2021年解放军武警士兵考军校-军考数学压轴题专项复习测试卷及答案

高中学历士兵考军校-数学专项测试卷

综合压轴题测试

1．在ABC ?中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，sin sin sin()B

C A C -=-．

（1）求角A ；

（2）若a =，且ABC ?

的面积是，求b c +的值．

2．已知函数()f x =的定义域为R ．

（1）求实数m 的取值范围；

（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足2132n a b a b

+=++时，求74a b +的最小值．3．设{}n a 是一个公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，已知990S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1

1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．4．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为

12、23

；（1）求第3次由乙投篮的概率；

（2）求前4次投篮中各投篮两次的概率．

5．已知函数()log a f x x =，22()21g x m x mx =-+，若1b a >>，且f （b ）15()2

f b +

=，b a a b =．（1）求a 与b 的值；（2）当[0x ∈，1]时，函数()g x 的图象与()(1)h x f x m =++的图象仅有一个交点，求正实数m 的取值范围．

6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，A ，B 分别是椭圆的右顶点和下顶点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知P 是椭圆C 内一点，直线AP 与BP 的斜率之积为12-，直线AP 、BP 分别交椭圆于M ，N 两点，记PAB ?，PMN ?的面积分别为PAB S ?，PMN S ?．①若M ，N 两点关于y 轴对称，求直线PA 的斜率；②证明：PAB PMN S S ??=．

7．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，且1AB =，2BC =，60ABC ∠=?，E 为BC 的中点，1AA ⊥平面ABCD ，1A D 与1AD 交于O ．（Ⅰ）证明：//OE 平面11CDD C ；

（Ⅱ）证明：平面1A AE ⊥平面1A DE ；

（Ⅲ）若1DE A E =，试求异面直线AE 与1A D

所成角的余弦值．

参考答案与解析

1.【详解】（1）在ABC ?中，sin sin()B A C =+，

sin()sin sin()A C C A C ∴+-=-，

即sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-2cos sin sin 0A C C ∴=≠，∴1cos 2A =，∴3

A π=．（2）

1sin 2

ABC S bc A ?==，12bc ∴=，由余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，22()348b c a bc ∴+=+=，

∴b c +=．

2.【详解】（1）因为函数的定义域为R ，所以|1||3|0x x m ++--恒成立，设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ．

（2）由（1）知4n =，所以21(622)()1213274()(74)4324

a b a b a b a b

a b a b a b a b +++++++=++=++

5132519

()24223424

a b a b a b a b ++=+++?=++，当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==

时，等号成立．所以74a b +的最小值为94．3.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则21a a d =+，413a a d =+，

由1a ，2a ，4a 成等比数列，可得22

14a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，整理，可得1a d =．由91989902

S a d ?=+

=，可得12a d ==，1(1)2n a a n d n ∴=+-=．（2）由于2n a n =，所以1111()4(1)41n b n n n n ==-++，从而1111111111[()()()(412233414144n n n T n n n n =-+-+-+?+-=?=+++，即数列{}n b 的前n 项和为44

n n T n =+．4.【详解】（1）由题意得第三次有乙投篮包含两种情况：

①第一次甲中第二次甲不中；②第一次甲不中，第二次乙中．∴第3次由乙投篮的概率：111127(1)(1)222312

p =-+-?=．（2）前4次投篮中各投篮两次包含三种情况：

①第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙中；

②第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲不中；

③第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中．

∴前4次投篮中各投篮两次的概率：

211212112213(1)(1)(1)(1)(1(1)22323223336

p =?-?+-?-?-+-??-=．5.【详解】（1）()log a f x x =，(1)a >，

若b a >，且15()()2

f b f b +=，可得1,22

a log

b =或，因为1b a >>，所以log 1a b >，

所以log 2a b =，即2a b =，

因为b a

a b =

所以2

2()a a a a =，

所以22a a =，

解之得2a =，4b =．

（2）因为m 为正数，222()21(1)g x m x mx mx =-+=-为二次函数，在区间1(0,)m 为减函数，在区间1(,)m +∞为增函数，函数2log (1)y x m =++为增函数，

分两种情况讨论：

①当01m <时，11m

，在区间[0，1]上，2(1)y mx =-为减函数，值域为2[(1)m -，1]，函数2log (1)y x m =++为增函数，值域为[m ，1]m +，此时两个函数图象有一个交点，符合题意；

②当1m >，得11m <，在区间1(0,)m 上，2(1)y mx =-为减函数，在区间1(,1)m 为增函数，函数2log (1)y x m =++为增函数，值域为[m ，1]m +，若两个函数图象有一个交点，则有2(1)1m m -+，解之得0m 或3m ，因为m 为正数，则3m ；

综上m 的取值范围为(0，1][3 ，)+∞．

6.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，

22b ∴=，即1b =，22

c e a ==，可得22a =，∴椭圆的方程为2212

x y +=，

（2）①解：设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(y k x =-，

联立22(22

y k x x y ?=-??+=??，消去y 并整理得，2222(12)420k x x k +-+-=，

解得1x =，222

22212x k =+22222(12M k ∴+，2

22)12k -+．

直线PA ，PB 的斜率乘积为12-，∴直线PB 的方程112y x k

=--，联立2211222

y x k x y ?=--???+=?，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=，解得10x =，22412k x k -=+，24(12k N k -∴+，22

1212k k -+．M ，N 关于y 轴对称，∴222222401212k k k --+=++，

即2210k --=，解得222k =．

当22k +=

时，由12(2

y y x ?=???+?=-??

，解得(2P

，1)2+-，在椭圆C 外，不满足题意．

∴直线PA 的斜率为222

-，（3）由（2）可知22222(12M k -+，222)12k -+，24(12k N k -+，22

12)12k k -+

，A ，0)，(0,1)B -，∴直线MB

的方程为21y =-，

2t =，

由(112y k x y x k ?=??=--??，解得2222212P k x k -=+，222212p k y k =-+

，22222

222222222(1)(1)(()1212(12)k k k k k k PA k k k -+++=-+=++

+22222

22222222(1)(14)()(1)1212(12)k k k PB k k k -++=+-=+++2222

242(12)(1)(14)()(12)k k k PA PB k -+++

22222222

2222222(2)2(1)(1)(12)(12)(12)k k k PM k k k --++-+-=+=++

+22222222

22222224)(122)(1)(14)(12)(12)(12)k k k k k PN k k k -+-+++=+=+++

2222

242(12)(1)(14)()(12)k k k PM PN k -++∴=+ PA PB PM PN ∴= ，又APB MPN ∠=∠11sin sin 22

PAB PMN S PA PB APB S PM PN MPN ??∴=∠==∠ 7.【详解】（Ⅰ）取AD 的中点H ，连接OE ，EH ，则OH 是△1AD D 的中位线，则1//OH D D ，则正方形ABCD 中，//EH CD ，

则平面//OHE 平面11C D DC ，

OE ? 平面OEH ，

//OE ∴平面11CDD C ；（Ⅱ）依题意，12

BE EC BC AB CD ====，ABE ∴?是正三角形，60AEB ∠=?，又CDE ? 中，1(180)302CED CDE ECD ∠=∠=

?-∠=?，18090AED CED AEB ∴∠=?-∠-∠=?，即DE AE ⊥，1AA ⊥ 平面ABCD ，DE ?平面ABCD ，1DE AA ∴⊥．1AA AE A = ，DE ∴⊥平面1A AE ，DE ? 平面1A DE ，∴平面1A AE ⊥平面1A DE ．（Ⅲ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接1B C ， △1BB C 中，EF 是中位线，1//EF B C ∴11////A B AB CD ，11A B AB CD ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，可得11//B C A D 1//EF A D ∴，

可得AEF ∠（或其补角）是异面直线AE 与1A D 所成的角．

CDE ? 中，DE =，CD =，1A E =，1

AE AB ==

1A A ∴=，由此可得22

BF =，AF EF ===，2226cos 26

AE EF AF AEF AE EF +-∴∠== ，

即异面直线AE 与1A D 所成角的余弦值为6．