μF AB C ∴=

（2）AC 、CD 、DB 两端的电荷量相等，则AB AB Q U C =?

8 μF

2 μF

24 μF

习题10-26图

124412124

68124

224

AC AC CD CD DB DB Q U V V C Q U V V C Q U V V C ?===?===?=

==

10-27 平行板电容器两极板间充满某种电介质，极板间距离d =2 mm ，电压为600 V ，若断开电源抽出电介质，则电压升高到1800 V 。求（1）电介质的相对电容率；（2）介质中的电场强度。 解：已知1600V U =，21800V U =，2mm d = （1）根据平行板电容器两极板间电势差的计算公式：

1200600V 1

(1)1800V 3

U E d E U E d E =?=??

=?=?=?

电介质中的电场强度为：0

(2)r

E E ε=

联立公式（1）、（2），可得电介质的相对电容率为：3r ε= （2）介质中的电场强度为：51600

V/m 310V/m 0.002

U E d =

==?

10-28 一平行板电容器，极板形状为圆形，其半径为8 cm ，极板间距为1.0 mm ，中间充满相对电容率为5.5的电介质，若电容器充电到100 V ，求两极板的带电量为多少？储存的电能是多少？

解：212

800.085.58.8542101009.78100.001

r S Q C U U C C d πεε--?=?==???

?=? ()2

82

610

9.7810J 4.910J 22 1.7810e Q W C ---?=

=

=???