平均数、标准差与变异系数
22 第三章 平均数、标准差与变异系数
本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：
n
x
n
x x x x n
i i
n
∑==
+++=1
21 （3-1）
其中，Σ为总和符号；
∑=n
i i x 1表示从第一个观测值x 1
累加到第n 个观测值x n
。当∑=n
i i
x
1
在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：
n
x x ∑=
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、
600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10
代入（3—1）式得：
.5(kg)52810
5285∑===
n
x x
即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：
23
∑∑∑∑==++++++===f fx
f x f f f f x f x f x f x k
i i
k
i i i k
k k 1
1
212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；
k —分组数
第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i
的“权”，加权法也由此而得名。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg ）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
组别 组中值（x ）
次数（f ）
f x 10— 15 3 45 20— 25 6 150 30— 35 26 910 40— 45 30 1350 50— 55 24 1320 60— 65 8 520 70— 75 3 225 合计
100
4520
利用（3—2）式得：
)(2.45100
4520kg f fx x ===
∑∑ 即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg 。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。
【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg ，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？
此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即
)(89.738270012007251500750kg f fx x =?+?==∑
∑
即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg 。 （三）平均数的基本性质
1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。
24 0)(1
=-∑=x x n
i i 或简写成∑=-0)(x x
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。
∑
=n
i 1
(x i -x )2
<
∑
=n
i 1
(x i - a )2 （常数a ≠x ）
或简写为：
∑-2)(x x <∑-2)(αx
以上两个性质可用代数方法予以证明，这里从略。
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为： N x n
i i
∑==
1
μ （3-3）
式中，N 表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（x ）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数x 是总体平均数μ的无偏估计量。
二、中位数
将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为M d 。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。中位数简称中数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。
（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大
依次排列。
1、当观测值个数n 为奇数时，(n+1)/2位置的观测值，即x (n+1)/2为中位数；
M d =2/)1(+n x
2、当观测值个数为偶数时，n/2和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中
位数，即：
2
)
12/(2/++=
n n d x x M （3-4）
【例3.4】 观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位数。
此例n =9，为奇数，则：
M d =52/)19(2/)1(x x x n ==++=150（天）
即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。
【例3.5】 某犬场发生犬瘟热，观察得10只仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位数。
此例n =10，为偶数，则：
25
5.112
12
112265)
12/(2/=+=+=
+=
+x x x x M n n d （天）
即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：
)2
(c n
f i L M d -+= （3—5）
式中：L —中位数所在组的下限； i —组距；
f —中位数所在组的次数； n —总次数；
c —小于中数所在组的累加次数。
【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表如表3—2所示，求中位数。
表3—2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表
间隔时间（d ）
头数（f ）
累加头数
12—26 1 1 27—41 2 3 42—56 13 16 57—71 20 36 72—86 16 52 87—101 12 64 102—116 2 66 ≥117
2
68
由表3—2可见：i =15，n =68，因而中位数只能在累加头数为36所对应的“57—71”这一组，于是可确定L =57，f =20，C =16，代入公式（3—5）得：
5.70)162
68
(201557)2(=-+=-+=c n f i L M d （天）
即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为70.5天。
三、几何平均数
n 个观测值相乘之积开n 次方所得的方根，称为几何平均数，记为G 。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。其计算公式如下：
n n n x x x x x x x x G 1
)(321321 ??=??= （3—6）
为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n ，得lgG ，再求lgG 的反对数，即得
26 G 值，即
)]lg lg (lg 1
[lg 211n x x x n
G +++=- （3—7）
【例3.7】 某波尔山羊群1997—2000年各年度的存栏数见表3—3，试求其年平均增长率。
年度 存栏数（只）
增长率（x ）
Lgx
1997 140 —
—
1998 200 0.429 -0.368 1999 280 0.400 -0.398 2000 350 0.250 -0.602
利用公式（3—7）求年平均增长率
G =)]lg lg (lg 1[lg 211n x x x n
+++- =lg -1[3
1
（-0.368-0.398–0.602）]
=lg -1（-0.456）=0.3501
即年平均增长率为0.3501或35.01%。
四、众 数
资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为众数，记为M 0。如表2-3所列的50枚受精种蛋出雏天数次数分布中，以22出现的次数最多，则该资料的众数为22天。又如【例3.6】所列出的次数分布表中，57—71这一组次数最多，其组中值为64天，则该资料的众数为64天。
五、调和平均数
资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H ，即
∑
=
++=
x x x n n H 1111
111
)
(1
2
1
（3—8）
调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。 【例3.8】 某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头；3世代190头，4世代210头，试求其平均规模。
利用公式（3—9）求平均规模：
33.2080048.01
)024.0(1)(1
1
1
111
11===
+++
+
=
H （头）
27
即保种群平均规模为208.33头。
对于同一资料，算术平均数>几何平均数>调和平均数。 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
第二节 标准差
一、标准差的意义
用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。
全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（x x -），称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（x x -）=0，因而不能用离均差之和Σ（x x -）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n 求得平均绝对离差，即Σ|x x -|/n 。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方，即 (x x -)2，再求离均差平方和，即Σ2)(x x -，简称平方和，记为SS ；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即Σn x x /)(2-，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n ，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量Σ1/)(2--n x x 表示资料的变异程度。统计量Σ1/)(2--n x x 称为均方（mean square 缩写为MS ）,又称样本方差，记为S 2
，即
S 2
=
∑--1/)(2n x x （3—9）
相应的总体参数叫总体方差，记为σ2
。对于有限总体而言，σ2
的计算公式为：
σ2
∑-=
x (μ）2
/N （3—10）
由于样本方差带有原观测单位的平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这时应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S 2
的平方根叫做样本标准差，记为S ，即：
28 1
)(2
--=
∑n x x S （3-11）
由于∑∑+-=-)2()(222
x x x x x x 222x n x x x +-=
∑∑
22
2
)(
)(2
n
x n n
x x ∑∑∑+-=
n
x x
2
2
)(∑∑-
=
所以（3-11）式可改写为：
1
2)(
2
--=
∑∑
n x S n
x （3-12）
相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：
σ=
∑-N x /)(2μ （3-13）
在统计学中，常用样本标准差S 估计总体标准差σ。
二、标准差的计算方法
（一）直接法 对于未分组或小样本资料，可直接利用（3—11）或（3-12）式来计
算标准差。
【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g ）的标准差。
此例n =10，经计算得：Σx =5400，Σx 2=2955000，代入（3—12）式得：
828.651
1010
/540029550001
/)(222=--=
--=
∑∑n n x x S (g)
即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g 。
（二）加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权
法计算标准差。计算公式为：
∑∑∑∑∑∑--=
--=
1
/)(1
)(222
f f
fx fx f x x f S （3—14）
式中，f 为各组次数；x 为各组的组中值；Σf = n 为总次数。
【例3.10】 利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。 将表3-4中的Σf 、Σfx 、Σfx 2代入（3—14）式得：
29
5524.31
200200/1.1070511.5755071
/)(222=--=--=
∑∑∑∑f f
fx fx S （g ）
即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g 。
表3—4 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表
组别 组中值（x ）
次数（f ）
fx fx 2 44.15— 45.0 3 135.0 6075.0 45.85— 46.7 6 280.2 13085.34 47.55— 48.4 16 774.4 37480.96 49.25— 50.1 22 1102.2 55220.22 50.95— 51.8 30 1554.0 80497.20 52.65— 53.5 44 2354.0 125939.00 54.35— 55.2 28 1545.0 85317.12 56.05— 56.9 30 1707.0 97128.30 57.75— 58.6 12 703.2 41207.52 59.45— 60.3 5 301.5 18180.45 61.15— 62.0
4
248.0
15376.00
合计 Σf =200 Σfx =10705.1 Σfx 2=575507.11
三、标准差的特性
（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。
（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。
（三）当每个观测值乘以或除以一个常数a ，则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a 倍。
（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差（x ±S ）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（x ±2S ）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（x ±3S ）范围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用（6/全距）来粗略估计标准差。
第三节 变异系数
变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C ·V 。变异系数可以消除单位和
30 （或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为：
%100?=
?x
S
V C （3—15） 【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg ，标准差为10.5kg ，而大约克成年母猪平均体重为196kg ，标准差为8.5kg ，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。
此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较其变异程度的大小。
由于，长白成年母猪体重的变异系数：%53.5%100190
5
.10=?=
?V C 大约克成年母猪体重的变异系数：%34.4%100196
5
.8=?=
?V C 所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。
注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。
习 题
1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么情况下应用？
2、何谓算术平均数？算术平均数有哪些基本性质？
3、何谓标准差？标准差有哪些特性？
4、何谓变异系数？为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？
5、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。（x =9.8头，S =2.098头，C ·V =21.40%）。
6、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。
组别 组中值（x ）
次数（f ）
80— 84 2 88— 92 10 96— 100 29 104— 108 28 112— 116 20 120— 124 15 128— 132 13 136—
140
3
（x =111.07cm ，S =12.95cm, C ·V =11.66%）。
7、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天)。试求潜伏期的中位数。（4天）
8、某良种羊群1995—2000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的
年平均增长率。（G=0.1106或11.06%）。
9、某保种牛场，由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、130、140、120、110头。试计算平均世代规模。（H=123.17头）
10、调查甲、乙两地某品种成年母水牛的体高（cm）如下表，试比较两地成年母水牛体高的变异程度。
甲地137 133 130 128 127 119 136 132
乙地128 130 129 130 131 132 129 130
（S甲=5.75cm, C.V甲=4.42%；S乙=1.25cm，C.V乙=0.96%）
31
计算标准差和变化系数
计算“标准差”和“变化系数” “标准差”（以d代表）是各种可能值与“期望值”离差的平方根其计算公式是: 以上述方案A的有关数据代入这个公式进行计算，得 ￡">a? A = ￡3 000 -2 0O0)a x 0.25 + (2 000 - 2 000>z x 0,50 + <1 000 —2 000)a x 0.25 -500 tMX) & - ysoo 000 = 707 3 “标准差”主要是由各种可能值与“期望值”之间的差距所决定。它们之间的差距越大，说明有关数值分布的离散程度越大，这是意味着有关方案包含的风险越大；它们之间的差距越小，说明各种可能值的分布越紧凑（越靠近于期望值），实际发生数将会更接近于期望值， 这就意味着有关方案包含的风险越小。所以，一般地说，一个方案标准差的大小，可以看作 其所含风险大小的具体标志。 但“标准差”的数值同时又受各种可能值的数值大小的影响。为了克服“标准差”的这 一缺陷，可同时计算与它相联系的另一个指标，称为“变化系数”（以q代表），其计算公式是以“标准差”除以“期望值”所得商： 以上关于“标准差”和“变化系数”的计算，为便于说明计算原理，只涉及到一个期间。一 个投资方案的现金流动实际上会涉及到许多期间。在这种情况下，整个方案的“标准差”（以 D代表）应以其各个期间的“期望值”和“标准差”为基础作进一步的综合，其算式是： 同时还应把各个期间的“期望值”统一换算为现值，称为“预期的现值”（以EPV代表），其算式是： 而整个方案的“变化系数”（以Q代表），则按下式计算:
Q = — w EPV 例：设上述方案 A 各年的净现金流入量如表所示 表 S 1年 第2年 第3年 园 ? * 倾錢人JS U ） ?审 （7C ） It 率 3 000 0.25 0.20 2 500 D.30 2W0 0.50 3呱 0.60 2 000 0.40 1000 0.25 2 000 0.2D 15D0 0.3D 可据以确定该方案各年净现金流入量的“期望值” 。 ￡1=3 000x0*25+2 000X0,50 + 1 000X0.25 =：2 000 (无) = 4 000X0.20+ 3 0X0.60 + 2 000X0.20=3 000 (元)r E 3 = 2 500 X 0.30 + 2 000 X 0.40+ 1 500 X 0.30 = 2 000 (元) 以各年净现金流入量的“期望值”为基础，计算各年的“标准差” 。 由=/{3 OW-Z O6o )j x0?25 + <2 00[)-2 000)? XQ .$I (1 000 - 2 (MO)1 25 = 707.1 亦=灯 W0)2xb.2+ (3 00ft-3 000)2x0.6+ (2 000-3 000)^0.2 -632.5 右=/ (2 500 - 2 000)s xfl~3 (2 000 - 2 x 0.4 + (i 500 J 000)a x Q.3 = 387,3 设要求达到的最低收益率为 6 %，则整个方案的“标准差”可计算如下： 707 J 2 ( 623.5^^7^^-931 4 [十 6% )2 (1 + 6% )4 (1 + 6% 户 而其各年净现金流入量的“预期的现值”是： 在确定了 D 和EPV 以后，可据以其出其整个方案的“变化系数”是: EP_咼T 册厂朋?丸236 （元） 3 000
方差与标准差测试题及答案
1．数据8，10，9，11，12的方差是 （ ） A ．2 C. 10 D ．50 2．如果一组数据1x , 2x ,… n x 的方差是2，那么另一组数据13x , 23x ,… 3n x 的方差是 （ ）A. 2 B. 18 C. 12 D. 6 3．（2003?四川）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为甲=82分，乙=82分，S 甲2=245，S 乙2 =190，那么成绩较为整齐的是（ ） A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定 4．若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．50 5.小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的( ). A.平均数; B.方差; C.众数; D.中位数. 二、填空题 1．（2006?浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿 泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S 甲2=4.8，S 乙2=3.6．那么 _________ 罐装的矿泉水质量比较稳定． 2．（2002?宁夏）已知一个样本1，4，2，5，3，那么这个样本的标准差是 _________ ． 3．已知一个样本1，2，3，x ，5，它的平均数是3，则这个样本的极差是 _________ ；方差是 ________ ． 4．（2007?贵阳）如图所示是甲、乙两地某十天的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10 天的日平均气温的方差大小关系为：S 甲2 _________ S 乙2（用＞，=，＜填空）． 5. 如果一组数据 1x , 2x ,… n x 的平均数是x ，方差为2S ,那么 （1）新数据 1ax , 2ax ,… n ax 的平均数是 ，方差为 ； （2）新数据 1x b +, 2x b +,… n x b +的平均数是 ，方差为 ； （3）新数据 1ax b +, 2ax b +,… n ax b +的平均数是 ，方差为 .
标准差和标准偏差 (1)
标准差和标准偏差 1）首先给出计算公式 标准差：σ=（1） 标准偏差：s =（2）方差就是标准偏差的平方 这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？ 2）公式由来 标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。 那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 样本均值：1 1n i i X X n ==∑ 样本方差：2211()n n i i s X X n ==-∑ 这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差2σ。 对于均值μ，我们容易通过期望获得：
但是对于方差，我们知道 2 1 2 () n i i X X σ = - ∑ 是服从卡分分布2 1 n χ - 的（这一点请查阅卡分分布的 定义）。因此有下面的公式： 这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，X是μ的无偏估计，而2 n s则不是2σ的无偏估计。但是我们 可以通过对样本方差进行重新构造，从而是2 n s就是2σ的无偏估计。我们定义：这样我们重新来求解方差的期望： 这样一来，2s就是2σ的无偏估计，这也就是这个公式的由来。 3）这两个公式的应用。 在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。 看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。 4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。 在Excel透视表中 标准偏差为=STDEVA()
标准差
标准差 次数分布中的数据不仅有集中趋势，而且还有离中趋势。所谓离中趋势指的是数据具有偏离中心位置的趋势，它反映了一组数据本身的离散程度和差异性程度。标准差能综合反映一组数据的离散程度或个别差异程度。 例如，甲、乙两班学生各50人，其语文平均成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分。初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些。怎样用标准差这个特征量数来刻画一组数据的差异程度呢？下面介绍标准差的概念及计算。 一、标准差概念与计算 1.标准差定义与计算公式 一组数据的标准差，指的是这组数据的离差平方和除以数据个数所得商的算术平方根。若用S 代表标准差，则标准差的计算公式为： 标准差的平方，称为方差，用S2表示方差。 计算标准差时，首先要计算数据的平均数，接着要计算各数据与平均数之间的离差 平方，即（）2，最后由公式（2-5）计算标准差S。 例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下： ①求平均数：（厘米） ②求离差平方和： )2=(110―120)2+(100―120)2+(120―120)2+(150―120)2 =100+400+0+900=1400（平方厘米） ③求标准差S：S= （厘米）
这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米。 2.标准差的计算中心方法 计算标准差的方法有三种，一是按公式逐步分析计算，如上述所示；二是以列表计算的方式；三是利用计算器或计算机进行计算。下面再举一例说明采用列表方式计算标准差S。 [例7] 已知8 位同学在某图形辨认测验中的成绩数据（见表2-2），计算这组数据的标准差。 [分析解答] 采用列表计算方式,应用公式（2-5）确定数据的标准差，详见表2-2。 表2-2 计算标准差S的示例 - () (1) = (2) () = 标准差在实际中有广泛的用途，同时对深化研究数据也具有重要的作用。如不同班级考试成绩的平均数和标准差，不同年度或不同学科测验分数的平均数和标准差，以及其他体能测试或心理测验数据的平均数和标准差，就是一些具体的应用。后续各章内容的学习，将经常用到平均数、标准差和方差这些概念。 由于标准差计算公式结构适合于代数处理，因此，许多具有统计功能的计算器，都有计算方差和标准差的相应功能。学习者只要花少量时间学习与掌握有关计算器的使用，即可以轻松自如地处理大量数据，求取平均数和标准差。 在利用公式（2-5）手工求标准差时,如表2-２所示，由于平均数有小数，这使计算离差平方的数据更加复杂,小数点的位数加倍增加，同时四舍五入的计算误差以及出错的可能性都有所增加。为克服这个弊病，我们可从公式（2-5）出发,通过代数演算，推导出另一个与公式（2-5）等价的新公式，即公式（2-6）。这一新公式对计算标准差来讲，不用通过计 算平均数以及离差平方和，用原始数据直接计算标准差，因而在许多情况下，具有更简便、准确的特点。其计算公式：
算术平均值的实验标准差和单次测量值的实验标准差的区别
一、问题的提出 在不等精度直接测量时，由各测量值x i及其标准差σi计算加权算术平均值的标准差时，有两个计算公式 式中:p i——各测量值的权；σi——各测量值的标准差；σ——单位权标准差；——加权算术平均值的标准差。 但这两个公式的计算结果有时会相差很大。那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。 二、公式的数学推导 在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为: 测量结果的最佳估计值为: 则测量结果的不确定度评定为: 对式(5)求方差有 设各测量值x i的方差都存在，且已知分别为，即D(x i)=
由(4)式有=σ2/p i 从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已知的。而在实际测量中，常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。为此，作如下推导: 由残差νi=x i-i=1，2，……n 对νi单位权化 由于v i的权都相等，因而可设为1，故用v i代替贝塞尔公式中的νi 可得单位权标准差的估计值 将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值
从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。从概率论与数理统计知识可知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。 三、公式选用的一般原则 笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。 1.各测量值的标准差未知时 显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的标准差未知，无法应用公式(1)来进行不确定度评定，而只能用公式(2)。 2.各测量值的标准差已知时 当已知测量值x i和其标准差σi时，有两种方法计算的标准差:第一种 方法是用公式(1)进行计算，第二种方法是用公式(2)进行计算。前面已述这两种方法在理论上是不相等的。两种方法的区别是:第一种方法是根据已知的σi计算，没有用到测量数据x i。而第二种方法既用到了σi(确定权)，也用到了测量数据x i(计算残差)。公式(2)是一个统计学公式，与观测次数n有关，只有n足够大，即观测数据足够多时，该公式才具有实际意义。所以，根据前面的推导分析，当测量次数较少时，考虑到随机抽样取值的分散性，建议采用公式(1)进行不确定度评定，当测量次数较多时，采用公式(2)评定不确定度更能真实地反映出这一组数据的不确定度值，它包含了由随机效应引起的不确定度，也包含了由系统效应引起的不确定度，因而更具有实验性质。现在的问题是，测量次数究竟为多少时才是较少或较多呢？根据概率论与数理统计知识，单次测量的标准差与平均值的标 准差的关系为:，当σ一定时，n>10以后，已减少得非常缓慢。所 以常把n=10作为一个临界值。综上所述，当测量次数n<10时，用公式(1)进行计算效果较好；当测量次数n≥10时，采用公式(2)来评定不确定度会更客观一些。另外，还有一个问题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性测量，这些改变了的测量条件有可能带来系统误差。当n足够大时且本次测量条件与以前的测量条件变化不大时，两个公式计算的结果应近似相等。否则本次测量数据可能存在系统误差。 四、实例
夏普比率-实用标准差-贝他系数
夏普比率-标准差-贝他系数 夏普比率 现代投资理论的研究表明,风险的大小在决定组合的表现上具有基础性的作用。风险调整后的收益率就是一个可以同时对收益与风险加以考虑的综合指标,以期能够排除风险因素对绩效评估的不利影响。夏普比率就是一个可以同时对收益与风险加以综合考虑的三大经典指标之一。投资中有一个常规的特点，即投资标的的预期报酬越高，投资人所能忍受的波动风险越高；反之，预期报酬越低，波动风险也越低。所以理性的投资人选择投资标的与投资组合的主要目的为：在固定所能承受的风险下，追求最大的报酬；或在固定的预期报酬下，追求最低的风险。 ·夏普比率计算公式 ·夏普比率在运用中应该注意的问题 夏普比率（Sharpe Ratio），又被称为夏普指数--- 基金绩效评价标准化指标 夏普比率概述1990年度诺贝尔经济学奖得主威廉·夏普（William Sharpe）以投资学最重要的理论基础CAPM
（Capital Asset Pricing Model，资本资产定价模式）为出发，发展出名闻遐迩的夏普比率（Sharpe Ratio）又被称为夏普指数，用以衡量金融资产的绩效表现。 威廉·夏普理论的核心思想理性的投资者将选择并持有有效的投资组合，即那些在给定的风险水平下使期望回报最大化的投资组合，或那些在给定期望回报率的水平上使风险最小化的投资组合。解释起来非常简单，他认为投资者在建立有风险的投资组合时，至少应该要求投资回报达到无风险投资的回报，或者更多。 夏普比率计算公式夏普比率计算公式：=[E(Rp)－Rf]/σp 其中E(Rp)：投资组合预期报酬率 Rf：无风险利率 σp：投资组合的标准差 目的是计算投资组合每承受一单位总风险，会产生多少的超额报酬。比率依据资本市场线(Capital Market Line,CML)的观念而来，是市场上最常见的衡量比率。当投资组合的资产皆为风险性资产时，适用夏普比率。夏普指数代表投资人每多承担一分风险，可以拿到几分报酬；若为正值，代表基金报酬率高过波动风险；若为负值，代表基金操作风险大过于报酬率。这样一来，每个投资组合都可以计算Sharpe Ratio,
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算： n x n x x x x n i i n ∑== +++=1 21Λ （3-1） 其中，Σ为总和符号； ∑=n i i x 1表示从第一个观测值x 1 累加到第n 个观测值x n 。当∑=n i i x 1 在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为： n x x ∑= 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、 600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。 由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10 代入（3—1）式得： .5(kg)52810 5285∑=== n x x 即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。 （二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：
《方差和标准差》练习2有答案.docx
初中精品试卷 3.3 方差和标准差同步练习 (总分： 100 分时间 45 分钟 ) 一、选择题（每题 6 分，共 36 分） 1.如图是甲 .乙两位同学 5 次数学考试成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（） A. 甲 B.乙 C.甲 .乙的成绩一样稳定 D.无法确定 分数 甲乙甲 乙 次数 2.某工厂为了选拔 1 名车工参加加工直径为10mm 的精密零件的技术比赛，随机 抽取甲 .乙两名车工加工的5 个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较 S 2甲.S 2乙的大小（） 甲10.0510.029.979.9610 乙1010.0110.029.9710 A.S2甲＞S2乙 B.S2甲＝S 2 乙C.S 2甲＜S2 乙 D.S2甲≤S2 3.人数相等的甲 .乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下： x甲 =80， x乙 =80，s甲2 =240，s乙2=180，则成绩较为稳定的班级为（） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 4.下列统计量中，能反映一名同学在7～ 9 年级学段的学习成绩稳定程度的是 （） A. 平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 5.某车间 6 月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2， 3，1，2，则在这 10 天中该车间生产零件的次品数的（） A. 众数是 4 B.中位数是 1.5 C.平均数是 2 D.方差是 1.25 6.在甲 .乙两块试验田内，对生长的禾苗高度进行测量，分析数据得：甲试验田内 禾苗高度数据的方差比乙实验田的方差小，则（）
A.甲试验田禾苗平均高度较高 B.甲试验田禾苗长得较整齐 C.乙试验田禾苗平均高度较高 D. 乙试验田禾苗长得较整齐 二、填空题（每题 6 分，共 36 分） 7.5 名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）： 0， 2， －2，－ 1，1，则这组数据的极差为 __________cm. 8.五个数1，2，4，5，a 的平均数是3，则a=，这五个数的方差为. 9.已知一组数据1，2，1，0，－1，－2，0，－1，则这组数据的平均数为， 中位数为，方差为. 10.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下： 8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是____环，中位数 _____环，方差是 ______环2 . 11.今天 5 月甲 .乙两种股票连续 10 天开盘价格如下：（单位：元） 甲 5.23 5.28 5.35 5.3 5.28 5.2 5.08 5.31 5.44 5.46乙 6.3 6.5 6.7 6.52 6.66 6.8 6.9 6.83 6.58 6.55则在 10 天中，甲 .乙两种股票波动较大的是. 12.已知数据 a.b.c的方差是 1，则 4a，4b， 4c 的方差是. 三、解答题（共28 分） 13.（8 分）某学生在一学年的 6 次测验中语文 .数学成绩分别为（单位：分）： 语文： 80，84，88， 76，79，85 数学： 80，75，90， 64，88，95 试估计该学生是数学成绩稳定还是语文成绩稳定？ 14.（10 分）在某次体育活动中，统计甲.乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位： 次）情况如下表： 班级参加人数平均次数中位数方差 甲班55135149190 乙班55135151110
计算全距 平均差 方差和标准差
计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R（range） 全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性： 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可
以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点： 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。 优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内） 五、差异系数（coefficient of variation） 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？ ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？ 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况
计算标准差和变化系数
计算“标准差”和“变化系数” “标准差”(以d代表)是各种可能值与“期望值”离差的平方根其计算公式是： 以上述方案A的有关数据代入这个公式进行计算，得 “标准差”主要是由各种可能值与“期望值”之间的差距所决定。它们之间的差距越大，说明有关数值分布的离散程度越大，这是意味着有关方案包含的风险越大；它们之间的差距越小，说明各种可能值的分布越紧凑(越靠近于期望值)，实际发生数将会更接近于期望值，这就意味着有关方案包含的风险越小。所以，一般地说，一个方案标准差的大小，可以看作其所含风险大小的具体标志。 但“标准差”的数值同时又受各种可能值的数值大小的影响。为了克服“标准差”的这一缺陷，可同时计算与它相联系的另一个指标，称为“变化系数”(以q代表)，其计算公式是以“标准差”除以“期望值”所得商： 以上关于“标准差”和“变化系数”的计算，为便于说明计算原理，只涉及到一个期间。一个投资方案的现金流动实际上会涉及到许多期间。在这种情况下，整个方案的“标准差”(以D代表)应以其各个期间的“期望值”和“标准差”为基础作进一步的综合，其算式是： 同时还应把各个期间的“期望值”统一换算为现值，称为“预期的现值”(以EPV代表)，其算式是： 而整个方案的“变化系数”(以Q代表)，则按下式计算：
例：设上述方案A各年的净现金流入量如表所示 表 可据以确定该方案各年净现金流入量的“期望值”。 以各年净现金流入量的“期望值”为基础，计算各年的“标准差”。 设要求达到的最低收益率为6％，则整个方案的“标准差”可计算如下： 而其各年净现金流入量的“预期的现值”是： 在确定了D和EPV以后，可据以其出其整个方案的“变化系数”是：
平均数、标准差与变异系数
22 第三章 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算： n x n x x x x n i i n ∑== +++=1 21 （3-1） 其中，Σ为总和符号； ∑=n i i x 1表示从第一个观测值x 1 累加到第n 个观测值x n 。当∑=n i i x 1 在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为： n x x ∑= 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、 600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。 由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10 代入（3—1）式得： .5(kg)52810 5285∑=== n x x 即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。 （二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：
spss一些用法-变异系数-相关性检验
变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。 标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C.V。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。 标准变异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比，它是一个相对变异指标。 变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数等。常用的是标准差系数，用CV(Coefficient of Variance)表示。 CV(Coefficient of Variance):标准差与均值的比率。 用公式表示为：CV＝σ/μ 作用：反映单位均值上的离散程度，常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。若两个总体的均值相等，则比较标准差系数与比较标准差是等价的。 变异系数又称离散系数。 cpa中也叫“变化系数”
Analyze-Descriptive,计算出标准差和均值，然后用标准差除以均值就算出变异系数了 如何用SPSS软件计算两个变量之间的相关系数? 怎么判定相关是不是显著相关呢? analyze-correlate-bivariate-选择变量 OK 输出的是相关系数矩阵 相关系数下面的Sig.是显著性检验结果的P值，越接近0越显著。另外，表格下会显示显著性检验的判断结果，你看看表格下的解释就知道，比如“**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).” 就是说，如果相关系数后有"**"符号，代表在0.01显著性水平下显著相关 粗略判断的方法是，相关系数0.8以上，可以认为显著相关了 在这个图表中，你说的R值就是皮尔逊相关系数~（pearson correlation） r>0 代表两变量正相关，r<0代表两变量负相关。
平均值与标准偏差的定义及简单计算
複習： 1.平均值與標準偏差的定義及簡單計算。 2.空氣柱共鳴實驗： 實驗裝置為何？如何判斷聲波波長？如何已知頻率音叉求聲速？ 聲音的三要素音調、音量<響度）、音色與波的關係，音調與高低有關：音量與有關，音色則牽涉到聲音音、音百分比分配的問題。b5E2RGbCAP 4.請說明琴弦的長短、鬆緊、粗細與所發音關係？ 5.不同樂器彈奏相同的音符，到底有那些相同與相異？ 6.紫外光波長範圍200nm到400nm、問其頻率範圍為何？ 7.汽車速率每小時90公里，可 率？ 8.右圖在何處速率最大？15 9. 10.任意一作用力恆伴隨一反作用，大小相等方向相反。 11.手握裝水杯子在垂直面上做圓週運動，設手長60cm，杯口向圓心，則 每秒最少要轉幾週水才不至於流下？ 12.力作用的有兩種表現：1.力作用距離=變化； 2.力作用時間=變化。 一物體質量3Kg、速率5m/s，則其動能、動量各多少？要在0.1秒的時間內停止下來，需要多少牛頓的力量？p1EanqFDPw 14.600W的電熱器5分鐘內提供多少焦爾熱能？換算成多少卡熱能？這些 熱能可以使100克的水升幾℃？ 15.什麼是ABS？與緊急剎車的關係為何？ 16.力矩是什麼？其效用為何？ 17.高台跳水的人，如何使身體在空中轉快一點？ 18.壓力的定義為何？ 19.為什麼高山煮飯不易熟？ 20.阿機M德原理：浮力等於的液體重。 21.浮力中心<浮心）：浮力的等效作用點。船舶為何要載重物壓艙？ 22.物體受重力作用，重力的等效作用點稱為。 23.為什麼冬天容易中風？引用物理公式說明之。 24.血管管徑縮為一半，則血管血液流率成為原來的多少倍？ 25.柏努力方程流體流速越大，則壓力越 26.為什麼在鐵道旁火車高速通過時,行人會感受到一股吸力？
用计算器求平均数、标准差与方差(篇四)
用计算器求平均数、标准差与方差 教学目标 1、掌握的方法． 2、会．教学建议重点、难点分析 1、本节内容的重点是，难点是准确操作计算器． 2、计算器上的标准差用表示，和教科书中用S表 示不一样，但意义是一样的．而计算器上的S和我们教 科书上的标准差S意义不一样．在计算器上S和是并排在一起的，按同一键，都是统计计算用的．因S在前， 在后，这样要想显示出标准差，就需要发挥该键的统计功能中第二功能，于是就得先按键，再按键．教学设 计示例1 素质教育目标 （一）知识教学点 使学生会。 （二）能力训练点 培养学生正确使用计算器的能力。 （三）德育渗透点 培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯。 （四）养育渗透点 通过本节课的教学，渗透了用高科技产品求方差值 的简单美，激发学生的学习兴趣，丰富了学生具有数学
美的底蕴。 重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：用计算器进行统计计算的步骤。 2．教学难点：正确输入数据。 3．教学疑点：学生容易把计算器上的键S主认为是书上的标准差S，教科书中的符号S与CZ1206计算器上的符号S的意义不同，而与计算器上的符号相同。 4．解决办法：首先使计算器进入统计计算状态，再将一些数据输入，按键得出所要求的统计量。 教学步骤 （一）明确目标 请同学们回想一下，我们已学过用科学计算器进行过哪些运算？（求数的方根、求角的 三角函数值等），那么用计算器和用查表进行这些运算在运算速度、准确性等方面有什么不 同，（计算器运算速度快、准确性高，查表慢，且准确性低）．这节课我们将要学习用计算器进行统计运算．它会使我们更能充分体会到用计算器进行运算的优越性． 这样开门见山的引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课的学习． （二）整体感知
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算： n x n x x x x n i i n ∑== +++=1 21 （3-1） 其中，Σ为总和符号； ∑=n i i x 1表示从第一个观测值x 1 累加到第n 个观测值x n 。当∑=n i i x 1 在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为： n x x ∑= 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、 600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。 由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10 代入（3—1）式得：
标准差
标准分 标准分就是原始分与平均分的差，除以标准差的商。换句话说， 设原始成绩构成集合},,,{21n x x x ，平均分n x x x X n +++= 21， 标准差S=n X x X x X x n 22221)()()(-++-+- 那么对任意一个原始分i x ，称S X x Z i i -=为i x 的标准分(其中，S 是反映原始成绩离散程度的一个量)。 例某班四个同学的数学考试成绩为74, 79, 80, 83，这一班平均分79,标准差S=3.24，那么这四个同学的标准分分别为：-1.54，0，0.31，1.23，由定义和例子可以看出，标准分是一种以标准差为单位的相对量。它以整体的平均水平作为比较的基准，标准分为正，表示个体成绩高于平均水平，且数值越大，表示成绩越好；负值则表示个体水平低于平均水平。 标准分的应用 1.判断某学生的成绩在全班成绩中所处的位置。我们用原始分无法知道一个得了80分的同学，在班内是处于先进地位还是落后地位，但换算成标准分就大体明白了。如上例中第4个同学的标准分1.23，说明其成绩在全班平均成绩以上；第一个同学的标准分为负值，说明其成绩在全班平均成绩以下；第2个同学的标准分为0，说明是全班中等水平。 2.判断同一件目在不同次的考试中，成绩的升降程度。如某同学在期中考试中得67分，在期末考试中得62分。能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。如若另一同学标准分的增长超过了0.47分，则说明后者的进步比前者更大。 3.用标准分对不同学科的教学质量可以进行比较。用原始分对不同的学科的教学成绩无法进行比较。如某次考试中，某生语文成绩70分，数学成绩80分，能不能说该生的语文不如数学学得好呢?显然不能。因为很可能该生所在班级语文均分低于70,数学均分高于80，这样该生语文在全率平均线以上，数学在平均线以下，说明他的语文比数学好。这个问题用标准分一衡量，就十分清楚了。 4.能够把教学成绩的高低变化，在坐标系中直观地表示出来，使人一目了然。作图时，把考试的次数在横轴上表示，把标准分在纵轴上表示。并用不同颜色的曲线表示不同科目成绩的变化。如图是某班语丈、数学两许均分化成标准分后的变化情况(全年级为整体): 由图看出，数学进步很大，由全年级平均线以下，进入到全年级平均线以上，而语文则恰恰相反，由 全年级平均线以上退步到全年级平均线以下。 5.能够准确地选拔优秀学生：例如三名学生A,B,C 在语文、数学、英语三科联赛中的成绩如下：
平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算： n x n x x x x n i i n ∑== +++=1 21Λ （3-1） 其中，Σ为总和符号； ∑=n i i x 1表示从第一个观测值x 1 累加到第n 个观测值x n 。当∑=n i i x 1 在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为： 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。 由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10 代入（3—1）式得： 即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。 （二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为： ∑∑∑∑= =++++++= ==f fx f x f f f f x f x f x f x k i i k i i i k k k 1 1212211ΛΛ （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数； k —分组数 第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i 的“权”，加权法也由此而得名。
平均数、标准差与变异系数
22 平均数、标准差与变异系数 本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 （一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算： n x n x x x x n i i n ∑== +++=1 21 （3-1） 其中，Σ为总和符号； ∑=n i i x 1表示从第一个观测值x 1 累加到第n 个观测值x n 。当∑=n i i x 1 在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为： n x x ∑= 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、 600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。 由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10 代入（3—1）式得： .5(kg)52810 5285∑=== n x x 即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。 （二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：