4.1 函数和它的表示法
第4章一次函数
4．1函数和它的表示法
4．1.1变量与函数
1．了解常量、变量的概念．
2．了解函数的概念．
3．确定简单问题的函数关系．
重点
借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．
难点
怎样理解“唯一对应”．
一、创设情境，导入新课
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
你能举出一些类似的实例吗？
二、合作交流，探究新知
1．气温问题：上图是北京春季某一天的气温T 随时间t 变化的图象，看图回答：
(1)这天的8时的气温是____℃，14时的气温是____℃，最高气温是____℃，最低气温是____℃；
(2)这一天中，在4时～12时，气温( )，在16时～24时，气温( )．
A ．持续升高
B ．持续降低
C ．持续不变
思考：
(1)天气温度随____的变化而变化，即T 随____的变化而变化；
(2)当时间t 取定一个确定的值时，对应的温度T 的取值是否唯一确定？
2．当正方形的边长x 分别取1，2，3，4，5，6，7，…时，正方形的面积S 分别是多少？
3．某城市居民用的天然气，1 m 3收费2.88元，使用x (m 3)天然气应缴纳费用y ＝2.88x ，
当x ＝10时，缴纳的费用为多少？
思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？
在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化(按照某种规律变化)，变化的量叫做变量；有些量的值始终不变(例如正方形的面积……)．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个．
教师根据学生的回答，在黑板上板书：
时间——气温
正方形边长——正方形面积
天然气费用——天然气体积
学生们会得出?????都有两个变量x ，y 都是变量y 随着x 的变化而变化当x 取一个确定值的时候，y 只有一个 值与之对应
师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念．
在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 总有唯一的值与它对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．
三、运用新知，深化理解
例1 分析并指出下列关系中的变量与常量：
(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；
(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之
间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．
解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，
变量是S ，R ；
(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之
间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，其中常量是12
g ，变量是h ，t ；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .
【方法总结】常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
例2 下列说法中正确的是( )
A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数
B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数
C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数
D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数
【分析】A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x 3
；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，
故y 不是x 的函数；C ，D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有
两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.
【方法总结】判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．
例3 水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．
(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
【分析】(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P112练习．
2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
1．常量和变量的概念
2．函数的概念
3．函数关系式
4．自变量的取值范围
5．函数值
六、布置作业
1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．
2．教材P116习题4.1第1，2，6，7题．
4．1.2函数的表示法
1．了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
2．进一步理解函数值的概念．
3．会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．
重点
认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法．
难点
函数表示方法的应用．
一、创设情境，导入新课
问题 1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元/时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表后回答下列问题：
(1))
(2)能用t的代数式来表示m的值吗？(能，m＝16t)
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．
问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离(米)与助跑的速度(米/秒)有关．根据经验，跳远的距离s＝0.085v2(0 (1)在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？(常量0.085，变量v，s)；(2)计算当v 分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果精确到0.01)？(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗？ 教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应． 二、合作交流，探究新知 函数的表示法：①解析式法：问题1，2中，m＝16t和S＝0.085v2这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析式法． ②列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．(如教材P110页“动脑筋”问题2表示的是正方形面积与边长的函数关系) ③图象法：我们还可以用图象法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系． 解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法． 教师指出：(1)解析式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视． (2)函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化． 若函数用解析式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值．例如函数m＝16t，当t＝5时，把它代入函数解析式，得m＝16×5＝80(元)．m＝80叫作当自变量t＝5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来的，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如正方形面积与边长的函数关系中，当x＝2时，函数值S＝4；当x＝6时，函数值S＝36. 若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系 中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如当x＝50时，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是当函数值x＝50时的函数值，即W＝399(焦)． 三、运用新知，深化理解 例1 有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题： (1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？ (2)当所挂重物为x克时，用h表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式； (3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？ 【分析】(1)根据挂重物每克弹簧伸长0.5厘米，可知要伸长5厘米需挂重物质量； (2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式； (3)根据题意求出函数值，可得所挂重物质量． 解：(1)5÷0.5×1＝10(克)， 答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克； (2)函数的表达式为h＝10＋0.5x(0≤x≤50)； (3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30. 答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克． 【方法总结】列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等． 例2 如图所示，修建高速公路的过程中，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y(千米)与时间x(天)之间的函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D. 【分析】∵y表示未修建的公路里程，x表示时间，∴y由大变小，∴选项A、D错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，线段与x轴夹角变大．∴选项C错误，选项B正确．故选B. 【方法总结】在选择合适图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线．变化的趋势是快还是慢，可用与x轴的夹角表示出来． 例3 如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，请根据图象回答下列问题： (1)汽车共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？ (4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？ 解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)． (2)由横坐标看出，2－1.5＝0.5(小时)，汽车在行驶途中停留了0.5小时． (3)由纵坐标看出汽车到达D点时的路程是120千米，由横坐标看出到达D点时的时间是3小时，由此算出平均速度120÷3＝40(km/h)；由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出，4.5－3＝1.5(小时)，汽车返回家用了 1.5小时，由此算出平均速度是120÷1.5＝80(km/h)． (4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时． 【方法总结】图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等． 例4 一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1 km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)． (1)写出y与x的关系式； (2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？ 【分析】(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值． 解：(1)y＝－0.6x＋48； (2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米． 【方法总结】解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 四、课堂练习，巩固提高 1．教材P115练习． 2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容． 五、反思小结，梳理新知 1.我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法．并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化． 其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下： 图象特征函数变化规律 由左至右曲线呈上升状态．y随x的增大而增大． 由左至右曲线呈下降状态．y随x的增大而减小． 曲线上的最高点是(a，b)．x＝a时，y有最大值b. 曲线上的最低点是(a，b)．x＝a时，y有最小值b. 2．能够分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想． 六、布置作业 1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”． 2．教材P116习题4.1第3～5题． 青岛版初中数学 重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！ 5.1 函数与它的表示法（2） 一、教与学目标： （1）进一步加深理解函数的概念．会根据简单的函数解析式和问题情境确定自变量的取值范围． （2）能利用函数知识解决有关的实际问题． 二、教与学重点难点： 重点就是确定函数关系式中自变量的取值范围； 难点是确定实际问题情境中自变量的取值范围． 三、教与学过程： （一）、情境导入： 列车以90千米/小时的速度从A 地开往B 地 （1）填写下表： 行驶时间x 小时 1 2 3 4 行驶路程y 千米 （2）写出y 与x 之间的函数关系式； （3）x 可以取全体实数吗？ （二）、探究新知： 1、问题导读： （1）在上一节课的三个问题中，自变量可以取值的范围是什么？ （2）对于自变量在它可以取值的范围内每取一个确定值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？ （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴交流． （4）完成下列问题： 在同一个__________中，有两个______x ，y ．如果对于变量x 在可以取值的范围内每取一个_________的值，变量y 都有一个_______的值与它对应，那么就说______是______的函数． 2、合作交流： （1）求下列函数中自变量x 可以取值的范围： ①23-=x y ； ②1 21 +=x y ； ③1-=x y ； ④x x y 53-= ． 5 （2）一根蜡烛长20cm ，每小时燃掉5cm ． ①、写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与点燃时间x （h ）之间的函数解析式； ②、求自变量x 可以取值的范围； ③、蜡烛点燃2h 后还剩多长？ 3、精讲点拨： （1）、确定解析式中自变量的取值范围，主要考虑以下几种情况： 解析式为整式，自变量的取值范围是全体实数； 解析式为分式，要考虑分母不能为零； 解析式为二次根式，要考虑被开方数应为非负数． （2）、确定函数自变量可以取值的范围时，必须使函数解析式有意义，在解决实际问题时，还要使实际问题有意义． （三）、学以致用： 1、巩固新知： 8页练习1、2、3题． 2、能力提升： 课本第8页挑战自我 （四）、达标测评： 1．（呼和浩特市）函数3 1 += x y 中，自变量x 的取值范围_________________. 2．（毕节）函数1 2 -+=x x y 中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥-2 B ．x ≥-2且x ≠1 C ． x ≠1 D ．x ≥-2或x ≠1 3．在一个半径为10m 的圆形场地内建一个正方形操场．设正方形边长为x （m ），面积为y （m 2），则y 与x 的函数解析式是_______________，自变量的取值范围是___________． 1.2.2函数的表示法（1）（教学设计） 教学目的： （1）明确函数的三种表示方法； （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识． 教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 教学过程： 一、复习回顾，新课引入 复习提问：函数的定义及其三要素是什么？ 函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、师生互动，新课讲解 这三种表示法各有什么优、缺点？ 在学生回答的基础上师生共同总结: 列表法图像法解析法 定义用表格的形式把两个变量间的 函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函 数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变 量的解析式表示出来的方法 优点不必通过计算就能知道两个变 量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局 部变化规律，进而可以预测 它的整体趋势 能叫便利地通过计算等手段研究 函数性质 缺点只能表示有限个元素的函数关 系 有些函数的图像难以精确 作出 一些实际问题难以找到它的解析 式 函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例题选讲： 例1（课本P19例3）某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ． 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略） 注意： ○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； ○2解析法：必须注明函数的定义域； ○3图象法：是否连线； ○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 例2（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y = 5．1 函数与它的表示法（第2课时）教学案 一、教与学目标： （1）．进一步加深理解函数的概念．会根据简单的函数解析式和问题情境确定自变量的取值范围． （2）．能利用函数知识解决有关的实际问题。 二、教与学重点难点： 重点就是确定函数关系式中自变量的取值范围； 难点是确定实际问题情境中自变量的取值范围。 三、教与学方法：合作交流，展示共享 四、教与学过程： （一）、情境导入： 列车以90千米/小时的速度从A 地开往B 地 （1）填写下表： （2）写出y 与x 之间的函数关系式； （3）x 可以取全体实数吗？ 让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象。 （二）、探究新知： 1、问题导读： （1）、在上一节课的三个问题中，自变量可以取值的范围是什么？ （2）、对于自变量在它可以取值的范围内每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？ （3）、由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴交流。 （4）、完成下列问题： 在同一个__________中，有两个______x ，y ．如果对于变量x 在可以取值的范围内每取一个_________的值，变量y 都有一个_______的值与它对应，那么就说______是______的函数． 2、合作交流： （1）．求下列函数中自变量x 可以取值的范围： ①23-=x y ； ②121+= x y ； ③1-=x y ； ④x x y 53-= ． （2）．一根蜡烛长20cm ，每小时燃掉5cm ． ①、写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与点燃时间x （h ）之间的函数解析式； ②、求自变量x 可以取值的范围； ③、蜡烛点燃2h 后还剩多长？ 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+ 2.1.2 函数的表示方法(一) 【学习要求】 1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数； 2.会根据具体条件求函数的解析式； 3.会在不同情境中用不同形式表示函数． 【学法指导】 学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？ 探究点一函数的表示方法 问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？ 答：解析法、图象法、列表法． 问题2列表法是如何定义的？ 答：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 问题4 图象法是如何定义的？ 答：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法． 问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？ 答：如果在函数y＝f(x) (x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，这种方法叫做解析法．(也称为公式法．) 问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？ 答：(1)用解析法表示函数的关系．优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算；缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算. (2)用列表法表示函数关系．优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便；缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律． (3)用图象法表示函数关系．优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化；缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值． 例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)． 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}． 1．2.2函数的表示法第一课时 第一课时函数的表示方法 [读教材·填要点] [小问题·大思维] 1．任何一个函数都能用解析式表示吗？ 提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析式表示． 2．已知函数f(x)如下表所示： x 123 4 f(x)－3－2－4－1 则f(x)的定义域是什么？值域是什么？ 提示：由表格可知定义域为{1,2,3,4}，值域为{－1，－2，－3，－4}． 3．如何判断一个图形是否可以作为函数图象？ 提示：任作垂直于x轴的直线，如果图形与此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数图象；若图形与直线存在两个或两个以上的交点，则此图形不可作为函数的图象．如图，由上述判断方法可得，(1)可作为函数的图象，(2)不可作为函数的图象，因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点． 待定系数法求函数解析式 [例1] 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )． [自主解答] ∵f (x )为二次函数， ∴可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝c ＝2. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋2. f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2 ＝a (x 2＋2x ＋1)＋bx ＋b ＋2 f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝x －1 ∴????? 2a ＝1，a ＋b ＝－1 得??? a ＝1 2， b ＝－3 2 ∴f (x )＝12x 2－3 2 x ＋2. 若将例1中“f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1”改为“f (1)＝2，顶点坐标为(1 2，－3)”，求 f (x )． 解：设二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) ∵顶点坐标为(1 2，－3) 则h ＝1 2，k ＝－3 ∴f (x )＝a (x －1 2)2－3 又∵f (1)＝2， ∴2＝a (1 2 )2－3. 1.2.2 函数的表示法 第一课时函数的表示法 【选题明细表】 1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( D ) (A)y=2x (B)y=2x(x∈R) (C)y=2x(x∈{1,2,3,…}) (D)y=2x(x∈{1,2,3,4}) 解析:题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D. 2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( C ) (A)这天15时的温度最高 (B)这天3时的温度最低 (C)这天的最高温度与最低温度相差13℃ (D)这天21时的温度是30℃ 解析:这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14℃,故C错. 3.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是( A ) (A)f(x)=x2+6x (B)f(x)=x2+8x+7 (C)f(x)=x2+2x-3 (D)f(x)=x2+6x-10 解析:法一设t=x-1,则x=t+1, 因为f(x-1)=x2+4x-5, 所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,f(x)的表达式是f(x)=x2+6x. 法二因为f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1), 所以f(x)=x2+6x, 所以f(x)的表达式是f(x)=x2+6x. 故选A. 4.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( A ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 解析:对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确. 5.已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=-f(x)的图象一定过点( D ) (A)(2,-2) (B)(2,2) (C)(-4,2) (D)(4,-2) 解析:因为函数y=f(x+1)的图象过点(3,2), 所以f(4)=2, 函数的概念与表示 知识领航 1．函数的定义 一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数() f x和它对应，那么就称(): f x A B →为从集合A到集合B的一个函数，记作：(), y f x x A =∈. 注意：函数概念中的关键词 (1) A，B是非空数集. (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应. 2. 函数的定义域、值域 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫做函数的值域. 3. 函数的三要素 定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数 如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念 设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定： （1）满足不等式a x b ≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,] a b. （2）满足不等式a x b <<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,) a b. （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,) a b，(,] a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点. 实数R可以用区间表示为(,) -∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,) a+∞，(,) a+∞，(,]b -∞，(,)b -∞. 6. 函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法. 用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7.求函数的解析式的方法 （1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知(()) f g x的解析式,求() f x. （3）消元法: 适用于同时含有() f x和1() f x ，或() f x和() f x-. 高一数学1.2.2函数的表示法（二）教案 【课型】新授课 【教学目标】 （1）了解映射的概念及表示方法； （2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。 【教学重点】求函数的解析式。 【教学难点】对函数解析式方法的掌握。 【教学过程】 一、复习准备： 1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应； 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？ 3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。 二、讲授新课： （一）映射的概念教学： 定义： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。记作： （四）、归纳小结： 本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。 （五）、作业布置： 1．课本P24习题1.2B组题3，4； 2．阅读P26 材料。 1.2.2函数的表示法（三） 【课型】新授课 【教学目标】 （1）进一步了解分段函数的求法； （2）掌握函数图象的画法。 【教学重点】函数图象的画法。 【教学难点】掌握函数图象的画法。。 【教学过程】 一、复习准备： 1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。 2.讨论：函数图象有什么特点？ 四、归纳小结： 12．1函数 第一教时 教学目标 1、通过直观感知，领悟常量、变量、函数的意义。 2、了解函数三种表示方法中的列表法和解析法 教学重点、难点 1、重点：理解函数的意义，并会根据具体问题探究相应的函数关系式 2、难点：对函数意义的准确理解 教学过程 一、创设情境，导入新课 导语：注意观察情境图，并引导学生思考情境图中的热气球是怎样运动变化的？图下方的表格以有等式“h=30t+1200”表达的是怎样的含义？ 二、合作交流、解读探究 问题1、如图13-1，用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1200m 处的某地上升空，它上升后到达的海拔高度hm 与上升时间tmin 的关系记录如下表： （引导学生观察课本P22图13-1） （1）观察上表，热气球在升空的过程中平均每分上升多少米？ （2）你能写出表达式上升后到达的海拔高度h 与上升时间t 的关系式吗？ （h =30 t +1200） 问题2：图13-2是S 市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线。 （引导学生观察图13-2） 看图回答 （1）任意给出这天中的某一时刻X ，能找到这一时刻的负荷ymw （兆瓦）是多少吗？ （2）这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？ （3）S 市规定电费实行分时计价：正常用电时段（6:00-22:00）的电价为0.61元/（kw ·h ），低谷用电时刻段（22:00-次日6:00）的电价为0.30元/（kw ·h ），你知道其中的道理吗？ 问题3：汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后的仍将滑行一段距离才能停住，刹车距离是分析事故原因的一个重要因素。某型号的汽车在平整路面上的刹车距离Sm 与车速vkm/h 之间有下列经验公式： 2562 v s 当刹车时速V 分别是40、80、120 km/h 时，相应的滑行距离S 分别是多少？ 问题4：为加强公民的节水意识，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过7 m3时，每立方米收费1元，并加收0.2元的污水处理费；超过7 m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的污水处理费，如果设某户每月用水量为X m3，应缴水费y 元。 问题1中，热气球的上升速度在上升速度过程中的始终保持不变（取值一直为50 m / min ）， 函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值； （2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? + 函数的概念及表示方法 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（ ） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（ ） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是（ ） （1）x x y -+-= 12可以表示函数 （2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数 （4）12=+y x 可以表示函数 A 、 （2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（ ） （1） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 （2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数 （3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、 （1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立 的是（ ） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向 平移 个单位，再向 平移 个单位（ ） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（ ） 《函数与它的表示法》教案 (第1课时) 教与学目标 (1)通过实例，让学生进一步了解函数的概念和函数的三种表示方法：解析法．列表法．图像法． (2)能够恰当地运用函数的三种表示方法解决一些实际问题，初步培养将实际问题转化为数学问题的能力． 教学重、难点 重点就是函数的三种表示方法； 难点是用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系. 教学过程 (一)、情境导入 气温随着时间的变化而变化；在匀速运动中，路程随着时间的的变化而变化.你还记得气温和时间、路程和速度这两个变量之间是什么关系吗？ 你还记得什么是函数吗？ 在现实生活中，函数关系是处处存在的.你知道表示函数关系的方法通常有哪几种吗？ 利用媒体手段，向学生展示七下教材中气温随时间的变化而变化的曲线图及一辆匀速行驶的汽车，让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象. (二)、探究新知 1、问题导读 (1)完成教材第4页的观察与思考题． (2)用来表达函数关系的数学式子叫做______________或_____________．用数学式子表示函数的方法叫做___________．用表格表示函数关系的方法，叫做__________．用图象表示函数关系的方法，叫做_____________． 2、合作交流： (1)你能分别举出用三种方法表示函数的例子吗？ (2)你认为用解析法．列表法和图像法表示函数关系各有哪些优点和不足？ (3)用描点法画函数图象时用到了函数关系的哪几种表示方法？ 3、精讲点拨 (1)思考：在每个问题中，哪是自变量；谁是谁的函数；当自变量的值确定后是否都相应地确定一个函数值；函数关系是用什么方式表示的. 5.1函数与它的表示法(1) 教材分析： 函数的三种表示方法有利于学生理解作函数图象的三个步骤．此外，在图象法的认识中，学生初步学习了从图象中获得信息，为后面的学习做了准备． 学生分析： 函数的初步知识学生在七年级已经学过，本节课在此基础上继续引导学生进一步认识 函数的三种表示方法． 学习目标： 知识与技能：1、通过实例了解函数的三种表示法. 2、能根据三种表示方法的优缺点确定不同的表示方法. 过程与方法：经历探索函数的三种表示方法，进一步发展学生的观察、归纳能力；让学生接 触并解决一些现实生活中的问题． 情感态度和价值观：通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数 学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神． 学习重难点： 重点：函数的三种表示方法. 难点：根据具体情境确定简单的函数表示方法. 课前准备 教具准备 PPT课件 教学过程： 情景导入： 同学们，你还记得什么是函数吗? 在现实生活中，函数关系是处处存在的．你知道表示函数关系的方法有哪几种吗?你能 举出一些例子吗? 【设计意图】： 教师启发学生说出现实生活中遇到的函数的例子，鼓励学生多发言，使学生意识到函数 其实在我们的生活中是处处存在的． 知识回顾: 1．在某一问题中，保持的量叫常量，可以取的量，叫做变量． 2．函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有______与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫做x=a时的函数值． 【设计意图】： 回顾七年级所学函数的初步知识有利于本节课的学习． 合作探究一: 函数的三种表示方法 阅读课本第4－5页，“观察与思考”讨论：函数的三种表示方法是什么? 归纳：函数的三种表示方法是图象法、列表法、解析法． 【设计意图】： 学生观察例子后可以小组合作，试着用语言总结函数的表示方法，活动中要注意学生是 否积极参与，培养学生的参与意识． 合作探究二: 函数不同表示方法的特点 小组合作交流，各抒己见，只要有道理，都要给予肯定，这样可以锻炼学生的发散思维．归纳：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势， 所以常用来研究函数的性质和变化趋势．不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函值．列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的 函数值．不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值． 解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值．不足之处是不够形象直观，而且不是每一个 函数都可以写出它的表达式． 当堂检测： 1．小明今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃 早餐用了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程 的是（） 2．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李 华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信 息可知，下列结论中正确的是（） A．李华先到达终点B．弟弟的速度是8米／秒 C．弟弟先跑了10米D．弟弟的速度是10米／秒 函数的概念与函数收敛的定义 1、 在同一个自然现象和技术过程中，往往有几个同时变化的变量，而这几个变量并不是孤立的存在，而是相互联系并遵循一定的变化规律。 定义： 设x 和 y 是两个变量，D 是给定的一个数集，如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 为x 的函数,记作：Y=f(x) 数集D 称为函数y 的定义域。 当∈D 时，与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。当x 取遍x∈D 的各个数值时，对应的函数值全体组成的集合 0x 0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。 2、 定义1-1：数列收敛的定义： 若A x n n =∞→lim {亦称极限 n x 存在； 收敛；否则，称发散}： n x n x ?ε（无论其多么小）>0,?正整数N，当n>N 时，有 ε0,?正数X,当x>X 时， ε0，?正数δ>0,当 δ （1） 有界性 （2） 单调性 （3） 奇偶性 图形关于Y 轴对称： )()(x f x f =? ……偶函数 曲线关于原点轴对称： )()(x f x f ?=? ……奇函数 函数及其表示方法 一、目标认知 学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号)(x f y =的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法． 二、知识要点梳理 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y =，x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a ≤x ≤b}=[a ，b]； ； ； . 函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合Ｂ中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称 f:Ａ→B为从集合A到集合Ｂ的一个函数。 例１. 下列从集合A到集合Ｂ的对应关系中,能确定y是x的函数的是（ ) ①｛x x∈Ｚ},{y y∈Z}，对应法则f：x→ 3 x; ②{ｘｘ＞0∈R｝, {y y∈R},对应法则ｆ：x→2y＝3ｘ; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是（ ) ①②③④ 变式２. 下列式子能确定y是ｘ的函数的有（) ①22 x y+=2 1= Ａ、0个Ｂ、１个 C、2个 D、3个变式3．已知函数（x)，则对于直线(ａ为常数),以下说法正确的是（） A.(x）图像与直线必有一个交点（x）图像与直线没有交点 (x）图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数ｙ=f(ｘ）,以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同 A ．1个 B ．2个 C.３个 Ｄ.4个 变式５．设集合M ＝｛0≤x≤2}，N ＝{０≤ｙ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合Ｍ到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B ．①②③ Ｃ.②③ D.② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例２． 下列哪个函数与相同( ） ①. x ②.y = ③． 2 y = ④ ⑤.33x y =；⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A ． y = B ． y =-y =- D ． y x = 变式２. 下列各组函数表示相等函数的是( ） A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（ｘ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3． 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ 14.2函数的表示法（第一课时） 学习目标：１．理解表示函数的解析法与列表法． ２．了解两种表示方法的优缺点． 3．能按要求表示一些简单函数 学习重点：认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点 学习难点：能按具体情况选用适当方法 学习内容 一、课前学习：1）n 表示多边形的边数，m 表示多边形的内角和。 由表可看出，三角形内角和为180°，边数每增加1条，?内角和度数就增加180°．故此m 、n 函数关系可表示为： 。 2）判断下列变量是否存在函数关系，如果存在用式子来表示，并叙述定义域： 一根弹簧原长12cm ，它所挂的重量不超过10kg ，并且挂重1kg 就伸长1.5cm ，那么挂重后弹簧长度y （cm ）与挂重x （kg ）间是否存在函数关系：______________________________ 二：课上探究基本学习内容(看书P6) （一）解析法 1、解析式：像上面两题这样，用含有表示_________的代数式表示_________的式子叫做函数的解析式。 2、解析法：用__________表示___________的方法称为解析法 利用函数的解析式，既可以由定义域内的任意一个自变量的值求出相应的函数值，也可以由某一个确定的函数值求出相应的自变量的值。 例1、 已知两个函数解析式分别是y =2x -5 y = 2 1x 2 （1） 当x =-4时，分别求出这两个函数值； （2） 当这两个函数值都为y =18时，自变量x 分别取什么值？ 例2、已知x 、y 分别为自变量和因变量，确定下列函数解析式： （1）y =k x 中，当x =1时，y =4 （2）y =ax 2中，当x =1时，y =4 （3）y = x k 中，当x =1时，y =4 函数解析式的特点与作用：1、二元方程；2、可以利用方程思想求值；3、能看出对应的函数关系．青岛版初中数学九年级下册《函数与它的表示法(2)》参考教案
1.2.2函数的表示法(1)(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)
函数的概念与表示法
青岛版九年级下数学教案5.1函数与它的表示法(第2课时)
高一数学函数的概念及表示方法
函数的基本概念及表示法
(一)函数的表示方法教案
人教新课标版数学高一-人教A版必修一 函数的表示法(第一课时)
1.2.2第一课时 函数的表示法
函数的概念与表示知识点与经典题型归纳
高一数学1.2.2函数的表示法(二)教案
新版沪科版八年级上册教案12.1函数(第一课时)
函数的定义及表示方法
函数的概念及表示方法
青岛版数学九年级下册5.1《函数与它的表示法》教案
《函数与它的表示法》第一课时教案
函数的概念与表示方法
函数及其表示方法教案
函数的概念与表示法
14.2函数的表示法(第一课时)