数的概念

数的概念，涉及三个基本方面：基数概念，序数概念，数的表征方式。

基数概念涉及到数是什么的问题，基数概念可以被表述为五个原则：一一对应原则；固定顺序原则；尾数基本原则；抽象原则；顺序无关原则。

一一对应原则：数数的时候，数字和对象之间是一一对应的关系，不能遗漏也不能重复，这是数数的最基本原则，也是理解数的概念的一个方面：比如二，就是可以和两个糖果或者两个扣子一一对应起来的数字。

固定顺序原则：数与数之间存在固定不变的顺序，比如2永远在3的前面等等。这其实就是把基数概念和序数概念联系起来的原则：数是有顺序的，这个顺序反映了对象的大小和多少。

尾数基本原则：数数的时候，最后数到的数，就是对象的总数。这个原则就是我们数数时依据的基本原理了，报数也是这个原理：最后一名所报的数，就是这列队伍的总人数。

抽象原则：意思是你可以把这些数数的原则，应用到任何可以数数的对象上去，它们带有普遍性。

顺序无关原则：这里指的是对象的顺序无关，不管你从对象的什么位置开始数数，结果都一样。数字是有顺序的，被数的对象却没有顺序。

数是什么？这是很难从原理角度给出明确定义的问题，因为数的概念太基本了。这里的基数五原则，是从操作的角度来描述数的，也可以认为这些原则是数的操作性定义，它们从操作的角度回答了数是什么这个问题，或者说，理解了这五个原则的实际含义，你就算明白数是什么了。

自然数是完全符合基数概念五原则的，在自然数基础上扩展的其他数的体系，就不一定完全符合这五个原则了。

序数概念涉及到两个数之间的关系问题，数与数之间有六大比较关系：小于、大于、等于、不等于、不小于、不大于。

三种基本比较关系：两个数A和B之间，逻辑上只有三种可能的比较关系：A大于B、A等于B、A小于B。

三种复合比较关系：把大于和小于关系复合在一起，就只漏掉了等于关系，因此就叫做不等于；把大于和等于关系复合在一起，就只漏掉了小于关系，因此可以叫做大于等于，或者叫做不小于；把小于和等于关系复合在一起，就只漏掉了大于关系，因此叫做小于等于，或者叫做不大于。

序数概念涉及数的有序性，但不是所有的数的体系都存在有序性，比如复数就没有有序性。没有有序性的数，仍然可以定义等于关系，但大于和小于就不一定能够定义了。

数的表达方式，也属于数的概念的一部分，我们了解的一些关于数的特征，有许多都是由表达方式带来的。

我们有两套表达数的方法：阿拉伯数字和数文字。阿拉伯数字是由1、2、3……

9、0十个数字组成的，它是我们用来计算时的表达方式。中文的数文字是由一、

二、三……九、十等汉字组成的，它是在书面和口头语言中表达和记载数字用的。

我们只使用了阿拉伯数字的符号，没有引进它的读音，阿拉伯数字的读音和汉字数字一样。

当你把2431念成“二四三一”时，你用的是阿拉伯数字表达方式。当你念成“二千四百三十一”时，你用的是汉语的数文字表达方式。

两种表达方式之间有明确的“翻译规则”，弄错了是要造成误解的，这个翻译规则就是阿拉伯数字的口读规则。

为什么2004读成二千零四，只读一个零？这个就和数的基本概念没有关系，它是表达方式问题，汉语的数文字就规定要这么读，没有更多的道理。

数的表达方式的另外一个重要方面是进位制，没有进位制我们只能表达少量的数字，要表达很多数字就必须采用进位制。

我们使用的是十进制，数学中有许多计算规则的具体形式是由十进制带来的，不是数学本身内在规律决定的。如果不采用十进制，九九表就会有不一样的形式了，在十六进位制中，就不再是“二九一十八”，而是“二九一二”了，但是不会改变实质，因为十六进位制的“一二”，就是十进制的“十八”。

基数概念五原则、序数概念六大关系、数学和语言两种表达方式、进位制表达方式，这些就构成了我们对“数”的最基本的了解和理解。