中考数学专题复习之二：待定系数法

【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨

在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。

应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。

比较系数法：通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C 就是有待于确定的系数。

代入特殊值法：通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。

消除待定系数法：通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获

解。例如：“已知b2

a3

=，求

a b

a b

-

+

的值”，解答此题，只需设定

b2

=k

a3

=，则a=3k b=2k

，，

代入a b

a b

-

+

即可求解。这里的k就是消除的待定参数。

应用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；

（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；

（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。

在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

典型例题：

例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】

A ．9

B ．－9

C ．±9

D ．±3

【考点】待定系数法思想的应用。 练习题：

1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】

A ．64

B ．48

C ．32

D ．16

2.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2

﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。

3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

4.（2011湖北荆州3分）将代数式2x 4x 1+-化成2(x p)q ++的形式为【 】

A.2(x 2)3-+

B.2(x 2)4+-

C.2(x 2)5+-

D.2(x 4)4++ 二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

典型例题：

例：（2012四川凉山4分）已知

b 5a 13=，则a b a b -+的值是【 】 A ．23 B ．32 C ．94 D ．49

【考点】比例的性质。

练习题：

1.（2012北京市5分）已知a b =023≠，求代数式5a 2b (a 2)(a+2b)(a 2b)

b ?--－的值。 2.（2011四川巴中3分）若

a 22a

b 3=-，则b a = ▲ 。 三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别

对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：

x 3－6x 2+11x －6，223x 5xy 2y x 9y 4+-++-，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。

典型例题：

例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2x x 2+-＝ ▲ 。

【考点】因式分解。

例2：分解因式：223x 5xy 2y x 9y 4+-++- ▲ 。

【考点】因式分解。

练习题：

1. （2012四川南充3分）分解因式：2x 4x 12-- = 。

2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x 3—4x 2—12x= 。

3. （2011贵州黔东南4分）分解因式：=--822x x 。

四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x 的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，y=kx+b ，k y x

=的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，顶点式y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，交点式y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a 、b 、c 、k 、x 1、x 2等待定系数，求出函数解析式。

典型例题：

例1：（2012江苏南通3分）无论a 取什么实数，点P(a －1，2a －3)都在直线l 上，Q(m ，n)

是直线l 上的

点，则(2m －n ＋3)2的值等于 ▲ ．

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣2）．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标．

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。

（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。

例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．

（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；

（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。

（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。

例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【】

A．

1

y

2x

=-B．

2

y

x

=-C．

2

y

x

=D．

1

y

x

=

【答案】B。

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。

例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，

(1)求抛物线所对应的函数解析式；

(2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为▲ ．

【答案】y=﹣x2+4x﹣3。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B （2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M，求点M的坐标．

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C 下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

练习题：

1.（2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．

（注：总成本=每吨的成本×生产数量）

2.（2012山东菏泽7分）如图，一次函数

2

y=x2

3

-+的图象分别与x轴、y轴交于点A、

B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．

3.（2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【】

A．

400

y=

x

B．

1

y=

4x

C．

100

y=

x

D．

1

y=

400x

4.（2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；

①y随x变化的部分数值规律如下表：

②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；

③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．

(2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．

5.（2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴

交于点C(0，3)，

与x轴交于A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否

存在点E，使

得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D(0，－2)作平行于x 轴的直线1l 、2l ．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式；

(2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；

(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．

五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式()n 11a a n 1d dn a d =+-=+- (其中a 1为首项，d 为公差，n 为正整数)，若将n 看成自变量， a n 看成函数，则a n 是关于n 的一次函数；若一列数a 1,a 2,…a n 满足n n 1a a kn b --=+ (其中k,b 为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项2n a an bn c =++是关于n

的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。

典型例题：

例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦

举行，奥运会的年份与届数如下表所示：

表中n的值等于▲ ．

【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。

例2：（2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是▲ ．

【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。

例3：（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是▲ ．

【答案】21。

【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。

练习题：

1.（2012山东济宁6分）问题情境：

用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？

建立模型：

有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．

解决问题：

根据以上步骤，请你解答“问题情境”．

2.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是▲ .

3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n

个图中阴影部

分小正方形的个数是▲ ．

4.（2012青海省2分）观察下列一组图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个图形中共有 ▲ 个★．

5.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？

（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．

六. 待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

典型例题：

例1：（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时，CF FD

的值为【 】

A. 12

B. 6

C. 16

D. 18

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB 2BC 3

=，那么tan ∠DCF 的值是 ▲ ．

。 例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=

AC BC αα=角的角的邻边对边，根据上述角的余切定义，解下列问题：

（1）ctan30°= ；

（2）如图，已知tanA=4

3，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．

例4：（2012江苏镇江11分）等边△ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B 、C 不重合），连接AP ，以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE ，分别与边AB 、AC 交于点M 、N （如图1）。

（1）求证：AM=AN ；

（2）设BP=x 。

①若，BM=38

，求x 的值；

②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式以及S 的最小值；

③连接DE ，分别与边AB 、AC 交于点G 、H （如图2），当x 取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG 、GH 、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

解得x=

12或x=32。 。

∴当x=1时，S 。 ③

∴当2时，∠BAD=150。

猜想：以DG 、GH 、HE 这三条线段为边

构成的三角形是直角三角形。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角

形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 练习题：

1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

A 1

B 1

C ．2.5

D 2. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C

与点A 重合，

折痕为MN ，连结CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1︰4，则 MN BM

的值为【 】

A．2 B．4 C．D．

3.（2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．

（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；

第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；

第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．

第三步，连接BD．

（2）求证：AD2=AE?AB；

（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求EO

FO

的值．

4.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．（1）如图l，求证：PC=AN；

（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．

5. （2012四川泸州9分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是的弧AD 中

点，弦CE ⊥AB

于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。

(1)求证：P 是线段AQ 的中点；

(2)若⊙O 的半径为5，AQ=152

，求弦CE 的长。

中考数学专题复习之二：待定系数法

对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．

【范例讲析】：

【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．

(1)求这个函数的解析式．

(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．

【例2】一次函数的图象经过反比例函数x

y 8-

=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

【闯关夺冠】

1.已知：反比例函数和一次函数图象的一个交点为（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定这两个函数的解析式。

2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．