全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一）
?填空题
一个矩形的抽斗长为 24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是
在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, BC = 12cm , S AABC = 30cm ，则 AB =
在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 直接跃到 A 处，距离以直线计算，
A r
4 ?如图，所有的四边形都是正方形， 则正方形 A ， B, C, D 的面积之和为 5.直角三角形两直角边长分别为 5和12，则它斜边上的高为 ____________ O 6 ?在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲 移动的水平距离为 2米， 7 ?已知两条线段的长为 形. 所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为
2 cm O 问这里水深是 _________ m O 5cm 和12cm,当第三条线段的长为 8?—个三角形三边之比为 J 2: J 5: 73,则这个三角形的形状是 7cm , cm 时,这三条线段能组成一个直角三角 9.将一根长为24 cm 的筷子置于底面直径为 5 cm,高为12 cm 的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为 h cm,则h 的取值范围是 __________________ . 10?一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是8的长方体纸箱的 A 点沿 纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是 11.如图，在 △ ABC 中，AD 平分/ BAC , AB = AC — BD ，则/ B :/ C 的值是 12.如图，△
ABE 和^ ACD 是^ ABC 分别沿着AB, AC 边翻折180形成的, 若Z BAC =150，则NT 的度数是 二.选择题 1、若 RtLABC 中，N C =90 且 c=37,a=12，则 b=(
、35 C 、34 D ABC%角线AC,BD 交于 ) AE A 、50 B
2、 如图，平行四边形 交BC 于F,,则图中全等三角形共有（ 3. 如图，△ DAC^n ^ EBC 均是等边三角形， 、26 0,过O 画直线EF 交AD 于E ， （A ）7 对（B ）6 对（C ）5 对（D ）4 对 BD 分别与CD CE 交于点 M N,有如下结论：① △ ACE^^ 个 （B ） 2个（C ）1 个（D ） 0个 DCB ②CM = CN ③AC = DN 正确结论的个数是 （）.（A ） 3
4 .如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AO BC AD 平分/ BAC 交 BC 于 D, DEL AB 于 D,若 AB= 10,则 △ BDB 的周长等于 ______ .
5如图，直线I 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线I 的距离分别是1和2,则正方形的边长为 _—
1 ?
2 ? 3
20米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D
如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高
10, —腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为(
80 C 、40 或 360
D 、80 或 360
9.已知a 、b 、c 是三角形的三边长, 女口果满足 (a - 6)2 + J b -8+ C-10
10.正方形的面积是 2,它的对角线长为(
B 、2
C 、迈 D
3
6.等腰三角形底边上的高为
A 、56 8，周长为32，则三角形的面积为(
B 、48
C 、40 )
D 、32 8.下列各组数中, 能构成直角三角形的是(
A 、 4， 5， 6
B 、 1, 1, 72
C 、6, 8, 11
D 、5, 12, 23 A 、底与边不相等的等腰三角形
B 、等边三角形
C 、钝角三角形
D 、直角三角形 11 一艘轮船以16海里/小时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船 12海里/小时从港口 A 出发
向东南方向航行，离开港口 3小时后，则两船相距( A 、36海里 B 、48海里C 60海里 D 、84海里 三.简答题 1、如图，在四边形 ABCD 中, BO BA,A? CD , BD 平分^ ABC , 求证：N A +N C =180° C
2 .小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为 形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？ 48 m ，其对角线长为 10m 为建栅栏，要计算这个矩
9
3、如图、，CD 是 AB 上的高，AC=4,BC=3, DB =—
5
(1)求AD 的长
(2) LABC 是直角三角形吗？请说明理由
C
7 .已知等腰三角形的腰长为 B 、
A 、40
=0,则三角形的形状是(
4、如图、四边形ABCD中, AB = AD=6, N A=60°NADC=15O°已知四边
形的周长为30,求S四边形ABCD
5.如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆, F方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道
6.如图，△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形， A C, D三点在同一直线上，连结BD, AE,并延长AE交BD
于F.
B
(1)求证：△ ACE^A BCD
(2)直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论.
7.已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=45°, CD丄AB 于D , BE 平分/ ABC，且BE 丄AC 于E, CD相交
于点F, H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
(!)求证：BF=AC;
1
⑵求证：CE=—BF ;
2
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。
9.已知如图，等腰 Rt △ ABC 中,
点，且 BE=AF.
求证：DE 丄DF
10.正方形ABCD ，E 为BC 上一点，/ AEF 为直角，CF 平分/ DCG 。 ⑴如图（1），当点E 在线段BC 上时，求证：AE=EF
⑵如图（2）,当点E 在BC 的延长线上时，试判断 AE=EF 是否依然成立，并说明理由。
11.如图，已知：点C 是/FAE 的
的延长线上，点 D 在AF 上。
AB = 21 , AD = 9，BC = DC = 10。 求AC 的长。
&如图，△ ABC 中，AD 平分/ BAC
DGL BC 且平分BC, DE L AB 于E , DF 丄AC 于F. (1)说明 BE=CF 的理
由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE 、 BE 的长.
F
/ BAC=90o ，点D 是BC 边的中
平分线AC 上一点，CE 丄AE , CF 丄AF , E 、F 为垂足。点B 在
AE
A
C
D
F
E C
A F
D G
C E
三角形、勾股定理知识点整理
全等三角形、勾股定理教案
从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好
勾股定理全章复习与小结
第17章勾股定理小结与复习 一、课件说明 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题． 二、学习目标： 知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观： 通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。 三、学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用． 四、教学过程： （一）创设情境引出课题 ;
问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形） （背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．） （二）层层提问，讲练相融 追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为． 温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。 基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
勾股定理单元测试基础卷试题
勾股定理单元测试基础卷试题 一、选择题 1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ? ∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 4．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ） A ．6 B ．6 C ．42 D ．265．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一 边的长可能为（）
A ．22 B ．32 C ．62 D ．82 6．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( ) A ．(－2，23) B ．(－2，－23) C ．(－2，－2) D ．(－2，2) 7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ） A ．49 B ．25 C ．12 D ．10 8．如图，分别以直角ABC ?三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1 S =（ ） A ．9 B ．5 C ．53 D ．45 9．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c = D ．11,12,13a b c === 10．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题 11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理 一．勾股定理证明与拓展 模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？ 例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.
变式2：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1=3，S 3=9，求S 2. （变式2） （变式3） 变式3：如图，Rt △ABC 的面积为10cm 2 ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． （难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC ＋BC ＝6，空白部分面积为 10.5，则阴影部分面积 模型二 外弦图 D C B A 内弦图 G F E H 例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________;
全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一） 一．填空题 1.一个矩形的抽斗长为2４cm ,宽为7c ｍ,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . ２．在Rt △A ＢC 中，∠C ＝９0°，BC ＝12cm ,Ｓ△ABC ＝3０cm 2 ,则AB ＝ ． 3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的Ａ处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高＿_＿__＿_______＿＿__＿____＿__米。 4．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方 形A ，B,C ，D 的面积之和为__＿___＿_＿__cm ２ 。 5．直角三角形两直角边长分别为5和１2，则它斜边上的高为_＿_＿_＿_＿__。 ６.在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为２米，问这里水深是________m 。 7.已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 8.一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 ． 9．将一根长为2４㎝的筷子置于底面直径为５㎝，高为１2㎝的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是＿_____＿__＿＿＿_＿__. 10.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到Ｂ点,那么它所行的最短路线的长是__＿__＿_＿____. 11.如图,在△ABC 中，ＡD 平分∠BA Ｃ,A Ｂ＝AC -BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。 12.如图,ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的,若 150BAC ∠=，则θ∠的度数是 . 二．选择题 １、若Rt ABC 中，90C ? ∠=且c=３7,a ＝12,则b=（ ) A 、50 B 、35 Ｃ、34 D 、26 2、如图，平行四边形AB ＣD 对角线AC,BD 交于O,过O 画直线EF 交ＡD 于E ， 交BC 于F ，，则图中全等三角形共有( ） (A ）7对 (B ）6对 (C)5对 （Ｄ)4对 3.如图，△DAC 和△ＥＢＣ均是等边三角形,ＡＥ、B Ｄ分别与C Ｄ、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△D ＣB ； ② CM ＝ＣＮ；③ ＡC=DN 。正确结论的个数是( )．（Ａ) 3个 (B ）2个 (Ｃ)1个(Ｄ）0个 ４.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，AC ＝BC ,ＡD 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于D ,DE ⊥A Ｂ于D ,若A Ｂ=1 A B C D 7cm D B C A 第3题 A B A C D A E B θ
第一单元 勾股定理单元检测卷(含答案)
第一单元 勾股定理单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图，正方形AB CD 的边长为1，则正方形ACEF 的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．三角形的三边长，，满足，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．5 5．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为，，，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．∠A +∠B =∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠ C =1∶2∶3 C ． D ．∶∶=3∶4∶6 6．若直角三角形的三边长为6，8，m ，则的值为（ ） A ．10 B ．100 C ． 28 D ．100或28 7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到斜边AB 的距离是（ ） 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm a b c ()2 2 2a b c ab +=+a b c 2 2 2 a c b =-a b c 2 m
B 169 25 C B A 5cm A ． B ． C ．9 D ．6 8．如图，在Rt△ABC 中，∠B =90°，以AC 为直径的圆恰好过点 B ．若AB =8，B C =6，则阴影部分的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ） A ．90 B ．100 C ．110 D ．121 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．如图，字母B 所代表的正方形的面积为 ． 36 5 12 5 100π24-100π48-25π24-25π48-③' ④' ④ ③ ②' ② ①
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理教学设计与教学反思
勾股定理教学设计 富裕县逸夫学校任晓娟 【教学目标】 一、知识目标 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程. 2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 二、数学思考 在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想. 三、解决问题 1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 四、情感态度目标 1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐 步体验数学说理的重要性。 2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识 和探究精神。 【重点难点】 重点：探索和证明勾股定理。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 【设计思路】 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生探究与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。 【教学流程安排】 活动一：了解历史，探索勾股定理 活动二：拼图验证并证明勾股定理 活动三：例题讲解，巩固练习
活动四：反思小结，布置作业 活动内容及目的：①通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。 【教学过程设计】 【活动一】 (一)问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的， 西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三， 股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 （1）现在请你一观察一下，你能发现什么？ （2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？ （二）师生行为 教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。 学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 （三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间， 发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相 图 A B C A B C B C A
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标； （2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论； （3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON． 解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC， 又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ， ∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1）， 由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2； （2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点， ∴P（﹣，）， 由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=． 假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积， 则BN?=×， ∴BN=，ON=， ∵BN＜BM， ∴点N在线段BM上， ∴N（﹣，0）． 点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 2．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0） （1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。 分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值； （2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．
八年级数学勾股定理单元测试题含答案
勾股定理单元测试题 1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（） A ：26B ：18C ：20D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5、如图5，一棵大树在一次强台风 中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为 A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 6、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm 2,则斜边长为（）. （A ）80cm(B)30cm(C)90cm(D120cm. 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点30°图
折痕为EF，则△ABE的面积为（） A、3cm2 B、4cm2 C、6cm2 D、12cm2 8、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（） A、 、、3 9、在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（） （A）42(B)32(C)42或32(D)37或33. 10、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（） A、6 B、7 C、8 D、9 11、若△ABC中，13,15 AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC的长为（） A、14 B、4 C、14或4 D、以上都不对 12、直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（） （A）121(B)120(C)132(D)以上答案都不对 二、填空题 1、若一个三角形的三边满足222 c a b -=，则这个三角形是。 2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为 60cm，对角线为100cm，则这个桌面。（填“合格”或“不合格”） 3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
勾股定理思维导图题型总结归纳
（一）勾股定理 2 2 2 1：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长 分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” 要点诠释： 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关 系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应 用： 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2，a c2 b2） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关 系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的 问题 3：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方 法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股 定理 常见方法如下：b 方法 1 4S S S 4 ab (b a) 4S S正方形EFGH S正方形ABCD，2 22 c ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积． a 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c 2 2 2 2ab c 2 2 2 2 2 2 大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以 a2 b2 c2 S梯形 2(a b) (a b)，S梯形2S ADE S ABE 1 2 ab 12 c 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”
4：勾股数
B C ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称 a ，b ， c 为一组勾股数 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41 等 22 2n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n 为正整数） 5、注意： （1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 （2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的 题目。 3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主 要错误 （4）推理格式：∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. （或 a 2+b 2=c 2） 二）勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为： a 、 b 、 c ，且满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形” 来 确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ； （2）验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形 （若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若 c2 北师版八年级数学第1章 勾股定理 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体 (第6题)A B D C 八年级下勾股定理测试题 一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学 的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分 别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是 ________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝ ． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长 为 ； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 （第12题） 307米5米最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米， 则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。 二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（ ） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○，则（ ） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( ) A 、 直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 18、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消 防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是 （ ） 19.9勾股定理（1） 吴淞实验学校徐琳教学设计说明 本节课是义务教育课程标准上教版教科书八年级(上)第十九章《几何证明》第九节第1课时. 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 教学目标 1.理解用面积割补方法证明勾股定理的思路； 2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习． 3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系． 教学重点及难点 面积割补法证明勾股定理 教学过程设计 一．创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大 会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题） 意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情. 二．探索发现勾股定理 1．探究活动一： 内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察： （2）引导学生从面积角度观察图形： 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫. 效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二： 勾股定理单元测试题及答案 一、选择题 1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、 B C 、 D 、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△AB E 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） 精心整理 第18章勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① ② 定理 常见方法如下： 方法一：4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ，1 4( 2 ab b ?+- 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S= 大正方形面积为22 () S a b a =+=+ 所以222 a b c += 方法三：1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形 ，2 2 22 ab c ?+，化简得 证 ３. 它只适用于直角三角形，对于锐角三角 因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４. ① 在ABC ?中，90 C ∠=?，则c，b=，a= ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 b a 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1 作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为 。 注：逆命题与勾股定理逆定理 可以判断真假的陈述句叫做命题， 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 23（正确） 4（正确） 思路点拨：解析：1. 2. 3.?（正确） 4.（正确） 总结升华： 6.74页 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
八年级数学下勾股定理单元测试题带答案
勾股定理及教学反思
勾股定理单元测试题及答案67652
勾股定理知识点总结归纳