真空中的静电场归纳,

普通物理学

程守洙第六版

静止电荷电场总结

真空中的静电场

教学目的要求

1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理；

2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用；

3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能；

4. 掌握电势和电势叠加原理；

5. 了解电场强度和电势梯度的关系.

本章内容提要

⒈两个基本定律

① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一.

② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即

121212

122201212012

4π4πr

q q q q r r r εε=

?=r F e ⒉两个重要物理量

① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即

q F E =

② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则

d p p p

W V q ∞

=

=??E l

电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为

d p p

V ∞

=??E l

微分关系是

grad V =V =--?E

⒊两个重要定理

① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ε 0倍.即

1

d i S

S q ε?=

∑?

内

E S

② 静电场的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零.即

0d =??l E

高斯定理和静电场的环路定理都是描写静电场性质的重要定理，前者说明静电场是有源场，而后者说明静电场是无旋场，即静电场是有源无旋场.

⒋三个叠加原理

① 静电力叠加原理 作用在某一点电荷上的力为其它点电荷单独存在时对该点电荷静电力的矢量和.即

1

n

i i ==∑F F

② 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加，即

1

n

i i==∑E E

③ 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加，即

1

n

p Pi i V V ==∑

⒌几个基本概念

① 电场 电荷周围存在的一种特殊物质，称为电场.它与分子、原子等组成的实物一样，具有质量、能量、动量和角动量，它的特殊性在于能够叠加.相对于观察者静止的电荷在其周围所激发的电场称为静电场.静电场对外的表现主要有：对处于电场中的其他带电体有作用力；在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功.

② 电场线 为形象地反映电场而人为地在电场中描绘的曲线.其画法规定：电场线上某点的

切线方向和该点场强方向一致；通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小.它的性质为：电场线起自正电荷（或无限远处），止于负电荷（或无限远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线；两条电场线不能相交.

③ 电通量 通过电场中任一给定面的电场线的条数，称为该面的电通量.即

???==S

e e ΦΦS E d d

④ 电势能 电荷在静电场中的一定位置所具有的势能，称为电势能.电场力的功就是电势能改变的量度.若取无限远处为势能零点，则q 0在电场中某点a 的电势能为

0d a a

W q ∞

=??E l

即q 0自a 点移到 “势能零点”的过程中电场力做的功.电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有.

⑤ 电势差 在静电场中，任意两点a 和b 的电势之差称为电势差（电压），即

d b

ab a b a

U V V =-=??E l

即把单位正电荷自a 点移动到b 点的过程中电场力做的功.由此可以计算电场力做的功

)(b a ab ab V V q qU A -==

⑥ 等势面 电场中电势相等的点所组成的曲面叫等势面.画法规定：电场中任意两个相邻的等势面之间的电势差都相等.性质：在同一等势面上的任意两点间移动电荷，电场力不做功；等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直；电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面；等势面密集处的电场强度大，等势面稀疏处电场强度小.

⑦ 电势梯度 电场中某点的电势梯度，在方向上与该点处电势增加率最大的方向相同，在量值上等于沿该方向上的电势增加率.即

d grad d n V

V V n

=

=?e ⒍场强和电势的计算

① 由点电荷公式

2014πq r ε=

??r E e ， 04πp q V r

ε= ② 由叠加原理

1

n

i i==∑E E ， 1

n

p Pi i V V ==∑

3104πn

i i

i i q r ε==∑E r ， 104πn

i

p i i q V r ε==∑ 2

01d 4πr q r ε=?E e ， 0d 4πp q V r ε=? ③ 由二者关系

grad V =V =--?E ， d p p

V ∞

=??E l

④ 由高斯定理

1

d i S

S q ε?=

∑?

内

E S ， 0d p p p

V =??

E l

对于具有一定对称性分布的带电体，通常先利用高斯定理求E 而后求V p ；对于由多个电荷或带电体组成的系统，则常用叠加原理求解.

思考题答题要点

1 怎样认识电荷的量子化和宏观带电体电荷量的连续分布？

答：常见的宏观带电体所带的电荷远大于基本电荷量，在一般灵敏度的电学测试仪器中，电荷的量子性是显示不出来的.因此在分析带电情况时，可以认为电荷是连续分布的，这正像人们看到流水时，认为它是连续的，而并不感觉到水是由一个个分子、原子等微观粒子组成的一样.

2 两个完全相同的均匀带电小球，分别带电荷量q 1 = 2 C 正电荷，q 2 = 4 C 负电荷，在真空中相距为r 且静止，相互作用的静电力为F .

⑴ 今将q 1、q 2、r 都加倍，相互作用力如何改变？ ⑵ 只改变两电荷电性，相互作用力如何改变？ ⑶ 只将r 增大4倍，相互作用力如何改变？

⑷ 将两个小球接触一下后，仍放回原处，相互作用力又如何改变？ ⑸ 接上题，为使接触后，静电力大小不变应如何放置两球？ 答：（1）作用力不变； （2）作用力不变；

（3）作用力变为 F ／25，方向不变；

（4）作用力大小变为 F ／8，方向由原来的吸引变为推斥（接触后电荷量先中和，后多余电荷量等分）；

（5）将两小球在真空中的间距缩小为4/2r 静止放置.

3 若通过一闭合曲面的E 通量为零，则此闭合曲面上的E 一定是 ⑴ 为零，也可能不为零； ⑵ 处处为零.

答：⑴，因为通量除了和电场强度有关，还和电场与曲面的夹角有关. 4 比较场与实物的同和异？

答：同：都是物质存在的形式，客观存在并能为人所认识；存在的形式都具有多样性；其本性都是波粒二象性，都有质量、能量、动量、角动量、波长和频率等；进行的物理过程，也遵从质量守恒、能量守恒、动量守恒和角动量守恒等普遍规律；都不能创生，不能消灭，只能从一种形式转变为另一种形式.

异：实物由分子或原子组成，具有不可入性，即两个或多个实物不能同时占据同一个空间；而场所占据的空间能为其他场同时占有，且互不影响；实物的质量密度较大（103 kg/m 3），场的质量密度很小（10-23 kg/m 3）；实物不能达到光速，场一般以光速传播，实物受力可产生加速度，场不能被加速；实物可作参考系，场不能当参考系.

5 能否单独用电场强度来描述电场的性质？为什么要引入电势？

答：可以只用电场强度来描述电场性质，但是引入电势后，既可从不同角度加深对电场的认识，也可简化运算，因为电势V 是标量，一般情况下计算V 比计算E 方便，求得V 后根据

grad V V =-=-?E ，即可得电场强度E 了.

6 电势零点的选择是完全任意的吗？

答：由定义来看，电势只具有相对值，从此意义上说，电势零点选择是完全可以任意的.但在理论研究中，往往要采用一些抽象模型，如无限大带电体、点电荷等，在这种情况下，电势零点就有一定的限制，即必须使得电场中各点的电势具有确定的值，这才有物理意义.例如，无限大均匀带点平面，由于电荷分布在无限范围，就不能选无限远处的电势为零，通常选带电平面本身的电势为零.又如点电荷，因为电荷集中在一个点上，因此不能选点电荷本身作为电势零点，而通常选无限远处为电势零点.无限长带电直线的电势零点，既不能选在其本身上，也不能选无限远处，只能选空间中的其它任意点.实际问题中常以大地或电器的金属外壳为电势零点.另外电势零点选择应尽量使计算简单.

7 电势与场强的关系式有积分形式和微分形式.计算时在怎样的情况下使用较方便. 答：电势与场强的关系有

微分形式：grad V V =-=-?E ；积分形式：?

∞

?=a

a V l E d

当场强分布已知或带电系统的电荷分布具有一定对称性，因场强较易由高斯定理求出，用

积分形式计算电势方便.

当带电系统的电荷分布已知，电荷分布的对称性又不明显时，易用电势叠加法，即

0d d 4πq

V V r

ε==??

计算电势，再用微分式计算场强更为方便.

8 假如电场力做功与路径有关，定义电势的公式?

∞

?=a

a V l E d 还有没有意义？从原则上

讲，这时还能不能引入电势的概念？

答：假如电场力做功与路径有关，则积分?

∞

?=

a

a V l E d 在未指明积分路径以前就没有意义

——因为积分与路径有关，路径不同，积分的结果也不同.相同的初位置，可以有多种不同的积分值，即?

∞

?=

a

a V l E d 没有确定的意义，因而不能根据它引入电势的概念.

9 怎样判断电势能、电势的正负与高低？

答：判断正负，必须首先选定参考零点.将给定电荷（可正可负）移至零点，根据电场力做

功的正负，决定该电荷在给定点电势能的正负；将单位正电荷（必须是正）从给定点移至零点，电场力做功的正负，决定给定点电势的正负.

比较高低，与零点选择无关.将给定电荷（可正可负）从A 点移至B 点，若电场力作正功，则W A >W B ，电场力作负功，W A

V A >V B ；电场力作负功，V A

10 库仑定律与高斯定理、静电场的环路定理有何关系？

答：库仑定律是直接从实验中总结出来的，是整个静电学理论的实验基础.由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象，局限性较大，只适用于相对静止的点电荷的场.高斯定理和环路定理是库仑定律的推论，由于它们是用场的观点，从两个不同的侧面，对静电场的基本性质给出了完整的描述，适用于一切场源电荷激发的场.

当然，从另外一个角度，也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理，再由它们导出库仑定律.比如，可根据实验空腔导体内不带电的实验，得到高斯定理.再把高斯定理用于中心置一点电荷的闭合球面，即可导出库仑定律.因此高斯定理和环路定理又叫做静电场的第一、第二定律，这时库仑定律就只处于一种推论的地位.

11 如何判定电场中某点的电场强度的方向？试说明电场中某点的电场强度与试探电荷的关系.

答：引入正电荷0q 作为试探电荷，由电场强度的定义0

q F

E =

可知，电场中某点电场强度的方向就是正电荷0q 在该点所受的电场力的方向.从理论上讲，电场中任意点的电场强度与试探电荷0q 无关，然而实际过程中，试探电荷0q 必须是点电荷，而且其所带电荷量也必须足够小，这样做是为避免将0q 引入电场过程中对原有电场构成影响. 12 根据点电荷的电场强度公式r r q

e E 2

04πε=

，当所考察的场点距点电荷的距离0

→r 时，场强∞→E ，这是没有物理意义的，对于这个问题应如何解释？

答：任何带电体都有形状和大小，点电荷只是在某些情形下略去带电体的形状和大小、而将其看作一个点状的近似——只有当带电体自身的线度远小于考察距离时，才可将其视为点电荷.在本题的题设中，随着所考察场点距带电体的距离0→r ，带电体的形状与大小已不可略去，这样一来，也就不再能把被考察带电体继续作为点电荷处理，那么点电荷的电场强度公式

r

r

q

e E 204πε=

显然也就不再适用了. 13 一点电荷放在球形高斯面的球心处，试讨论下列情形下电通量的变化情况： (1）电荷离开球心，但仍在球内；

（2）球面内再放一个电荷； （3）球面外再放一个电荷. 答：由真空中的高斯定理

1

d i S

S q ε?=

∑?

内

E S 可以判断得知，在（1）

、（3）两种情形中，

电通量不会发生变化，而情形（2）中电通量会发生变化.

14 在电场中，电场强度为零的点，电势是否一定为零？电势为零的地方，电场强度是否一定为零？试举例说明.

答：电场强度为零的点，电势不一定为零；电势为零的地方，电场强度也未必为零.例如，电荷均匀分布于表面的带电球，其内部的电场强度为零，然而电势等于其表面电势，并不为零；若选择球外一有限距离处的任意点P 为电势零点，则该点处电势为零，但其电场并不为零.

静电场中的导体和电介质

教学目的要求

1. 理解导体的静电平衡条件与静电平衡时导体上的电荷分布规律，了解静电屏蔽的原理及应用；

2. 了解电介质对电场的影响和电介质的极化现象；

3. 掌握有电介质时的高斯定理及其应用、理解有电介质时的环路定理；

4. 掌握电容器电容的计算与电容器的联接；

5. 理解静电场的能量.

本章内容提要

⒈两个重要物理图像

① 静电平衡 在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态，称为静电平衡. 静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷的宏观移动.

静电平衡条件 导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强度与表面垂直.

静电平衡的特点 整个导体是等势体，导体的表面是等势面；导体表面附近任一点的电场强度的大小与该处导体表面上的电荷面密度成正比.

② 电介质的极化 电介质在外电场作用下，其表面出现净电荷的现象称为电介质的极化. 电极化强度P ： 单位体积内分子电矩的矢量和，即 V

V ?=∑→?分

p

P 0

lim

电极化强度和场强的关系：E P e χε0= （各向同性电介质）

电位移矢量D ：P E D +=0ε，对于各向同性电介质有E E D εεε==r 0 电介质存在时的电场：E E E '+=0

电极化率χe ，相对介电常数ε r 和绝对介电常数的关系 ε = ε 0 ε r = ε 0（1+ χe ）

⒉两个重要定理

① 有电介质时的高斯定理 通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和，即

0d q

S

=??S D

② 有电介质时的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零，即

0d =??l E

式中的场强E 为所有电荷（包括自由电荷和极化电荷）所产生的合场强.

⒊几个基本概念

① 静电感应 金属导体中的自由电子在外电场E 0的作用下，相对于晶格离子作定向运动，由于电子的定向运动，并在导体一侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷，这就是静电感应.

② 静电屏蔽 利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽.

③ 位移极化 由于无极分子的电极化是分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，所以这种电极化称为位移极化.

④ 取向极化 有极分子的电极化是分子电偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为取向极化.

⑤ 电位移线 为了描述电位移D ，仿照电场线方法在有电介质的静电场中做电位移线，使线上每一点的切线方向和该点电位移D 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移D 的量值. D 线发自正自由电荷止于负自由电荷.

⑥ 电容器 两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器. 电容器的电容定义为电容器所带电荷量与其电压之比，即

B

A V V Q

C -=

它仅与两极板的尺寸、几何形状、周围介质及相对位置有关.

⒋三种主要的计算

① 场强与电势的计算：求场强时，用有电介质时的高斯定理∑?

=?0d q S

S D ，先求D ，

再用ε

D

E =

求出E ，可以不用考虑极化电荷，计算很方便，但只有当电场分布具有前面讲过的三种特殊对称性时，才能应用.求电势时，因为计算极化电荷不方便，所以求电势时一般不用叠加法，而常用电势的定义式d P P

V ∞

=

??

E l 来计算.

② 电容器电容的计算：一般情况下，先设电容器两极板所带电荷量为±Q ，确定两极板间的场强分布，然后由d B

AB A B A

U V V =-=

??

E l 求两极板间的电势差，最后利用电容器电容的定

义式计算；对于几种常见的电容器，可以直接利用其结果：平行板电容器S

C d

ε=

、

球形电容器4πA B B A

R R C R R ε=

-、圆柱形电容器2πln B A

l

C R R ε=；至于电容器串、并联的等值电容，有

+++=3

211

111C C C C （串联）和 +++=321C C C C （并联）

；个别情况下，也可利用电容器的储能公式计算.

③ 电场能量的计算：电容器的储能，可直接利用公式

222

1212CU QU C Q W e ===

电场中的能量 V W V e d 2

1

E D ?=?

其中，E D ?=2

1

e w 为电场能量密度，即电场单位体积中的能量.对于各向同性电介质，有

22

1

21E DE w e ε==

思考题答题要点

1 尖端放电的物理实质是什么？

答：尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去.

2 将一个带电+q 、半径为R B 的大导体球B ，移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，如思考题2用图所示，试判断下列说法是否正确？并说明理由.

(1) B 球电势高于A 球；

(2) 以无限远为电势零点，A 球的电势：V A < 0.

答：(1) 正确.不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面.另外，定性画出电场线，如思考题2用图所示，在静电场的电场线方向上电势逐点降低，由图可知电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球.

(2) 不正确.若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，如思考题2用图所示，可知A 球的电场线伸向无穷远处.所以，V A ＞0.

思考题2用图

3 怎样能使导体净电荷为零，而其电势不为零？

答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑=0

q而导体的电势V≠0.

4怎样理解静电平衡时导体内部各点的电场强度为零？

答：必须注意以下两点：

(1)这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元.对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零；

(2)静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立.

5怎样理解导体表面附近的电场强度与表面上对应点的电荷面密度成正比？

答：注意不要误解为“导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S?σ产生的”.实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强.如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献.

6为什么不能使一个物体无限制地带电？

答：所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷.当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电荷量的增加而增大.带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿.在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电荷量减少.所以一个物体不能无限制地带电.如尖端放电现象.

7感应电荷的大小和分布怎样确定？

答：当施感电荷Q接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q′.其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷Q有关，导体靠近Q的一端，将出现与Q异号的感应电荷q′.而一般情况下q′并不等于Q，q′的大小及其在导体上的分布情况由静电平衡条件决定，最终总是使得±q′与施感电荷Q在导体内任一点产生的合电场强度为零，只有在一些特殊情视下，q′的大小才会与Q相等.

8怎样理解导体壳外电荷对壳内的影响？

答：封闭导体壳不论接地与否，其内部的电场均不受壳外电荷的影响，对此不能产生误解，以为由于壳的存在，壳外电荷不在壳内产生电场.实际上，壳外电荷也要在壳内激发电场，只是由于这个场与壳外表面的感应电荷在壳内激发的场的合场强为零，才造成壳内电场不受壳外电荷影响这一结果.

9怎样理解导体壳内电荷对壳外的影响？

答：对一个不接地的中性导体壳，壳外无带电体，但壳外空间仍然可能有场，这个场是壳内电荷间接引起的.例如壳内有一正电荷q，则壳内、外壁的感应电荷将分别为-q和+q.外壁电荷将发出电场线，所以壳外空间有场.但是不要以为由于壳的存在，壳内电荷q不在壳外空间激

发场.实际上壳内电荷q 和内壁感应电荷-q 都要在壳外空间激发场，只不过其合场强为零，才使得壳外空间的场只是由外壁感应电荷+q 所决定.而且应当注意，无论壳内电荷分布如何，它和内壁感应电荷在壳外空间激发的合场强始终为零.壳外空间的场只与壳内电荷的总电荷量有关，而与它们的分布无关.

10 在静电场中的电介质和导体表现出有何不同的特征？

答：静电场中的导体的主要特征是表面有感应电荷，内部场强处处为零，表面为等势面，导体为等势体.而电介质的主要特征是在电场中被极化产生极化电荷，介质内部场强不为零，方向与外加电场方向一致，一般说介质表面不是等势面.

11 电介质的极化现象与导体的静电感应现象有什么区别？

答：导体的静电感应现象从微观上看，是金属中有大量自由电子，它们在电场的作用下可以在导体内作宏观移动，电子的移动使导体中的电荷重新分布，结果在导体表面出现感应电荷.感应电荷产生的电场与外电场的方向相反，因此随着感应电荷的堆积，导体中的合场强逐渐减小，达到静电平衡时，感应电荷产生的电场与外加电场相互抵消，导体中的合场强为零，导体中自由电子的宏观移动也停止.

电介质的极化现象从微观上看，分子中的电子与原子核的结合相当紧密，电子处于束缚状态.把电介质引入静电场时，电子与原子核之间，只能作一微观的相对位移，或者它们之间的连线稍微改变方向（有时两种情况都发生），结果在沿场强方向的两个表面出现极化电荷.极化电荷所产生的电场只是部分地抵消外加电场，达到稳定时，电介质内部的电场强度不为零.

12 怎样理解电势能与电场能？

答：电势能是带电体之间或带电体与电场之间的相互作用能，随电势能零点的选取而改变，其正负取决于相互作用性质.由于电势能在所求点A 处的值等于将电荷从无限远（电势能零点处）移至A 处外力反抗电场力做的功，外力做功的正负与电势能正负一致.也可由相互作用判断，如是排斥作用，则是正值，如是吸引作用，则是负值.电场能是电场物质所包含的固有能量，与势能零点的选取无关.电势能是电场能的一部分，也表示电场能随位置改变的变化.在某些情况，如电容器中，由于电场只存在于电容器内部，电容器储能

QU CU C Q W 2

1

212122===

它既是电场能，又是电势能.

13 怎样使导体有过剩的正(或负)电荷，而其电势为零？

答：将不带电的导体置于负电荷(或正电荷)的电场中，再将该导体接地，然后撤除接地线.则该导体有正电荷(或负电荷)，并且电势为零.

14 怎样使导体有过剩的负电荷，而其电势为正？

答：将一带少量负电荷-q 的导体置于另一正电荷Q ( Q >> q )的电场中，由于Q >> q ，带负电荷的导体并未明显改变原电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正.

15 电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半截的电介质上是否带电？为什么？

答：不带电.因为从电介质极化的微观机制看有两类： ①非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；

②极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用下沿着外电场方向取向.

其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的表面上出现的电荷是束缚电荷，这种电荷不像导体中的自由电荷那样能用传导的方法引走.当电介质被裁成两段后撤去电场，极化的电介质又恢复原状，仍各保持中性.

16 一个孤立导体球带电荷量为q ，其表面附近的电场强度沿什么方向？当我们把另一带电体移近这个导体球时，球表面附近的电场强度将沿什么方向？表面上的电荷分布是否均匀？表面是否是等势体？电势值有无变化？球体内的电场强度有无变化？

答：孤立带电导体球的电荷在表面均匀分布，因此表面附近电场强度的方向与导体表面的法线方向平行，即沿球体的径向方向.然而，当把另一带电体移近导体球时，由于静电感应，导体球表面上的电荷不再均匀分布，不过电场强度的方向仍与导体表面垂直.

处于静电平衡状态的导体球，其表面是一个等势体，但其电势值相比原孤立导体球会有变化；不过此时球体内的电场与原孤立导体球体内的电场却是一样的，电场强度皆为0.

17 一个不带电的导体球的电容是多少？当平行板电容器的两极板上分别带上等值同号电荷时，与当平行板电容器的两极板上分别带上同号不等值的电荷时，其电容值是否相同？

答：电容是表述导体的一种电学性质，它与导体是否带电或带电多少无关，因此一个不带电的导体球的电容仍为04πR ε，R 为导体球半径.同理，当平行板电容器的两极板上分别带上等值同号电荷时，与平行板电容器的两极板上分别带上同号不等值的电荷时，其电容值是相同的.

18 一个带电的金属球壳里充满了均匀电介质，外面是真空，此球壳的电势是多少？若球壳内为真空，球壳外是无限大均匀电介质，这时球壳的电势为多少？

答：设金属球壳半径为R ，带电荷量为q ，均匀电介质的相对介电常数为r ε，则当该球壳里充满均匀电介质而外面为真空时，其电势为04πq R

ε；当该球壳内为真空而外面为无限大均匀

电介质时，其电势为

04πr q R

εε.

19 用电源对平行板电容器充电后即断开电源，然后将两极板移近，问在此过程中外力做正功还是做负功？电容器储能是增加还是减少？如果充电后不断开电源，情况又如何？

答：对平行板电容器充电后断开电源，然后将两极板移近，在此过程中外力做负功，电容器储能减少；如果充电后不断开电源，则该过程中外力做正功，电容器储能增加.

例题精选

1 一长为L ，电荷量为q 的均匀带电细棒，其中垂线上P 点置一点电荷q 0，P 点到细棒的距离为a ，求它们之间的库仑力.

解：将该带电细棒分成一系列的线段元，任取一距O 为x ，长为d x 的线段元，则其带电荷量d q =λd x （λ为电荷线密度），它与q 0的库仑力的大小为：

00222200d d d 4π()4π()

q q q x

F x a x a λεε=

=++

d F 的方向如习题1用图所示.

θcos d d ?=F F x

，220d d d sin 4π()y q x F F x a λθε=?=

+ 习题1用图 由于对称性, d F x 相互抵消, d F y 相互加强，故

/2

0223/2/20

d d 4π()L y L q a x F F x a λε-==+?

?22

L L

q a λ-

=

qq =

2 真空中一立方体形的高斯面，边长a ＝ 0.1 m ，位于如习题2用图a 所示位置．已知

的电通量．

解：如习题2用图b 所示，通过x = a 处平面1的电场强度通量

Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3

通过x = 2a 处平面2的电场强度通量

Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3

其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

123321=+-=+=ba ba ΦΦΦ (N ·m 2/C)

3 如习题3用图所示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无限远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

解：由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为V . 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层，其电荷为2

d 4πd q r r =

该薄层电荷在球心处产生的电势为

00

d d d 4o q V r r r ρ

εε=

=π

故整个带电球层在球心处产生的电势为

()2

1

2

2210

d d 2R o o R V V r r R R ρ

ρεε==

=

-??

因为空腔内为等势区，所以空腔内任一点的电势V 为

()2

2210

2o V V R R ρε==

- 本题根据电势定义??=l E d V 计算亦可。

4．两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m 和R 2＝0.10 m ．已知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷．

解：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度大小为

2

04r

Q

E επ=

(R 1 < r < R 2) 故两球的电势差为 ?

?

π=

=2

1

2

1

20

12d 4d R R R R r r Q r E U ε???? ??-π=

21

114R R Q ε

∴ ()

012129

2140.030.10450

C 9100.100.03R R U Q R R επ??=

=-??-≈2.14×10-9 C 5 如习题5用图a 所示，半径为R 1和R 2的两个同心球面均匀带电，电荷量分别为Q 1和

Q 2.

⑴ 试求区域1、2、3中的电势；

⑵ 讨论Q 1 = - Q 2和Q 2 = - Q 1R 2/R 1两种情况下各区域中的电势，并画出V -r 曲线.

习题3用图

解：（1）利用高斯定理可得 ()110

r R =

、

()1

212204πr

Q R r R r

ε=

<

322

04πr Q Q r R r

ε+=

>E e

相应各区域的电势分布为

()1212

332200d d 4π4πr

r Q Q Q Q V r r R r r εε∞

∞

++=?==≥??

E l

12

2002

4π4πQ Q V r R εε=+ ()21R r R <<

()2

1

2112132310

121

d d d 4πR R R R r Q Q V r R R R ε∞

??=

?+?+?=

+≤ ???

???E l E l E l （2）当Q 2 = -Q 1时，V 3 = 0；1202114πQ V r R ε??=- ???；11

012114πQ V R R ε??

=- ???

当Q 2 = -12R R

Q 1时，()1213014πQ R R V R r

ε-=-；1201114πQ V r R ε??=- ???；01=V

在此两种情况下的V -r 曲线如习题5用图b 所示.

6在一个平面上各点的电势满足下式：

2

1

)()(2222y x b

y x ax V +++=

x 和y 为这点的直角坐标，a 和b 为常数.求任一点电场强度的E x 和E y 两个分量.

解：根据）＋（j y

V i x V E

????-=可知 1

2

2

22

2

222

d ()()

d ()x V a x y bx x y E x x y -++=-=

+

习题5用图

a)

b)

1

22

2222

d [2()]

d ()y V y ax b x y E y x y ++=-=

+ 7 如习题7用图所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体密度ρ = kx （0≤ x ≤ a ），

k 为一正值常数.求：

⑴ 板外两侧任一点 M 1、M 2的电场强度大小； ⑵ 板内任一点M 的电场强度； ⑶ 场强最小的点在何处.

解：（1）在x 处取厚为d x 的平板，其带电荷量

S x q ?=d d ρ，电荷面密度为x S

q

d d ρσ==

. 则

02d εσ=E 02d ερx =02d εx kx =?=?a x kx E 00

d 2ε02

4εka =

（2）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向，且

x kx E a

d 200

1?=ε024εkx =

M 右侧产生的场强方向沿x 轴负向，且

x kx E a

x d 20

2?=ε()0224εx a k -= 故 ()

0220244εεx a k kx E --=()

220

24a x k -=ε 8一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为λ+，试求在圆心O 点的电势.

解：半圆形导线半径πL

R =

，由电势叠加原理计算O 点电势， 0d d 4πq

V R

ε= ， l q d d λ=

故 0

00

0444d d ελ

πελπελ===

=?

?R L R l V V L

9如习题9用图所示，在内、外半径分别为R 1和R 2的带电球壳内，各点的体电荷密度均为ρ，求距球心O 为r 的P 点的电势.

解：∵

d s

q ε?=

∑?

E S ，则 a

M 1

M 2

M O

x

习题7用图

习题9用图

r < R 1：∵

0q =∑ ，∴ 1

0=E ；

R 1

：∵ ()3

31

4

π3

q r R ρ=-∑，∴ 312

203R E

r r ρε?

?=- ???

； r ﹥R 2：∵()33

214π3q R R ρ=-∑， ∴ 3

32132

03R R E r

ρε-=. ∴ 1

2

1

2

1

2

3

d d d d R R p p

r

R R V E r E r E r ∞

∞

=

?=++????E l

2

1

2

33

312

122

000d d 33R R R

R R R r r r r r ρρεε∞??-=+-+ ????? ()332222

1121120

22132

R R R R R R R R ρ

ε??=

-+-+-???? ()2

2210

2R R ρε=

- 10半径为R 的均匀带电球面置于真空中，其面电荷密度为σ，求 （1）球面内、外的电场强度；

（2）球面内、外的电势. 解：（1）∵ e 0

d s

q Φε=

?=

∑?

E S

当R r <时，因为球面内无电荷，∑=0q ，所以 0=球内E ；

当R r >时，因为 2

4πq R σ=?∑，故有 2

3

0R r

σε=外E r . （2）∵ d P P

V ∞

=

??

E l

当r

d 0d d =

R

r r R R R

V r r r σσεε∞

∞

=?=?+???内E r ； 当r>R 时， 2

2

200

d d r r R R V r r r σσεε∞∞=?==

??外外E r . 11如习题11用图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为q A 和q B 的点电荷，达到静电平衡后，问： ⑴ 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？

⑵ 金属球A 中的P 点处电势为多大？（选无穷远处为电势零点）

解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有

习题11用图

q B

正、负电荷分布，但净电荷为零.

(2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为，则

00d 14π4πA

A B

P O S q q S V V R a b

σεε???

==

++ ???

?

由（1）已知 0d =??

A

S S σ

故 014πA B P q q V a b ε??

=+ ??

?

例’一半径为R 的导体球原来不带电，在球外距球心为d 处放一点电荷，求球电势。若将球接地，求其上的感应电荷。

【解】由于导体球是一个等势体，故只要求得球内任一点的电势，即为球的电势。此题中球心的电势可以用电势迭加原理求出，它等于点电荷在球心提供的电势与导体球在球心提供的电势的代数和。

若导体球上的总电量为Q ，由于Q 只分布在球表面，故它在球心提供的电势为球面上各微元电荷在球心提供的微元电势的积分：

?

=

Q

R

Q R

dq 0044πεπε。

因球上原来不带电，即总电量0=Q ，故导体球在球心提供的电势为零，只有点电荷在球心提供电势：

d

q V 04πε=

若将导体球接地，则导体球总电量Q 不再为零，而

球心处电势应为零，即有：

04400=+

=

R

Q d

q V πεπε

可解得：

q d

R

Q -

=

12半径为R 1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R 2、R 3 ，如习题12用图所示，使内球带电q 、球壳带电Q ，试求：

⑴ 电势分布的表示式；

⑵ 用导线连接球和球壳后的电势分布； ⑶ 外壳接地后的电势分布.

解：（1）根据静电平衡条件，可知球壳内表面感应电荷为–q ，且均匀分布，而导体球所带电荷量q 也均匀分布在导体球表面；根据电荷守恒可知，导体球壳外表面均匀分布电荷的总电荷量为（Q + q ）.因此，静电平衡后空间电势分布可

视为三个均匀带电球面的电势叠加.

已知均匀带电球面的电势为

00()4π()

4πq

r R R

V q

r R r εε?≤?

?=?

?≥??

由此可得，1R r ≤时， 10

1231

4πq q q Q V R R R ε??

+=

-+ ???

21R r R ≤≤时， 202314πq q q Q V r R R ε??

+=-+ ???

32R r R ≤≤时， 3034πq Q

V R ε+=

3R r ≥时， 404πq Q

V r

ε+=

（2）导体连接后，导体球带电荷量q 与球壳内表面感应电荷–q 中和，导体球壳与导体球

等电势，电荷分布在导体球壳的外表面，电荷量为Q q +，由此可得

3R r ≤时， 12303

4πq Q

V V V R ε+'''===

3R r ≥时， 404πq Q

V r

ε+'=

（3）外壳接地后，外表面电荷q + Q 被中和，则为两均匀带电球面电势叠加，故

1R r ≤时， 101214πq q V r R R ε??

''=

- ???

21R r R ≤≤时， 20214πq q V r r R ε??''=- ???

2R r ≥时， 340V V ''''==

习题12用图