含参变量广义积分一致收敛的Heine定理

(20080619)实变函数期末复习指导(文本)

（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；

⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；

广义积分的收敛性

§2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。

Cauchy收敛原理

Cauchy 收敛原理 “单调有界数列必有极限。”与“夹逼定理：设有三个数列{}{}{}n n n z y x ,,满足n n n z y x ≤≤，且c z x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，则c y n n =∞ →lim 。 ”给出了数列收敛的充分条件而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy 获得了完善的结论——Cauchy 收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。 定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任意的0>ε，都存在正整数N ，当N n m >,时，有 ε<-m n a a 证明 必要性： 设a a n n =∞ →lim ，则对0>?ε，存在正整数N ，当N l >时，有 3 ε <-a a l 从而当N n m >,时，有 εε ε <+ <-+-≤-+-=-3 3 m n m n m n a a a a a a a a a a 必要性得证。 充分性 先证明数列{}n a 有界。取1=ε，由题设，必存在正整数0N ，当1,00+=>N m N n 时，有 110<-+N n a a 因而当0N n >时，有 11111000001++++++<+-≤+-=N N N n N N n n a a a a a a a a 当令{ } ,1,,,1100+=+N N a a a M ()( ) ,2,1=≤n M a n ，数列{}n a 有界。由致密性定理，数列{}n a 存在收敛的子列{} l n a ，设()∞→→l a a l n ，即对0>?ε，存在正整数L ， 当L l >时，有 3 ε < -a a l n

第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分

第十八章 含参变量的广义积分

第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈.

5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分

实变函数04级期末考试题(A)(解答)

：号学 ：名姓生学 ：级年 封 ：业专：）系（院华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期 期末考试试卷（ A 卷）（解答） 课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思 题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 得分 评阅人 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或 “错” 共 5 小题，每题 3分，共 5×3=15 分） 1、可数个可数集的并集是可数 集 对） 2、可测集 E 上的非负可测函数必 Lebesgue 可积。 （ 错 ） 3、 R n 上全体 Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。 （ 错 ） 4、非空开集的 Lebesgue 测度必大于零。 对） 5、若f n （x ）（n 1，2，L ）和 f （ x ）都为可测集E 上的可测函数，且lim f n （x ） f （x ），a.e. 于E ， n 则 f n (x) f (x) ，x E 。 得分 评阅人 1、单调收敛定理（即 Levi 定 理） 、叙述题 （共5小题 , 每题3分，共 5×3 =15 分） 错） 答：设E 是 Lebesgue 可测集， f n （x ） （n 1，2，L ）为E 上的非负可测函数，若 { f n （ x ） }是单调递 增的，记 f (x) lim f n (x)，则 lim f n ( x)dx f (x)dx 。 EE

2、R n中开集的结构定理 答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 (或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 ) 3、R n中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义(即C.Caratheodory定义) 答：设E R n，如果对任意T R n，总有 m*T m*(T E) m*(T E c) 则称E为R n中的Lebesgue 可测集，或称E是Lebesgue 可测的。 4、F.Riesz定理(黎斯定理) 答：设E为Lebesgue 可测集，f n (x) (n 1，2，L )和f (x)都是E上的几乎处处有限的可测函数，如果f n(x) f(x) x E ，则存在｛f n ( x) ｝的一个子列｛f n k(x) ｝，使得lim f n k(x) f(x) a.e.于E 。 k k k 5、有界闭区间[a,b] 上绝对连续函数的定义 答：设f (x) 是定义在有界闭区间[ a, b]上实函数，如果0，存在0 ，使得对[ a, b] 内任意有限 n 个互不相交的开区间( i, i ) i 1，2，L ，n ，只要它们的总长( i i) ，总有 i1 n f( i) f ( i) 。 i1 则称f (x) 是有界闭区间[ a, b] 上绝对连续函数。 第 1 页(共 3 页)

§3收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明 (一) 教学目的：了解收敛定理的证明． (二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明． (1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． —————————————————————————— Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点 ∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即 nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1 ++=-++∑∞ = , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数. 证明思路: 设)(x f ～ ∑∞ =++1 . sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们 要证明 )(→x S n 2 ) 0()0(-++x f x f . 即证明 0 2)0()0(lim =?? ? ??--++∞→n n S x f x f . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零. 1 写出)(x S n = ∑=++n k k k kx b kx a a 1 sin cos 2的简缩形式. ?- ++= π ππ dt t t n t x f x S n 2 sin 221 2sin ) (1 )(. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式 2 ) 0()0(-++x f x f )(x S n -可化为

Riemann积分的收敛定理

作者简介:郭明乐 (1978年 1月生 ),男,硕士 ,讲师 ,研究方向 :马氏过程和无穷粒子系统. 基金项目:安徽省高校省级自然科学重点项目(KJ2007A012),安徽省高等学校青年教师科研资助计划(2005jq1044). E-mail: mleguo @ https://www.360docs.net/doc/589413382.html,. Riemann 积分的收敛定理 郭明乐 喻娜 （安徽师范大学数学计算机科学学院 ,安徽 ,芜湖 241000） 摘要：利用 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系,给出了一组 Riemann 积分的收敛定理，深化了Riemann 积分的理论和应用. 关键词：Riemann 积分，Lebesgue 积分，单调收敛定理，控制收敛定理 中图分类号：O172.2 文献标识码：A 众所周知,由于Riemann 积分的局限性,数学工作者们相继对积分理论进行了深入的研究. 1902年Lebesgue 发表了一篇标志着从古典分析向近代分析转变的论文,从而建立了Lebesgue 积分理论 ,使得积分应用领域得到极大的拓广 .但Riemann 积分在现代科学中仍具有较大的实用价值.在实变函数已经指出:如果)(x f 在[a, b]上Riemann 可积 ,则)(x f 在[a, b]上也 Lebesgue 可积 ,且两个积分值相等，即 ? ? =] ,[)()()(b a b a dx x f L dx x f .但是这一结论对于广义 Riemann 积分 (无界函数及无穷区间上的积分 )不再成立,对广义的Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系研究目前也取得了较为完善的理论成果[1] . 这些结论为我们利用Riemann 积分来计算Lebesgue 积分带来许多方便,同时也可以利用Lebesgue 积分序列的极限的宽松条件来研究Riemann 积分序列的极限问题.本文利用Lebesgue 积分理论,获得了 Riemann 积分的单调收敛定理、控制收敛定理及有界收敛定理 ,同时给出这些定理的应用.为叙述方便，文中出现无穷区间I 指的是以下三种类型区间之一:[a, ∞), (?∞,b], (?∞, ∞),区间指的是[a, b]或无穷区间.?I dx x f )(和? I dx x f L )()(分别表示在区间I 上的Riemann 积分和Lebesgue 积 分. 引理1 [1] 若)(x f 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的 ,则)(x f 在I 上Lebesgue 可积 ,且 =?I dx x f )(?I dx x f L )()(. 引理2 [1] 若定义在无穷区间I 上的可测函数 )(x f 在任何有限区间上都是 Riemann 可 积的 ,则)(x f 在区间I 上Lebesgue 可积的充要条件是)(x f 在I 上的无穷限积分绝对收敛. 定理1 设 (i) {})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列; (ii) ..),()(e a x F x f n ≤于[a, b],且)(x F 在[a, b]上Lebesgue 可积; (iii) ..)()(e a x f x f n n ??→?∞ →于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,

由柯西收敛原理证确界存在定理说课材料

由柯西收敛原理证确界存在定理

精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 有限覆盖定理→紧致性定理 证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。 先证0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 如果不然。x ?∈[b a ，]，x δ?0φ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。由有限覆盖定理，知?E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。则 一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。 故0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 特别地，取1=ε，则?)1,1(001+-∈x x x k ， 取2/1=ε，则?)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， …… 取n /1=ε，则?)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n …… 则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0

第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理

第四节 离散鞅的收敛定理 设}0;{M n X X n ≤≤=为一数列，],[b a 为一闭区间，如果a X k <，b X k >+1，则称该数列上穿],[b a 一次。记 ?? ?≤≤>+≤≤≤=M n a X M a X M n n n n 0,,1} ,0;min{1τ ???≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n n n 111,,1} ,;min{ττσ ?? ?≤≤>+≤≤≤=M n a X M a X M n n n n 112,,1} ,;min{σστ ? ? ?≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n n n 222,,1} ,;min{ττσ … ?? ?≤≤>+≤≤≤=--M n a X M a X M n n k n n k k 11,,1} ,;min{σστ ? ? ?≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n k n n k k ττσ,,1} ,;min{ 于是b X a X ≥≤11,στ，数列穿过],[b a 一次，b X a X ≥≤22,στ，数列穿过],[b a 两次，如此下去，b X a X k k ≥≤στ,，数列穿过],[b a k 次，在这里都假设 k i M i i ≤≤≤1,,στ。 定义1-4-1 M k ≤σ的最大的k 称为数列}0;{M n X X n ≤≤=上穿],[b a 的次数，记为b a V 。若11+=M σ，则令0=b a V 。 定理1-4-1 （上穿不等式）设}0;{M n X X n ≤≤=为下鞅，则 |}|][{1]})[(])[({1 ][0a X E a b a X E a X E a b V E n M b a +-≤----≤ +++ 证明：令M n a X Y n n ≤≤-=+0,)(,则由定理1-3-2的推论1-3-2知n Y 也是下鞅。易见，若n X 穿过],[b a 一次，即b X a X i i ≥≤στ,，则,,0a b Y Y i i -≥=στ即n Y 穿过 ],0[a b -一次。所以n Y 穿过],0[a b -的次数也是b a V ，且由n X 在],[b a 上定义的

无穷限广义积分的计算(1)

指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,

第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测

第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测 一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点： ◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示； ◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异； ◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。 ◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。 ◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法； 注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。 ◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。

◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论： ① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0E f x x =??()0..f x a e =于E （称 为非负可测函数积分值为零的特征）； ② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈?()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）； ③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足： n y ，lim n n y →∞ =+∞，00y =，1n n y y δ+-<， 则()()f x L E ∈?10 [()]n n n n y mE x y f x y ∞ +=≤<<+∞∑； ④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ??，A 为可测集，总有 lim ()d 0mA A f x x →=?， 即0ε?>，0δ?>，使得A E ??，A 为可测集，当mA δ<时，总有 0()d A f x x ε≤

广义积分的收敛判别法知识分享

广义积分的收敛判别 法

第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则

由柯西收敛原理证确界存在定理

有限覆盖定理→紧致性定理 证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。 先证0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 如果不然。x ?∈[b a ，]，x δ?0 ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。由有限覆盖定理，知?E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。则 一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。 故0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 特别地，取1=ε，则?)1,1(001+-∈x x x k ， 取2/1=ε，则?)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， …… 取n /1=ε，则?)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n …… 则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0

论广义积分的收敛性

论广义积分的收敛性 摘要 广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。 1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于 ?+∞ a dx x f )(和 ?+∞ b dx x f )(,如果b>a,则 ?+∞ b dx x f )(称为 ?+∞ a dx x f )(的余部。因为改变下限积 分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即?b>a,k ≠0,都有 ?+∞ a dx x f )(收敛??+∞ b dx x f )(收敛， ?+∞ a dx x f )(收敛? ?+∞ b dx x kf )(收敛. 另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论. 2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞ ?∞，设函数f(x)在区间(?∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义 ? +∞ ∞ -)(dx x f = f x dx x 0?∞+ f x dx +∞ x 0 ， 如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散). 对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义 ?I dx x f )(=? I dx x f 1 )(+?I dx x f 2 ) (+···+ ? I dx x f n )( 如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散). 3.对于广义积分 f x dx +∞ a ，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有 界可积，并且有原函数F (x ),那么

(完整版)实变函数积分理论部分复习题(附答案版)

2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1[0,)[0,]n n ∞ =+∞= U 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

含参变量的积分

§12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分.

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

第十五章 傅里叶级数 3收敛定理的证明 预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则 2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数. 证：令S m (x)=2a 0+∑=+m 1 n n n sinnx )b cosnx (a ，则 ? π π-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ -2(x )f dx-2?ππ -m (x )f(x )S dx+?π π -2m (x )S dx. 其中 ?π π -m (x )f(x )S dx=?π π-0 f(x)2 a dx+dx cosnx f(x )a m 1 n π π-n ∑?= ??+????sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m 1 n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ?π π-2 m (x )S dx=?∑?? ????++=π π-2 m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =??? ? ??π π-2 02a dx+?∑??=??????+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴?π π-2 m (x )]S -[f(x )dx=?π π-2 (x )f dx-2 πa -2π∑∞ =1n 2n 2n )b +(a +20a 2π+π∑=m 1n 2 n 2n ) b +(a =?π π-2 (x )f dx-???20a 2π+π???∑=m 1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m 1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ?ππ-2(x)f π 1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞ =1n 2 n 2n )b +(a 的部分和数列有界， ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx. 推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则