定积分的证明题44题

题目1证明题 容易 。证明

)()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-?

题目2证明题 容易 。利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π

题目3证明题 一般

。使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0)(0)(],[)(='==?ξξb a dx x f a f b a x f b

a

题目4证明题 一般

。为正整数时证明：当，

设??=+=a

na

dx x f n dx x f n a x f x f 0 0 )()( )()(

题目5证明题 一般

。证明： )1()1(1

0 1 0 ??-=-dx x x dx x x m n n m

题目6证明题 一般

。且

上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(21)()()(,],[)( .)()(,,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f b a -≤---≤-?

题目7证明题 一般 。其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :.

0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f b x a b a '=-≤==<

题目8证明题 一般 。使，

内至少存在一点上正值，连续，则在在设???==b b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ

题目9证明题 一般 。证明： sin sin 0 202

01??<<+ππ

xdx xdx n n

题目10证明题 一般 。求证：?<+-<1032 6421π

x x dx

题目11证明题 一般

内恒等于零。在区间上积分为零，证明内任一闭

上连续，且在在区间设),()(),(),()(b a x f b a b a x f

题目12证明题 一般 。证明上连续在若函数0)(a )(21)(:,

]1,0[ )( 2 0 0 23>=??a a dx x xf dx x f x x f

题目13证明题 一般

。证明上连续在和设函数????≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f b a x g x f )()(])()([ :,

],[)()(222

题目14证明题 一般 ??+=4

0 2 0

)d sin )(cos 2(sin d cos )2(sin ]1,0[ )( π

π

???????。证明：上连续，

在设f f x f 题目15证明题 一般 。

证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b M dx x f a f M x f b a x f b

a -≤=≤'?

题目16证明题 一般

。证明：上连续，

，在设??-+=>a a dx x a f x f dx x f a a x f 0 2 0 )]2()([)( )0( ]2,0[ )(

题目17证明题 一般

。；为正整数，证明：

设 sin )2( cos )1( 2 2πππππ

π

==??--kxdx kxdx k

题目18证明题 一般

。试证且上有一阶连续导数在设1)]([:.

1)0()1(.]1,0[)(210≥'=-?dx x f f f x f

题目19证明题 一般 。证明：为正整数，

若??=?2 0 2 0 cos 21sin cos π

πxdx xdx x m m m m m

题目20证明题 一般

。则上连续，在区间若函数 ])([)()( ],[ )( ??-+-=b a b a dx x a b a f a b dx x f b a x f

题目21证明题 一般 。证明：上连续在设函数??=ππ2 0 2

0 )cos (41)cos (,

]1,0[ )( dx x f dx x f x f