微积分习题集带参考答案大全(2)
微积分习题集带参考答案
2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。
解 此时S 是l 的函数 πππ4222
l l S =
??
? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π
π
1
2
=
=l dl dS 。
5(2). 设a
x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。
解 设a
x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。
考虑左导数 ??
?
??>=<∞===---+
→1,0111
,0)0()(lim
1
0αααα
a x x x
x
x f x f ， 考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1
,0111,)()(0)0()(lim
1
0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.
6. 设???
??≥+-<≤+<-=1
,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。
解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-
→)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。
此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x
x
x f x f f x x ，
。 1111)1()(lim
)1(1=--=--='-
→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1
)
1sin(lim 1)1()(lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。
1lim )'1(lim )0(00==-='-
→-
→-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+
→+→+x x a x f ，则1)0('=f 。
11lim )'(lim )1(11==+='-
→-
→-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+
→+
→+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。
7. 设)(x f 在点0=x 连续，且11
)(lim
-=-→x
x f x 。 （1）求)0(f ，（2）问)(x f 在点0=x 处是否可导。
解 （1）由连续性可知 []1)0(1)(lim 0
-=-→f x f x 。若01)0(≠-f ，则∞=-→x
x f x 1
)(lim
， 与题设矛盾。必有01)0(=-f ，即1)0(=f 。
（2）10
)
0()(lim 1)(lim
00
-=--=-→→x f x f x x f x x ， 由导数定义可知)(x f 在点0=x 处可导，1)0('-=f 。
8. 设)(x g 在点0=x 连续，求x x g x f 2sin )()(=在0=x 处的导数。 解 由导数的定义)0(22sin )(lim 2sin )(lim 0)0()(lim
)0('000
g x
x
x g x x x g x f x f f x x x ===--=→→→ 注：不能x x g x x g x f 2cos )(22sin )(')('+=，故)0(2)0('g f =。
9. 设1)0(=f ，2)1(=g ，1)0('-=f ，2)0('-=g 。
求 （1）x
x f x x )
(cos lim 0-→， （2）x x f x x 1)(2lim 0-→， （3）1
2
)(lim
1--→x x g x x
解 （1）原极限[][]0
)0()(lim
11
cos lim 1)(1cos lim
000-----==---=→→→x f x f x x x x f x x x x 1)0(')'(cos 0=-==f x x
（2）原极限 0
1
2]1)([2lim 122)(2lim 00--+-=-+-=→→x x f x x f x x x x x x x
12ln 2ln 21)'2(2)0('022lim 20
)0()(lim 000000-=+-=+?=--+?--==→→x x x x x x f x x f x f
（3）原极限1
)
1(2lim 1]2)([lim 12
22)(lim
111
--+--=--+-=→→→x x x x g x x x x x g x x x x 112)'(21)0('1
)
1(2lim 1)0()(lim
111
-=+-=+?=--+?--==→→x x x x g x x x x g x g
10. 设1)0(=f ，1)0('-=f ，求极限 x
x f x --→11
)(ln lim
1
。
解 原极限 1)1()0('1ln lim 0
)0()(lim 1ln 0ln )0()(ln lim 101
=-?=-?--=-?--=→→→f x x
u f u f x x x f x f x u x 。
习3.2
1.
3.求下列函数的导数 （3）x x y 32log =
解 3
ln log 23ln 1log 2)'(log log )'('32
332
32
x
x x x x x x x x x x y +
=?+=+=。 这里用到导数公式a
x x a ln 1
)(log =。 （8）∏=-=
n
k k x y 0
)(
解 此时)()2)(1(n x x x x y -??--= 。由公式''')'(uvw w uv vw u uvw ++=，…… 则 ∑∏=≠=-=
n k n
k
j j j x y 10
)('。
用对数求导法 )ln()1ln(ln ln n x x x y -++-+=
两边求导数
n
x x x y y -++-+=1111' 。 则 ??
? ??-++-+-??--=??? ??-++-+=n x x x n x x x x n x x x y y 1111)()2)(1(1111'
习3.3
1.设()f x 可导，求下列函数的导数 (3))
(11
2
x f y +=
解 ()
()
()
2
2
2
2
2
2
2
)
(1)
(')(2)(')(2)
(11
)]'(1[)
(11
'x f
x f x f x f x f x f
x f x f
y +-
=?+-=++-
=
（5）()
)(1ln 2
x f y +=
解 ()
)
(1)(')(2)(1)(11'2
2
2x f x f x f x f x f y +='++=
2. 求下列函数的导数 （4）ln(234)x
x x y ---=++
解 1
'(234)'(234)
x x x x
x x
y ------=
?++++ 12ln 2(1)3ln 3(1)4ln 4(1)(234)
x x x
x
x x ------??=
??-+?-+?-??++ 2ln 23ln 34ln 4
(234)
x x x x x x ------++=-++
（5）(2
y =
解 ('y ''==
(12)'
x =?-
=
==。
（6）|sin |ln 21
x y x -=+
解 x x x x x x
x y x x cos sin 1
)'1(1
212ln 2)'(sin sin 1
)'1(2ln 2
'1
1
-++?
=-+?=++
x x x cot 1
21
2ln 2
1
-+?
=+。
（7）||ln 22222a x x a a x x y -+--=
解 )'(1)'(21'222
22222
222a x x a x x a a x a x x a x y -+-+?
---?
+-=
)1(1222
2
2
2
22
2
22a
x x a
x x a a
x x x a x -+
-+?
--?
+-=
)(
12
2
222
2
2
2
2
22
2a
x x a x a
x x a a
x x a x -+--+?
--+
-=
2
2
22
2
22
2a
x a a x x a x --
-+
-=
222
2222
22a x a x a x a x -=--+
-=。
解
22'1)'y x x a ??'
=
+=
++?
?
1??=+==
解法一 2
3133
13
2
1231
3
2
12
3132
1
2)2()2()2()2()2()2()2('???
? ??-'
???? ?
?-+--'
???
? ?
?+='
??
??
? ??-+=x x x x x x x x x x y
2
3132
32
32
1
231
3212)2(3)2(31)2()2)(22()2(2
1???
? ??--+--++=--x x x x x x x x x ???
?
??--++-+=2)2(122323
32x x x x x x x x 解法二 对数求导法 )2ln(3
1
)2ln(21ln 32--+=
x x x y )
2(33)2(222'132
2--++=x x x x x y y ，
???
?
??--++-+=
???? ??--++=)2()2(122)2(33)2(222'3223
32322x x x x x x x x x x x x x y y 。 （10）x
x y ??
? ??
-=211
解 ?
????
? ??'??? ??--?--??? ??-='
??? ??-='
???? ??=--x x x x x x x e e y x
x
x x
x 2112111)211ln(211)211ln()
21
1ln()
21
1ln( ??? ??---??? ??-=?????
? ???-?--??? ??
-=121)211ln(211212111)211ln(2112x x x x x x x x x
x
（《全解》有误） （1）若()f x 在(,)-∞+∞内可导，求α的取值范围；
（2）若()f x 在(,)-∞+∞内连续可导（即'()f x 连续），求α的取值范围。
解 （1）显然左导数(0)0f -'=。右导数 000
1
sin
()(0)
1(0)lim lim lim sin 0
x x x x f x f x f x x x x
αα+
-1+→→→-'===-，
只有在α>1时才有极限值0. 则此时有导数(0)0f +'=。
于是当α>1时，()f x 处处可导，且211sin cos ,0
'()0,0x x x f x x x
x ααα-1
-??->=??≤?。 （2）显然'()f x 在0x =/时连续（初等函数）。在0x =处，0011lim '()lim sin cos x x f x x x x x ααα++
-1
-2→→??
=- ??
?
。只有在α>2时，这个极限存在且为0.
4.已知2
y x a =+与ln(12)y b x =+在1x =点相切，求,a b 的值。
（若两条曲线在点00(,)x y 相交，且在这个交点处两条曲线的切线相同，则称两曲线在该点相切） 解 在1x =处两曲线切线的斜率分别为
()()
21
1
22x x x a x =='
+==，()1
1
22ln(12)123
x x b b b x x ==??
'
+==
?+??
。
相切时应有2233
b
b =
?=。 根据相切的定义，在1x =处应有2
1ln(121)a b +=+?，则1ln3a b +=。于是3ln31a =-。
5. 设)(x f 在),(+∞-∞上可导。证明 （1）若)(x f 是奇函数，则)('x f 是偶函数； （2）若)(x f 是偶函数，则)('x f 是奇函数；
（3）若)(x f 是周期函数，则)('x f 也是周期函数且周期不变。
证 （1）若)(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-。左边求导数)(')')((')]'([x f x x f x f --=--=-， 右边求导数)(')]'([x f x f -=-，于是)(')('x f x f -=--，即)(')('x f x f =-。故)('x f 是偶函数。 （2）若)(x f 是偶函数，)()(x f x f =-。左边求导数)(')')((')]'([x f x x f x f --=--=-， 右边求导数)(')]'([x f x f =，于是)(')('x f x f =--，即)(')('x f x f -=-。故)('x f 是奇函数。 （3）若)(x f 以T 为周期，)()(x f T x f =+。左边求导数)(')')((')]'([T x f T x T x f T x f +=++=+， 右边求导数)(')]'([x f x f =，于是)(')('x f T x f =+。故)('x f 以T 为周期。
6. 设)(x f y =的反函数为)(y x ?=，
利用复合函数求导数的法则证明：若)(x f y =可导且0)('≠x f ，则)
('1
)('x f y =
?。 解 此时())(x f x ?=，两边对x 求导可得())(')('1x f x f ?=，于是())
('1)('x f x f =?，即)('1
)('x f y =?。
7. 设)(x y y =是由方程xy
e y x -=++)sin(1所确定的隐函数，求'y 及该函数在点)0,0(处的法线方程。 解 方程两端对x 求导 )'()'1)(cos(xy y e
y y x xy
+-=++-。 则 (
)xy
xy
ye
y x xe
y x y ---+-=++)cos()cos('，因此 xy
xy xe
y x ye y x y --++++-=)cos()cos('。 该函数所确定的曲线在原点的切线斜率为 1')0,0(-=y 。因此法线在该点的斜率为1=k 。 由点斜式可知法线的方程为x y =。
8. 设()y y x =是由方程22
ln(2)x y x y +=-所确定的隐函数。 （1）求曲线()y y x =与直线y x =-的交点坐标00(,)x y ； （2）求曲线()y y x =在交点处的切线方程。
解 （1）解方程组22
ln(2)x y x y y x
?+=-?=-?。
第二个方程代入第一个方程ln(2)0,21x y x y +=?+=。可得出交点(1,1)-。
（2）隐函数求导
1
(12')22'2y x yy x y
?+=-+，将交点坐标代入 1(12')22'y y ?+=--，
则13'|4x y =-=-。切线为3
1(1)4
y x -=-+，4310y x ?+-=。
习3.4
4. 求下列函数的微分
（4）2
(cos )y f x =，()f u 可微
解法1 2
2
2
2
2
'(cos )(cos )'(cos )(sin )()dy f x d x f x x d x ==?-
2222'(cos )sin 2d 2'(cos )sin d f x x x x xf x x x =-?=-。
解法2. 因2
2
2
2
2
2
2
''(cos )(cos )''(cos )(sin )()'2'(cos )sin y f x x f x x x xf x x =?=?-=-，
则 2
2
d 'd 2'(cos )sin d y y x xf x x x ==-。
6. 给定方程?????+=-=)
sin 1()
cos 1(t e y t e x t t ，求dx dy 以及dy dx 。
解 ()()
t
t t
t dt t e t e dt t e t e dx dy t t t t sin cos 1cos sin 1sin )cos 1(cos )sin 1(+-++=
+-++= ()()
t
t t
t dt t e t e dt t e t e dy dx t
t t t cos sin 1sin cos 1cos )sin 1(sin )cos 1(+++-=+++-=
9. 找原函数)(x f （1） )(tan x df xdx =
解 )sin (ln )(sin sin 1
cos sin 1sin cos x d x d x
xdx x dx x x =?=?==
。 因此C x x f +=sin ln )(。
习3.5
1. 设x
xe x f 2)(-=，求使得0)("=x f 的点。
解 x x
xe e
x f 222)('---=，)1(4422)("2222-=+--=----x e xe e e x f x x x x 。 令0)1(4)("2=-=-x e
x f x
，因042>-x e ，则只有01=-x 。使得0)("=x f 的点为1=x 。
2. 设2
()ln f x x x =+，求出使得"()0f x >的x 的取值范围。 解 函数的定义域是0x >。1'()2f x x x =+，21"()2f x x =-。令21
20x ->
，则x >。
4. 设)(x y y =是由方程y x e
y
x 22++=+所确定的隐函数，求)1,1(|"-y 及y d 2。
解 在方程两端求导数 '21)'1(y y e
y
x +=++，可得 y x y x e e y ++-=-1)2('。 于是 2
1'--=++y x y
x e e y 。再求二阶导数，注意',y y 都是x 的函数
2
2)2()
'1()1()2)('1()2()'2)(1()2()'1("-+---+-=------=++++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x e y e e e y e e e e e e y ()
3
222)
2()2()21()2()211()2()1()2()'1(y x y x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x e e e e e e e e e e e e y e +++++++++++++-=---=---+=----+= 1|")1,1(=-y ，2
3
2
2
)
2("dx e e dx y y d y x y x ++-==。
2. 设x x x f ln )(2
+=，求使得0)(">x f 的x 的取值范围。
解 ),0(+∞=f D 。x
x x f 1
2)('+=，2221212)("x x x x f -=-=。
当21
2
>
x 时0)(">x f ，此时2
1>x 。
4. 设)(x y y =是由y x e
y
x 22++=+所确定的隐函数，求)1,1(|"-y 和y d 2。
解 方程两端对x 求导 '21)'1(y y e
y
x +=++，解得2
1'--=++y x y
x e e y 。则0|')1,1(=-y 。
再求导 2
)2()
1)('1()2)('1("--+--+-=+++++y x y x y x y x y x e e y e e y e y 。
则
1)1(0
11)1(11|"2
)1,1(=-??--??-=
-y 。
y d 2省略。
5. 设)(t f 二阶可导，0)("≠t f 。求参数方程 ???=-=)
(')(')(2
t f t y t tf t f x 的导数dx dy
。 解 ()()()
()dt
t tf t f t f dt
t f t t tf t tf t f d t f t d dx dy )(")(')(')(")('2)(')()('22---=
-= ()
())
(")
('2)(")(")('2)(")(")('222
t f t f t t tf t f t t tf dt t tf dt t f t t tf -
=--=--=
8. 证明ax n n ax e a n ax xe
1)
()()
(-+=。
解法一 用数学归纳法。1=n 时，ax ax ax ax
e a ax axe e xe 11)1()'(-+=+=，结论成立。
假定结论对于k n =成立，即ax k k ax e a k ax xe 1)
()()
(-+=。
当1+=k n 时，则 ()()
ax k ax k ax k k ax k ax ae a k ax e a a e a k ax xe xe
?++?='
+='=---+111)()
1()()()()
( ax k ax k ax k e a k ax e a k ax e a 1)1()1()(-+++=++=
由属性归纳法原理可知结论成立。 解法二 用高阶导数的莱布尼兹公式 )()
2()1()()
("2
)1(')(n n n n n uv v u n n v nu v u uv ++-+
+=-- 。 令ax
e
u =，则ax k k e a u
=)
(。令x v =，则)2(,0,1')(≥==k v v k 。
ax n ax n ax n n ax n ax n ax e a n ax e na x e a e n x e xe 11)1()()()(001)()()(---+=+=+++?+= 。
习3.6
1. 是某商品的需求价格函数为r p
k
Q =
，其中k 和r 是正的常数。证明需求价格弹性r E p =||。
解 r krp p k p Q Q
p E r r
p -=-?==
--)('1，则r E p =||。
2.假设某产品的成本C 关于产量q 的弹性定义为dq
dC C q E q C ?=,。 证明AC
MC
E q C =
,，其中AC MC ,分别表示边际成本和平均成本。 证 AC MC q
C dq
dC
E q
C ==,。
3. 将旅店的租房价格从每天75元提高到每天80元，会使出租量从每天100套降到每天90套。 （1）求房租为每天75元时的需求价格弹性。
（2）求房租为每天75元和80元时旅店的总收益。 （3）问该旅店是否应该提价。
解（1）由弹性的定义（P81）p Q Q p E p p ???=→?0lim
。因此p
Q Q p E p ???≈，这里,100,75==Q p
57580=-=?p ，1010090-=-=?Q 。则5.15
10
10075-=-?≈
p E 。 （2）收益pQ p R =)(，7500010075)75(=?=R ，72009080)80(=?=R 。 （3）不应该提价。
习题三
1. 设)(),(x x ββαα==在1x 的某去心邻域内满足 （1）)()(,)(0x x x x βαβ≠≠
（2）存在常数0>M ，使得|)()(||)(|0x x M x x αββ-≤- （3）0)(lim )(lim 1
1
x x x x x x x ==→→βα
证明 若)(x f 在0x 可导，则 )(')
()()]
([)]([lim
01
x f x x x f x f x x =--→αβαβ。
并求极限 )('1
)]
1([])1(2[lim
0001
x f x x x f x x f x =----+-→
证 因)(x f 在0x 可导，则在该点必可微。由可微的定义可知
)(),())((')()]([)(0000000x x o x x f x f x x f f →-+-+=-+=βββββ， )(),())((')()]([)(0000000x x o x x f x f x x f f →-+-+=-+=ααααα，
两式相减可得
)()())((')()(000x o x o x f f f -+-+-=-αβαβαβ，
α
βαβαβαβ--+-+=--)()()(')
()(000x o x o x f f f
只需证明1x x →时
0)
()(00→--+-α
βαβx o x o 即可。
α
βααααββββαβαβ--?--+--?--=--+-0
0000000)()()()(x x x o x x x o x o x o
因
,||||0M M x =--≤--αβαβαββ M x x +≤--+-≤--1|
|||||00αβββααβα
则
α
βααββ----0
0,x x 都有界。 显然 0)(lim )(lim
00001
1
=--=--→→x x o x x o x x x x ααββ， 于是 0)
()(lim
001=--+-→α
βαβx o x o x x 。
故 )(')
()()]
([)]([lim 01
x f x x x f x f x x =--→αβαβ。
2. 设)(x f ，)(x g 在点0x 可导，且)(')('),()(0000x g x f x g x f ==。若函数)(x h 在0x 的某一邻域内满足
)()()(x g x h x f ≤≤。证明：)(x h 在点0x 可导并且)(')(')('000x g x h x f ==。
证 此时必有)()()(000x g x h x f ==。因此)()()()()()(000x g x g x h x h x f x f -≤-≤- 如果0x x >，则
00000)
()()()()()(x x x g x g x x x h x h x x x f x f --≤--≤--。当+→0x x 时，由夹逼准则可得到
)(x h 在点0x 右导数存在并且)()()(000x g x h x f ++
+'='=' 如果0x x <，则
00000)
()()()()()(x x x g x g x x x h x h x x x f x f --≥--≥--。当-→0x x 时，由夹逼准则可得到
)(x h 在点0x 左导数存在并且)()()(000x g x h x f --
-'='='。 因此)(x h 在点0x 可导并且)(')(')('000x g x h x f ==。
3. 设)(),(x g x f 的定义域为R ，且它们在点0x 可导，证明??
?>≤=0
),(),()(x x x g x x x f x h 在点0x 可导的充要条件是
)(')('),()(0000x g x f x g x f ==。
证 由于)(),(x g x f 在点0x 可导，则它们在点0x 必连续。
必要性。若)(x h 在点0x 可导，则函数在该点必连续，从而左连续且右连续 即 )()(lim )(lim )()(00000x g x g x f x f x h x x x x ====+
→-
→。
此时)(x h 在点0x 的左右导数都存在且相等。
)()
()(lim )()(lim )(00
000000x g x x x g x g x x x h x h x h x x x x +
+→+→+
'=--=--='， )()
()(lim )()(lim )(0000000
0x f x x x f x f x x x h x h x h x x x x +→-→-
'=--=--='。
因此)(')(')('000x g x f x h ==。
充分性。若 )(')('),()(0000x g x f x g x f ==。由上面的推导反推回去可知)(x h 可导。
4. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，求)()
(x f n 。
解 )(x f 是一个1+n 次多项式，将它按照降幂排列展开， 则有 x n x n x
x f n n !)21()(1
++++++=+ ，
逐项求n 阶导数后可得 )2
()!1(00!2)1()!1()()
(n
x n n n n x n x f n ++=+++?++
+= 。
6. (1)求曲线)2,0(,sin cos 33π∈????
?==t t
a y t
a x 在点))(),((t y t x 处的切线)(t L 。 （2）证明)(t L 在坐标轴上的截距的平方和等于2
a 。
解 （1）切线的斜率为
t tdt
t a tdt
t a dx dy tan sin cos 3cos sin 322-=-=。 切线)(t L 为 ))((tan )(t x x t t y y --=-，即)cos (cos sin sin 33
t a x t
t
t a y --=- （2）将)(t L 变为截距式的直线方程 )cos (cos sin sin 33
t a x t
t
t a y --
=-
t a t a t t a x t t y sin sin cos sin cos sin 32=+=+
，进而1sin cos =+t
a y
t a x 显然截距的平方和为2
a 。
微积分习题集带参考答案
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=
4)
2ln(1
)(的定义域是]4,1()1,2(-?--．
⒉若24sin lim
0=→kx
x
x ，则=k 2 ．
⒊曲线x
y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋
=+?e 12
d )1ln(d d x x x
．
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x
y e =．
6函数24)2(2
-+=+x x x f ，则=)(x f 62
-x ．
7.当→x 0时，x
x x f 1
sin
)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.
=+-?
-x x x d )135(1
1
32．
10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x
y e =.
11.函数x x x f 2)1(2
+=+，则=)(x f 12
-x ．
1⒉=∞
→x
x x 1
sin
lim 1 ． 1⒊曲线x y =
在点)1,1(处的切线方程是2
121+=
x y ． 1⒋若
?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．
1⒌微分方程x y xy
y cos 4)(7)
5(3
=+''的阶数为 5 ．
16.函数74)2(2
++=+x x x f ，则=)(x f 32
+x ．
17.若函数???=≠+=0,
,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．
18.函数2
)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-．
19.
=
?
∞
-dx e x 0
22
1． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)
4(3
=+''的阶数为 4 ．
21.设函数54)2(2
++=+x x x f ，则)(x f 12
+x ．
22.设函数???
??=-≠+=0,
10,2sin )(x x k x
x x f 在x = 0处连续，则k =1-． 23.曲线1e )(+=x
x f 在)2,0(点的斜率是 1 ． 24.
=+-?
-x x x d )235(1
1
3 4 ．
25.微分方程0)(4
2
=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ． 26.函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .
27.函数24)
2ln(1
)(x x x f -++=
的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-?--
28.函数74)2(2
++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2
+=x x f
29.若函数??
???
≥<+=0,0
,13sin )(x k x x
x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2
-=-，则=)(x f ．答案：1)(2
-=x x f
31.函数1
3
22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x
32.=∞→x
x x 1
sin lim ．答案：1
33.若2sin 4sin lim
0=→kx
x
x ，则=k ．答案：2=k 34.曲线1)(+=
x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：
2
1 35.曲线x
x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=
36.已知x
x x f 3)(3
+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2
x
x x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+ 37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(=
'，)(x f ''=21x
-
38.若x
x x f -=e )(，则='')0(f
．答案：x
x x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-
39.函数
的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞
40.函数1)(2
+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
⒉当=k （ C ）时，函数?
??=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．
A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.
B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.
⒋下列等式中正确的是（ D ）．
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x = C. )d(d x
x
a x a = D.
)d(2d 1x x x
=
⒌微分方程x y y x y sin 4)(5
3='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)
1ln(1
)(-=
x x f 的定义域是（ C ）．
A ．),1(+∞
B ．),1()1,0(+∞?
C ．),2()2,1(+∞?
D ．),2()2,0(+∞? 7.曲线1e
2+=x
y 在2=x 处切线的斜率是（D ）．
A ．2
B ．2
e C ．4
e D ．4
2e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．
?
∞
+-0
2d e
x x
B ．
?
∞
+1
d 1x x
C ．
?
∞
+1
d 1
x x
D ． ?∞+0d in x x s
10.微分方程x y x y y ln cos )(2)
4(3
=+''的阶数为（D
4
6lim 222----→x x x x 45
23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4
11.设函数x x y sin 2
=，则该函数是（ D ）．
A ．非奇非偶函数
B ．既奇又偶函数
C ．偶函数
D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．
x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x
x 13.下列函数在指定区间
上单调减少的是（ B ）．
A ．x cos
B ．x -5
C ．2
x D ． x
2
1⒋ 设
c x
x
x x f +=
?ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2
ln 1x
x - D. x 2
ln 1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程． A ．x y y x y x
ln e sin ='-'' B ．x
xy y y e 2=+'
C ．y y x y e ='+''
D ． y y yx '=+ln 2
16.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.
A ．
x
x
sin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +1
18.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．函数f (x )在点x 0处连续
C ．函数f (x )在点x 0处可微
D ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
19.若)0()(>+
=x x x x f ，则='?x x f d )(（ C ）.
A. c x x ++23
2
2
3 B. c x x ++2
C. c x x ++
D. c x x ++23
23
2
21
20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）
A.
)(ln d d y x x y ?=； B. x y x y
+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x x
y +=
21.函数x x y ln 4
1
+-=的定义域为（D ）
． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x
22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．
A. x y e 1=
B. 1e 1-=x y
C. 1e 1+=x y
D. 1e e
1
+-=x y 23.下列等式中正确的是（D ）．
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x = C. )d(d x
x
a x a = D. )d(2d 1x x x
=
24.下列等式成立的是（A ）． A ．
)(d )(d d
x f x x f x
=? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ） A.
y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x x
y += 26.设函数2
e e x x y +=-，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
27.下列函数中为奇函数是（ C ）．
A ．x x sin
B ．2
e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +
28.函数)5ln(4
+++=
x x x
y 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x
29.设1)1(2
-=+x x f ，则=)(x f （C ）
A ．)1(+x x
B ．2
x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x
30.当=k （D ）时，函数???=≠+=0,
,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
31.当=k （B ）时，函数???=≠+=0,
,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1- 32.函数2
33
)(2+--=
x x x x f 的间断点是（A ）
A ．2,1==x x
B ．3=x
C ．3,2,1===x x x
D ．无间断点
33.若x x f x
cos e
)(-=，则)0(f '=（ C ）．
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
34.设，则（ B ）． A ．
B ．
C ．
D ．
35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-
36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．
A ．2
3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos
37.函数2
)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）
A ．单调增加
B ．单调减少
C ．先增后减
D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间
上单调增加的是（B
）．
A ．x sin
B ．x
e C ．2
x D ．x -3
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限2
38
6lim 222+-+-→x x x x x ．
原式21
4
lim )1)(2()2)(4(lim
22-=--=----=→→x x x x x x x x
⒉设x x y 3
cos ln +=，求y d .
)sin (cos 31
2x x x y -+=
' x x x x
y d )cos sin 31(d 2
-=
⒊计算不定积分x x d )12(10?
-
x x d )12(10
?
-= c x x x +-=--?11
10)12(22
1)12(d )12(21 ⒋计算定积分
x x d ln 2
e 1
?
x x d ln 2
e 1
?
-
=2
1ln e x x 1e 1e e 2d 222e 1
2
+=+-=?
x x
x
5.计算极限4
6
lim 222----→x x x x ．
6.设x x y 3
cos 5sin +=，求y d .
)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2
-=
7.计算不定积分?
+-x x
x
x x d sin 33 ?+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 3
2ln 32
3
8.计算定积分
?
π
d sin 2
x x x
?
π
d sin 2x x x
2sin 212d cos 21cos 210
00πππ
ππ
=+=+-=?x x x x x
微积分2期末复习提纲答案
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
微积分2习题答案
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin
微积分习题集带参考答案(2)
微积分习题集带参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 6函数24)2(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 62 -x ． 7.当→x 0时，x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32． 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+，则=)(x f 12 -x ． 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y ． 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -． 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 ． 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 32 +x ． 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ． 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 ． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 ． 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 12 +x ． 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k =1-．
《高等数学二》期末复习题与答案_28171462418361700
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y
微积分2答案完整版
2010—2011真题答案 一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。 学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2． 答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4． 答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π-
学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。 二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点：幂级数收敛性，易。 2． 答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3．
微积分2第十章答案
第十章 无穷级数习题解答 练习 10.1 1. 写出下列级数的一般项: (1) 1 (1) n +- ; (2) 1 1 21 (1)n n n a +-+-; (3) 2 1 n n +; (4) 2 1 n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性: (1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是 1 5 的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为 11(1)221n -+, 其极限为12 , 故此级数收敛. 练习 10.2 1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数 1 n n u ∞ =∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确 定? (1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.3 1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于 1()2 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 (2) 此级数的通项小于 2 1 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛
高等数学2第十章答案
习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值
()1 04M x y = == ，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） sin D y d y σ??，其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤
微积分2习题答案
一、填空题 1. 2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X 7T lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t 3. lim 1 一 — .V — 4. x ) 设lim 一 "" 一 * + 4 = A ,则有"= 5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d ----- X X ? 3 .1 L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3* 函数v = 一上］一的间断点是 (x-l)(x + 2) 为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3 设函数y = ^- x )x K 则 lim f (x)= X->X %工°在兀=0处连续，则参数K = x = 0 x + a e x +\ 二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“= x>0 ④<0 3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2 ③ €+1: ④』+l y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2) ①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T ④ co 厂i)u(_l,+oo) 函数『二二2 耳的不连续点有 ■ X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价 无穷小量的是 ______________ ① l-cosx ?x + X 2 5. ④4个以上 ④ sin 2x __ ■ 疋有 ①，②
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 n x a ε-< 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若l i m n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-< 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞ 不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 2 2 2 2 22111112(1) (2) n n n n n n n n n n + +≤+++≤≤=+ 而且 2 1lim 0n n →∞ =，2lim 0n n →∞ =， 所以由夹逼定理，得
微积分习题集带参考答案大全(2)
微积分习题集带参考答案 2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。 解 此时S 是l 的函数 πππ4222 l l S = ?? ? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π π 1 2 = =l dl dS 。 5(2). 设a x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。 解 设a x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。 考虑左导数 ?? ? ??>=<∞===---+ →1,0111 ,0)0()(lim 1 0αααα a x x x x x f x f ， 考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1 ,0111,)()(0)0()(lim 1 0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0. 6. 设??? ??≥+-<≤+<-=1 ,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。 解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===- →)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。 此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x x x f x f f x x ， 。 1111)1()(lim )1(1=--=--='- →-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1 ) 1sin(lim 1)1()(lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。 1lim )'1(lim )0(00==-='- →- →-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+ →+→+x x a x f ，则1)0('=f 。 11lim )'(lim )1(11==+='- →- →-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+ →+ →+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。
高等数学2答案
习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1） 22 x y L e ds +? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） 2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.
2.有一段铁丝成半圆形y ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量22 sin 2L M yds a d a π ??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2()L x y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） 22()()L x y dx x y dy x y +--+?，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （3） (1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；
（4） dx dy ydz Γ -+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是： （1）抛物线2 y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；
微积分2习题答案
微积分2习题答案
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2x x x x 6 π x x x 32623++↑ 3．=??? ??-∞ →3 21lim x x x 3 2-e 4．设A x x ax x x =-+--→14 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞ →lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞ →-→x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+
4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是 ___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin 7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量 8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量 ③低阶无穷小量 ④等价无穷小量 9．设()?? ???=≠-=00 ,3sin x k x x x x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3 10．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件 11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ② ①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ? 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③ ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ?
(考试重点) 微积分2试卷和答案 历年证明题
06-07学年第二学期期末考试试卷 一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.若c x g dx x f +=?)()(，则=?dx x xf )(cos sin ________. 2.极限=?→x tdt x x 0 20 cos lim ________. 3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则 =??s z ________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=??D xy d xe σ________. 5.微分方程02=+''y y 的通解为________. 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设? =+2 1x dx ________. A. c x +arctan B. c x x +++)1ln(2 C. c x ++212 D. c x ++)1ln(2 1 2. 2.下列积分值为0的是________. A. ?+∞+0211dx x B. ?-1121dx x C. ?-++ππdx x x x )cos 1sin (2 D. ?--112 1dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =??1 0),(x dy y x f dx ________. A. ??10 10 ),(dx y x f dy B. ??y dx y x f dy 0 1 ),( C. ??100 ),(y dx y x f dy D. ??10 1 ),(y dx y x f dy . 5.下列级数收敛的是________. A ．∑∞ =-+-12123n n n n B. n n n n ∑∞ =+1 )1(
微积分2期中试题(答案)
北京师范大学珠海研究院专业教育中心 2011-2012学年第二学期期中考试 开课单位：__专业教育中心____ 课程名称：_微 积 分___________ 任课教师：________ 考试类型：_ 闭卷 _ 考试时间：__ 90 __分钟 专业 _____ 姓名___________ 学号______________ 班级____________ 题号 一 二 三 总分 得分 阅卷人 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分） 一.填空题（每题3分，共30分） 1. 定积分()b a f x dx ?的几何意义是 介于曲线()y f x =，直线,x a x b ==之间的图形面积的 代数和 . 2. 1b b a a dx dx ?==?? b a - . 3. 2 11 2(1)dx x x -=?+- 2 . 4. 设(5)2f =，5 ()3f x dx =?，则5 '()xf x dx =? 7 . 5. 设()x ?在[,]a b 上连续，()()()x a f x x b t dt ?=-?，则由罗尔定理，必有(,)a b ξ∈，使 '()f ξ= 0 . 6. 已知0[2()1]()1x f t dt f x -=-?，则'(0)f = 1 . 7.以(1,3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-+-=. 8.设22 2(,)xy f x y x y = +，则(1,)y f x = 222xy x y + . 9.设函数2 3x z x y y =+ ，则其全微分为221(6)(3)x dz xy dx x dy y y =++- . 10.设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数，且在00(,)x y 处有极值，则它在该点的偏导数00(,)x f x y = 0 ，00(,)y f x y = 0 . 试卷装订线
高等数学A2总练习及参考答案
高数A1总练习 一．填空题 1、sin 1lim(sin )x x x x x →∞-= 2、设函数2,1()3,1 x m x f x x x +则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -几个数的大小顺序为（ ） (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-； (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->； (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>； (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. 10、若函数()f x 连续, dt t f x x ?=1 sin )(）（?,则 =dt d ?（ ） (A) (sin )f x ； （B ）(sin )cos f x x ； （C ）(cos )f x -； （D ）(sin )(cos )f x x -.
高等数学2-习题集(含答案)
《高等数学2》课程习题集 【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 计算 行列式614 230 21510 3212 1----=D 的值。 2. 计算行列式5241 421 3183 20521 ------=D 的值。 3. 用范德蒙行列式计算4阶行列式125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 的值。 4. 已知2333231232221 131211 =a a a a a a a a a ， 计算：33 3231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。 5. 计算行列式 01111 0111 1011 110=D 的值。
6. 计算行列式1998 199819971996199519941993 19921991 的值． 7. 计算行列式50007 06 1102948023 ---=D 的值． 8. 计算行列式32142 1431 4324 321=D 的值。 9. 已知10333222 111 =c b a c b a c b a ，求222 111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a x a a a x D n ΛΛΛ ΛΛ=的值。 11. 设矩阵?????? ? ??--=2100430000350023A ，求1-A 。 12. 求???? ? ??=311121111A 的逆． 13. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
高等数学II试卷及答案
06/07试卷（B ） （本试卷共 4 页） 1、函数?????=≠+= 0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的 （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 3、设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 4、 级数 ()∑∞=??? ??--1c o s 11n n n α （常数0>α） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关。 5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑??? ??+的收敛半径是 (A) 1 ； (B) 3e ； (C) 3-e ； (D) 1-. 6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式 （A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++ （ B ）x Bx Ax 2cos )(2+ （ C ）x B x A 2sin 2cos + （ D ）x B Ax 2cos )(+ （本大题共 4小题，每小题4分，总计 16 分 ） xy y x y x y x f =+=),(,),(22?，则[]),(),,(y x y x f f ?=?????? 。 3231,2,t z t y t x ===在点31,2,1(处的切线方程是 。 ),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。 ()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . 二. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。 2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向的方向导数。
微积分2期末复习提纲答案(1)
微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：2 2 4x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：912 2 ≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
微积分二课后题答案 复旦大学出版社
第五 章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2 2 2 2 22210 (1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时， Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3 P ln3,求需求量与价格 的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,
又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0 所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3 P Q P =. 习题5-2 1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )；
微积分二第六章课后习题答案
练习 6.1 1. 若)(x F '=)(x f ,则)(x F 是)(x f 的原函数，)(x f 的原函数全体称为)(x f 的不定积分。 区别是：)(x f 的不定积分描述了所有满足导数是)(x f 的函数，而原函数只是任一个满足导数是)(x f 的函数。 2. （1）3 x e - （2）c x +cos （3）a 1 （4） 2 （5）-1 （6）2 1- （7） 2 1- 3.（1）(10)10x c '+= ?+=c x dx 1010 （2）x c x sin )cos 2(='+- ?+-=c x xdx cos 2sin 2 （3）dx x c x d 455)(=+ c x dx x +=?545 4.解：由题意c x x f +=2)(，又由 1)1(=f ，知 1-=c ，因此 12)(-=x x f 。 5.解：由题意x x x f 1)(ln )(= '=，所以 2 1)(x x f - =' 练习 6.2 1.（1）c x x x +- +1 2 ln 2 （2）c x x x ++ +3 42 3cos 3arcsin （3） c x e e x e e x e ++-++1 1 1 （4）=dx x x x )9264(+-? = c x x x ++ -9 9 ln 166 ln 244 ln 1 （5）=c x dx x dx x x x +==???8 158 78 14 12 1158 )( （6）=c x dx x += ?4 54 15 4 （7）=c x x x dx x x ++-=++-?arctan 3 )111(3 2 2 （8）=c x x dx x dx x dx x dx x x dx x ++- =++-= +-????? arctan 11 1 1 2 ) 1(1 22 2 2 2 2 2 （9）c x x dx x dx x ++ =+= ? ?2 sin 2 2 cos 12 cos 2