数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析
勾股定理最短路径问题
例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。
这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。
2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点
如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。
例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？
分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。
3.在圆柱体中爬行半圈或一圈
在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。
例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
4.正方体表面爬行
蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。
例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？
本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。
5.圆柱体多圈问题
例题5：为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为多少厘米？
分析：将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC可求，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度。
6.蚂蚁爬行转化为将军饮马问题
例题6：如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，
离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离是多少厘米？
分析：本将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力。将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求。
本题是由外到内，需要转化为将军饮马问题解决，不是单单蚂蚁爬行问题。
7.蚂蚁在楼梯上爬行
例题7：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?
分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。
END
专题一 勾股定理(解析版)
八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题 一、勾股定理的应用（最短路径） 1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18，BC=12，BF=10，点M在棱AB上，且AM=6，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程的平方为（） A．400B．424C．136D．324 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】 解：如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∵BM=18-6=12，BN=10+6=16， ∵MN2=122+162=400 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∵PM=18-6+6=18，NP=10， ∵MN2=182+102=424． ∵因为400<424，所以蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N的最短距离的平方为400.故选：A． 【点睛】 此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm． 【答案】15. 【分析】 过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】
沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE=A′E，A′P=AP， ∵AP+PC=A′P+PC=A′C， ∵CQ=1 2 ×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm， 在Rt∵A′QC中，由勾股定理得：， 故答案为15． 3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵． (1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注； (2)试求小虫爬行的最短路程． 【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm. 【分析】
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析 勾股定理最短路径问题 例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。 这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。 2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点 如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。 例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？
分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。 3.在圆柱体中爬行半圈或一圈 在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。 例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
4.正方体表面爬行 蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。 例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？
勾股定理经典例题(含答案)
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是 多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进 而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用
勾股定理应用长方体最短路径
勾股定理的应用之最短距离问题 个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正 2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm. cm. 3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的 点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对 cm （杯壁厚 A 到点 D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFE BCGF EFGH CDHG 四个面，则所需 捆绑线缆的长至少为 度不计）. P 琏蜜 H G 3
5.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m. 7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点, 一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是. A J V 8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U 爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 . 9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤
自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木 条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？
专题14勾股定理与最短路径问题-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【北师大版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.4勾股定理与最短路径问题（重难点培优） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020秋•禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（） A．9B．13C．14D．25 【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程． 【解析】展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5． 根据两点之间线段最短， 知最短路程是矩形的对角线的长，即√52+122=13， 故选：B． 2．（2020秋•太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半， 作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm， 延长BG，过A'作A'D⊥BG于D， ∵AE＝A'E＝DG＝4cm， ∴BD＝16cm， Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=√202−162=12cm， ∴则该圆柱底面周长为24cm． 故选：D． 3．（2020秋•金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4 π ，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（） A．5B．√5C．√73D．4
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．
5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路 问题 1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短 路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( ) A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm 3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁 离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( ) A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm 4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个 侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )
A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm 5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五 周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺． 6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1． 路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2． 请按照小明的思路补充下面解题过程： (1) 解：l1=AB+BC=2+8=10， l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2； ∵l12−l22=． (2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继 续按前面的路线进行计算．（结果保留π） ①此时，路线1:l1=； 路线2:l2=． ②选择哪条路线较短？试说明理由．
勾股定理经典例题(含标准答案)
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解读：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解读：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
解读：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC 交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解读：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解读：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以 （2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向 举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5M，宽1.6M，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通
勾股定理之长方体上的最短路径问题
勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为
2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？
5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度
勾股定理经典例题(含答案)
勾股定理经典例题(含答案)
（二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 作法：如图所示 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确） 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DE⊥EF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴DF2=EF2+DE2, ∴FE⊥DE。 练习 一、判断直角三角形问题：
勾股定理的应用最短路径问题
14・2勾股定理的 应用 ■ 复习 B 一.勾股定理： 字母表示:如果在RtAABC 中，ZC=90° 弦C 那么a2+ b2= c2 语言叙述:直角三角形的两条直角边的 平方和等 于它斜边的平方。 勾a
股b 二•直角三角形的判定如果三角形的三边长a, b c满足/ +卩二『那么这个三角形是直角三角形。
做一做: 1.AABC 的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( X) 2•直角三角形ABC 中a=6，b=8,则c=10 ( J ) 3.能与3和4围成三角形的数有 无数个:能与3和4围 成直角三角形的有 2 个:能与3和4组成勾股数的 数有丄个。 4■一个直角三角形的三边长是不大于1 0的 三个连续偶数，则它的周长是04 ) 例1 •一圆柱体的底面周长为20cm,高AB 为 4cin,BC 是上底面的直径•一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C, 试求出爬 行的最短路程•(精确到0.01cm) 解：如图，由题意得： 在直角三角形ABC 中， CD=4, AD=204-2=109 根据勾股孚理得： 二 AC = ylAD 2 + CD? =JlO? +42 = 7114 a 10.77 答：最短路程为10.77厘米。••最短路程问题 D
沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是多少? B A 分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需 把正方体展开成平面图形（如右图）- 解：如图，由题意得：在直角三角形ABC 中， ACT, BC=2,根据勾股定理得. AB =」AC ：十 BC? = J12 +2? = 75 答：最短路程为7^厘米。 变式：一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD 试 求出爬行的最短路程。 的中点0,已知底面周长为10, 69 •三• 解：如图，由题意得： 在直角 三角形ABO 中， OD=4 -1- 2=2 9 AD=10 宁 2=5 根据勾股定理得： AO = J A D? +0/）2 = {52 +22 二® 答：最短路程为厘米。 例2・如图，边长为1的正方体中, 一只蚂蚁从顶点A 出发 o B
《勾股定理》难题(含答案)
第一章勾股定理（难度题） 1、如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的 (B) A．北偏东75°的方向上B．北偏东65°的方向上 C．北偏东55°的方向上D．无法确定 2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm． 【解】∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13． 3、（潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，
有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺． 【解】如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25． 4、如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（） A、25 B、23 C、25+2 D、23+2 5、如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的 G点，则∠DKG=_______．
6、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别 是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、 S S S S S S 341234、，则+++=_____________ 7、如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=，AD AE =，AB AC =． 给出下列结论：①BD CE =；②45ABD ECB ∠+∠=；③BD CE ⊥； ④22222BE AD AB CD =+（）﹣．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
勾股定理最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着外表爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是〔 〕 A ．A ⇒P ⇒ B B ．A ⇒Q ⇒B C ．A ⇒R ⇒B D ．A ⇒S ⇒ B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 应选A ． 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外外表爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短〞知，线段AB 即为最短路线． AB= 51222=+． 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， 第6题 第7题
A B 12 1MD 1= 1323222 12=+=+DD MD ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其外表爬到点B 的最短路程是〔 〕 解：如图，AB= ()101212 2=++．应选C ． 9．如下图一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，那么它从下底面点A 沿外表爬行至侧面的B 点，最少要用秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进展大、小比拟，再从各个路线中确定最短的路线． 〔1〕展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ； 〔2〕展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm ； 所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒． 长方体 10．〔2021•恩施州〕如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB= =25．
勾股定理经典例题(含答案)
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° （1）已知a=6，c=10,求b，（2)已知a=40,b=9，求c；（3)已知c=25,b=15，求a。 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析:（1) 在△ABC中，∠C=90°,a=6，c=10，b= (2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12，BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知:在中，，，. 求：BC的长。 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长。 解析：作于D，则因， ∴(的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半）。 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
。 ∴。 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：。 解析:连结BM,根据勾股定理，在中, 。 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 , ∴。 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单. 解析:延长AD、BC交于E. ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2—CD2=42-22=12，∴DE==. ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三:勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点. （1）
勾股定理经典例题(含参考答案)
勾股定理经典例题(含参考答案)
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13,CD=12 ∴AC2=AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB=4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，.求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，
如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流 【精品文档】第 3 页. 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：. 解析：连结BM ，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC 交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・ 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角