《九章算术》与《几何原本》作业

《九章算术》与《几何原本》异同

一、《九章算术》与《几何原本》的内容相似有以下几个方面：

1、《九章算法》的第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法；而《几何原本》第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中1

2、13命题相当于余弦定理。第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；它们都是在平面上来研究几何图形的面积及性质。

2、《九章算术》第四章“少广”：已知面积，体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；而《几何原本》第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.它们研究都涉及立体几何的内容。

3、《九章算术》第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；而《几何原本》第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是“最重要的数学杰作之一”。第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。第五、第

七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论。它们都涉及到比例的算法。

4、《九章算术》第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题，提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里德最先发现的勾股定理。在它们研究的范围内都用到勾股定理。

二、《九章算术》与《几何原本》的思维方面有很大的区别：

1、《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分为九章节，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

《九章算术》很强调辩证思维，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术. (开方术，反应了中国数学的高超计算水平，显示中国独有的算法体系;方程理论，多元联立一次方程组的出现，相当于高斯消去法的总结，独步于世界;负数的引入，特别是正负数加减法则的确立，是一项了不起的贡献)等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

2、《几何原本》是欧几里德一生著有的多部数学著作其中最有价值的一部。它系统的总结了古代劳动人民在实践中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。

几何原本的一些内容：有13卷，包括五条公里，五条公设，119个定义和465个命题。

五条公里：

1.等于同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量减等量，其差相等；

4.彼此能重合的物体是全等的；

5.整体大于部分。

五条公设：

1.过两点能作且只能作一直线；

2.线段(有限直线)可以无限地延长；

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；

4.凡是直角都相等；

5.在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟已知直线平行。(最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

总结：《九章算术》和《几何原本》同为世界最重要的数学经典。《九章算术》以其实用、算法性称誉世界，《几何原本》以其逻辑演绎的思想方法风靡整个科学界，二者是互相补充的，并非一个掩盖另一个。