第六章 真空中的静电场总结

第六章 真空中的静电场

§6-1 电荷 库仑定律

5.电荷的量子化效应：到目前为止的所以实验表明，一切带电体包括微观粒子所带的电量 q ，都是某一基本电荷量的整数倍，这个基本电荷就是 e = 1.602 10-19 库仑

一个带电体带的电量 q = ne n = 1,2,3,... 只能取不连续的值，这称为电荷的量子化。 宏观带电体的带电量 q e ，准连续 二、库仑定律与叠加原理

库仑定律是两个点电荷相互作用的定律。

2.库仑定律 实验给出：k = 8.9880 10 9 N·m2/C2

121200

22014q q q q F k r r r r πε== ▲ 库仑定律适用的条件：

? 真空中点电荷间的相互作用

? 电荷对观测者静止

41πε=

k 0 —真空介电常量

2212o m /N C 1085.841

??==

-k πε

3.静电力的叠加原理

作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。

离散状态:

∑==N i i

F F 1

2004i i

i i r r q q F

πε=

连续分布:

2004r r

dq q F d πε=

?=F

d F

结论：库仑力比万有引力大得多，所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万有引力完全可以忽略不计。

§6-2 静电场 电场强度

一、电场

电荷间的相互作用是通过场来传递的 2. 静电场的对外表现：

静电场：相对于观察者静止的电荷所产生的电场称为静电场。 静电场最重要的表现有两方面：

★研究方法：

电场能量—引入电势 U

E

电场力—引入场强

二、电场强度

1.试验电荷 q 0 及条件

{

点电荷(尺寸小)

q 0 足够小，对待测电场影响小

4.场强叠加原理

设有若干个静止的点电荷q1、q2、…… qN ，它们单独存

在时的场强分别为N

E E E ,2,1，则它们同时存在时的场强为

i

N i i

i N i i N i i

r r q E q F q F E 012011004∑∑∑=======πε

三、电场强度的计算

1. 点电荷的电场强度

000

220000144ππq q F q E r r q r q r

εε==?=

特点: (1)是球对称的; (2)是与 r 平方成反比的非均匀场。

22

2. 点电荷系的电场强度

q 1

··

··

··q

i

q 2

E E i

P

×r i

点电荷 q i 的场强：

2o 4i

r i i

r e q E

i πε

=

∑

=i

i r i r e q E i 2

o

4πε

总场强：

点电荷系

场强叠加原理

电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷所组成的电荷系。

电偶极矩:

l

q

p

=q-q+

l

电偶极子的场强以及它在外电场中所受的力矩均与它的电偶极矩p 有关。

后面在将电介质时将涉及到，一个分子的正、负电荷中心不重合时，就相对于一个电偶极子。

6-3 电场线高斯定理

一、电场线

①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场强度的方向；

②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相等。

电场线密度: 经过电场中任一点，作一面积元d S ，并使它与该点的场强垂直，若通过 d S 面的电场线条数为d N ，则电场线密度S

N

E d d ＝

可见, 电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小 。

大小：

E

方向:切线方向

=电场线密度

e

d E dS ⊥

Φ=

3、电

场线的性质: 电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远） 任何两条电场线都不能相交。 静电场的电场线不闭合 4、关于电场线的几点说明

电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在； 电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; 电场线图形可以用实验演示出来。

二、电场强度通量(电通量)

定义：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为通过该曲面的电通量。用 e 表示。 (1)匀强电场中的电通量

均匀电场，平面 S 与电场强度方向垂直

均匀电场，平面 S 的 法线方向与电场强度方向成 角 (2) 非均匀电场的电通量 通过面元 dS 的电通量

S

d E d e

?=Φ??=

=

s S

E Φ

Φd cos d e

e θ??=

s

S

E Φ

d e 将曲面

分割为无限多个面元 ,由于面元很小，所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场 。 2、电通量的正负

e d c o s d ΦE S

θ=

?非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决

于面元 与 间的夹角 :

,d 0, ,d 0

2

2

e e π

π

θθ<

Φ>>

Φ<时时

电场线由内向外穿出:

电场线由外向内穿入:0,e Φ>为正 0,e Φ<为负整个闭合曲面的电通量为

=d e S

Φ??? E S

14

求均匀电场中一半球面的电通量。

E

R

O

n

n

n

n

1

S 2

S 1

1

2

S S S E dS E dS

Φ=

?=

??

?

2

2

S E dS E S ==?1

2

πS E R Φ=

三、高斯定理

1、内容 静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和 Σq i 除以 ε0 ，与闭曲面外的电荷无关．

数学表达式为:

2、静电场高斯定理的验证

① 包围点电荷的同心球面 S 的电通量

∑?==

?=n

i i

S

q

S E Φ1

e 1d ε ①包围点电荷的同心球面S 的电通量都等于

q ε②包围点电荷的任意闭合曲面S 的电通量都等于

q ε??=S

e S d E

Φ?

?=S S d r r

q 0204πε20

4S q dS R

πε=? 20

4S q dS R πε=? 22

0044q q R R ππεε=

?=

00e q >?Φ>0

0

与球面半径无关，即以点电荷 q 为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 ② 包围点电荷的任意闭合曲面 S 的电通量

对于包围点电荷q 的任意封闭曲面,

可在外或内作一以点电荷为中心的同心球面 ,使 内只有点电荷，如图所示。

由电场线的连续性可知，穿过 S 的电场线都穿过同心球面 ，故两者的电通量相等，均为 。

结论说明，单个点电荷包围在任意闭合曲面内时，穿过该闭曲面的电通量与该点电荷在闭曲面内的位置无关。 ③不包围点电荷q 的任意闭合曲面S 的电通量恒为零．

由于电场线的连续性可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。

④点电荷系的电通量等于在高斯面内的点电荷单独存在时电通量的代数和。

设 闭合曲面S 包围多个电荷q 1-q k ，同时面外也有多个电荷

q k+1-q n 利用场强叠加原理

通过闭合曲面S 的电通量为

根据③，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲面的电通量恒为0，所以

当把上述点电荷换成连续带电体时 3、关于高斯定理的说明

1

n i

i =∑

E =E 1

=d d n

e i S S i Φ=?=?∑????

E S E S

11d i i k i S k

i e q Φε===?=∑∑?? E S 0

e dq

E dS Φε=?=

???

① 高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； ② 高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；

③ 通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；

④ 高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面内的电荷确定；

⑤ 当闭合曲面上各点 时，通过闭合曲面的电通量 反之,不一定成立.

⑥ 高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。 6-4 静电场的环路定理 电势 一、静电场力作功的特点 1、点电荷电场力做功

点电荷 q 固定于原点O ，试验电荷 q 0在 q 的电场中由A 点沿任意路径ACB 到达 B 点，取微元 d l ，电场力对 q 0的元功为

∑?==

?=n

i i

S

q

S E Φ1

e 1d ε 0d A F dl q E dl

=?=? r

e r

q E 2

041πε=

在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的路径无关。 2、任意带电体电场力做功

任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加

任意点电荷系的电场力所作的功为

每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。 3、结论

在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。

静电场力也是保守力，静电场是保守场。 二、静电场的环路定理

在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为

00

22

001144r qq qq dA e dl dr r r πεπε=?= 002

001144B

A

r A B r qq qq A dr r r r πεπε??==- ????

++=21E E E 00102l l l

A q E dl q E dl q E dl =?=?+?+???

定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分，叫电场强度的环流。静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为零。 静电场的环路定理 三、电势能

电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做电势能。 静电场力对电荷所作的功，等于电势能增量的负值。 电势能的参考点选择也是任意的，若W B=0，则电场中A 点的电势能为：

若无限远处的电势能为零

结论：试验电荷 q 0 在电场中点 A 的电势能，在取值上等于把它从点A 移到到零电势能处，电场力所作的功。 四、电势 电势差 1、电势

比值 W A / q 0与q 0无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，可以称之为电势。 静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电量的比值定义

00ABC CDA 0ABC ADC d d d d d 0

A q E l q E l E l q E l E l ?

?=?=?? ???

?

?=?? ???????? +-=d 0

E l ??

＝?

=?0

l E

d ()AB

B A A B A W W W W =--=-0B

A B

A

q E dl W W ?=-?

0A A

W q E dl

=??

零势能点0A

A

W q E dl

∞=??

为电势。

电场中某点的电势，在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能。也等于把单位正电荷从该点移到无穷远处（势能为零的点)时，电场力所作的功。

当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和电势为零

3、电势差

在静电场中，任意两点 A 和点 B 之间的电势之差，称为电势差，也叫电压。

静电场中任意两点 A 、B 之间的电势差，在数值上等于把单位正电荷从点 A 移到点 B 时，静电场力所作的功。 所以，在移动电荷 q 0 的过程中，电场力所作的功为：

五、电势的计算 1、点电荷电场的电势

00

A A A A W A U E dl

q q ∞∞

===?? 0A A

W q E dl

=??

零势能点

p p

U E dl

∞=??

()000B

AB A B A

A q E dl q U q U U =?==-?

正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低； 负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。

2、点电荷系电场的电势

电场由几个点电荷q 1，q 2，…，q n 产生 点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫做静电场的电势叠加原理。 3、连续分布电荷电场的电势

4、电势的计算方法 计算电势的方法有两种： (1)利用电势的定义式

2

0044r r

q q U E dl dr r

r

πεπε∞

∞=?==

??

∑=i E E

i i i U E dl E dl E dl U =?=??∑∑∑???

＝＝04dq

dU r

πε=

4dq

U r

πε

=

?0

4l dl U r λπε=?0

4S dS

U r σπε=??04V

dV

U r

ρπε=???

(2)利用电势的叠加原理

?=?=0U p p l d E U 步骤：

(1)先算场强

(2)选择合适的路径L (3)积分(计算) 0

4dq

U r

πε

=

?步骤

(1)把带电体 →分为无限多 d q

(2)由 d q → d U

(3)由 d U → U = ? d U

典型带电体的电势

点电荷：

均匀带电圆环轴线上：

均匀带电球面： r

q U 0π4ε=

2

1

)

(π42

20x R q U +=

εr

q

U 0π4ε=

外R

q

U 0π4ε=

内