数学模型的应用

数学建模

数模作业（第一章）

P21

第一章

6、利用节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为

4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由节中的药物中毒施救模型可知:

在胃肠道中药物的量为

0.13861()t

x t A e -=，而在血液系统中药物的量为

0.11550.13861()6()

t t y t A e e --=-，再令0.11550.13861()()/6()t

t y t y t A e

e --==-再做出()y t 的图像如下：

《

;

由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中

毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂

量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。

7、对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。 解：由题可算得：

t=0:2:20

y=275*exp*t)+*exp*t) plot(t,y,'b:')

第二章

3、根据节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。

解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23 ，

y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,] x1=0::23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on

02468101214161820

50100150200250300350

400

plot(h,y,x1,'b.')

0510152025

另一方面由(1)()()c t c t f t g +=+-，经过转化(1)()

()lim ()1

c t c t c t f t g +-'≈=-，从而

即可转为0

00()()(),()()t

t c t f x dx g t t f x f t t =

--?

是的插值函数，是某个初始时刻。又

因为要求出均流池的最大容量max ()c t ，就要令()=0c t '，即().f t g =从中求出时间t 的值，

再去求max ()c t 。从书中可知23

31

1()203.67/24t g f t m h ===∑，又有散点图中可知存在两个时间点12(8,9),(2223)t t ∈∈，

使得().f t g =接下来我们来求出这两个时间12,t t ，不妨在时间段(89)(2223)，、

，做插值并求出12,t t 即可求得128.45,22.208.t h t h ≈≈于是()c t 在1t 时刻或者2t 时刻达到最大值，显然不可能在1t 时刻。事实上，在1t 之前()f t 均小于g 所以()c t 不可能达到最大值，故只能在222.208t h ≈达到最大值。利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分

()t

t f x dx ?

，从而可以利用数学软件MATLAB 求得最大值(代码见附录4)为

3917.08m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.4m 来设计均流池。

数模作业（第二章插值法）

P56

3、题目：根据节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。

时间/h01234567

流量/

时间/h89101112131415

流量/

时间/h1617181920212223

流量/

分析：我们已知的只有数据的散点。通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。

建立matlab文件e。m文件，输入的代码为：

h=0:1:23

y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,]

x1=0::23;

t=sum(y)/24;

plot(h,y,'*-',x1,t)

hold on

plot(h,y,x1,'r+')

在matlab工作区间运行结果为：

现用插值进行运算：

在matlab 中建立M 文件 x = 0:23;

y = [ 261 279 ]; h = 0::23;

t = interp1(x, y, h, 'spline') %一维插值

利用插值后的数值来求积分

()t

t f x dx

?，从而利用如下MATLAB 代码求得最大值为

3917.0773m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.346625m 来设计均流池。

在matlab 中建立M 文件

clear; a = ; x = 0:23;

y = [ 261 279 ]; h = 0::23;

t = interp1(x, y, h, 'spline'); %一维插值 t1 = t(2:22209);

m = * (sum(t1)') - * ; Max = m + a %容量

数模作业（第四章）

1、（1）解：根据题意及表格信息，可列出下列关系试。 设投资证券A ，B,C,D,E 的证券的金额分别为

54321,,,,x x x x x ，则：

???

??

?

??

????

?≥≤++++≤+++++++≤++++++≥++++++=0,,,,1052341594

.15224045.0022.0025.0027.0043.0max 543215432143215

43214321532143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x z （1）

整理后得：

?????

????≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0

,,,,1003210403644664

045.0022.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）

在LINGO 中输入如下命令：

model :

max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;

6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=10; End

运行后所得结果：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3 X4 X5

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 5

可得：A ，C ，E 分别投资百万元、百万元、百万元，最大税后收益为百万元。

（2）由于（1）可知，增加1百万元收益增加百万元。以%借到1百万元资金需要税收百万元，故借钱合算，列出下列模型：

?????

????≥≤++++≤---+≤+--+≥++++++=0

,,,,1103210403644664

045.0024.0025.0027.0043.0max 5432154321543215432143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （3）

在lingo 中输入如下命令：

model :

max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;

6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=11; end

运行结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3 X4 X5

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 5

因此解得A ，C ，E 分别投资百万元、百万元、百万元，最大税后收益为百万元。 （3）若A 税前增加到%，则有： model :

max =*x1+*x2+*x3+*x4+*x5; x2+x3+x4>=4;

6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0; 4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0; x1+x2+x3+x4+x5<=10;

end

运行得到：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X1

X2

X3

X4

X5

Row Slack or Surplus Dual Price

1

2

3

4

5

所以不用改变投资方案。

若C税前收益减少为%，则有：

model:

max=*x1+*x2+*x3+*x4+*x5;

x2+x3+x4>=4;

6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;

4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;

x1+x2+x3+x4+x5<=10;

end

运行结果为：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X1

X2

X3

X4

X5

Row Slack or Surplus Dual Price

1

3 4 5

所以要改变投资方案。

3、假设储蓄所每天雇佣的全时服务员中从12点到1点中，为午餐时间的有名1x ，从1点到2点为午餐时间的有名2x 。半时服务员中从9点、10点、11点、12点、1点开始工作的分别为：

54321,,,,y y y y y 名。列出相应的模型：

model :

min =100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y1>=4; x1+x2+y1+y2>=3; x1+x2+y1+y2+y3>=4; x2+y1+y2+y3+y4>=6; x1+y2+y3+y4+y5>=5; x1+x2+y3+y4+y5>=6; x1+x2+y4+y5>=8; x1+x2+y5>=8;

y1+y2+y3+y4+y5<=3;

@gin (x1);@gin (x2);@gin (y1);@gin (y2);@gin (y3);@gin (y4);@gin (y5); end

运行结果为：

Global optimal solution found.

Objective value:

Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 23

Variable Value Reduced Cost X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2

4 5 6 7 8 9 10

所以最优解为x1=3,x2=4,y1=0,y2=0,y3=2,y4=0,y5=1，最小用费为820元。 4、（1）假设四个季度开始时，公司招聘的保姆数量分别为4321,,,x x x x 人，4个季度开始时

保姆总数量分别为

4321,,,s s s s 人，建立模型如下：

model :

min =s1+s2+s3+s4; 65*s1>=6000+5*x1; 65*s2>=7500+5*x2; 65*s3>=5500+5*x3; 65*s4>=9000+5*x4; s1=120+x1; s2=*s1+x2; s3=*s2+x3; s4=*s3+x4; end

运行结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost S1 S2 S3 S4 X1 X2 X3 X4

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3

5 6 7 8

9

因此，4个季度开始时，公司新招聘的保姆数量分别为0,15,0,59人。

（2）允许解雇的条件下，设4个季度开始时的保姆数量分别为4321,,,s s s s 人，4个季度公司

新招的保姆数分别为

4321,,,x x x x 人，相对应的4个季度结束时解雇的保姆数分别为

4321,,,y y y y 人，重新建立模型如下：

model :

min =s1+s2+s3+s4; 65*s1>=6000+5*x1; 65*s2>=7500+5*x2; 65*s3>=5500+5*x3; 65*s4>=9000+5*x4; s1=120+x1; s2=*s1+x2-y1; s3=*s2+x3-y2; s4=*s3+x4-y3; end

运行结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost S1 S2 S3 S4 X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Y3

Row Slack or Surplus Dual Price

2 3 4 5 6 7 8 9

因此，四个季度新招聘保姆人数分别为：0、15、0、72人。四个季度结束后解雇保姆人数分别为：0、15、0.

6、假设混合池中甲、乙、丁所占的比例分别为421,,x x x ，A 类产品中来自混合池和原料丙的吨数分别为11,z y 吨，B 类产品来自混合池和原料丙的吨数分别为22,z y 吨。优化目标总利润最大。建立模型如下： model :

max =(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-16*x1-16*12-15*x4)*y2+(9-10)*z1+(15-10)*z2; x4*(y1+y2)<=50; y1+y2<=100; y2+z2<=200;

(3*x1+x2+**z1<=0; (3*x1+x2+*y2+*z2<=0; x1+x2+x4=1; end

运行结果为：

Local optimal solution found.

Objective value:

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost X1 X2 X4 Y1 Y2 Z1 Z2

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3

5 6 7

数模作业（第六章）

对于节蛛网模型讨论下列问题：

因为一个时段上市的商品不能立刻售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1k +时段的价格

1

k y +由第1k +时段和第k 时段的数量

1

k x +和

k

x 决定。如果仍设

1

k x +仍只取决于

k

y ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较。

若除了

1

k y +由

1

k x +和

k

x 决定之外，

1

k x +也由前两个时段的价格

k

y 和

1

k y -确定。试分析稳定

平衡的条件是否还会放宽。 解：（1）记第k 时段商品的数量为k

x ，这一时段的价格为

,1,2,...k y k =

由于第1k +时段的价格

1

k y +由第1k +时段和第k 时段的数量

1

k x +和

k

x 决定，所以我们假设

1

k y +由

1

k x +和

k

x 的平均值决定，所以反映消费者对这种商品的需求关系，即需求函数为

11(

)2k k

k x x y f +++=，而供应函数不变，即为1()k k x h y +=。所以上面的式子可以分别近似

为110

0100(),02(),0k k k k k x x y y x x x y y ααββ++++?

-=-->??

?-=->?

从二式中可以得到：

210

22(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+，与节中的模型的推广的结果相

同，所以平衡点稳定的条件为2αβ<。 （2）

1

k y +由

1

k x +和

k

x 决定，

1

k x +也由

k

y 和

1

k y -得平均值决定，所以可以得到需求函数为

11(

)2k k k x x y f +++=，而供应函数为1

1()2k k k y y x h -++=。所以上面的式子可以分别近似为

模型为11001100(),02(),02k k k k k k x x y y x y y x x y ααββ++-++?-=-->???

+?-=->??

从二式中可以得到：

32142k k k k x x x x c

αβαβαβ++++++=，c 由

00

,,,x y αβ决定。所以得

到它的特征方程为

32

420λαβλαβλαβ+++=。

要使该方程的所有特征根均在单位圆内，即1

λ<,必须2αβ<。

所以平衡点稳定的条件为2αβ<。

5、在节按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为

1230,4,3

b b b ===，存活率为

121/2,1/4

s s ==，开始时3

组各有1000只。求15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布。 解：（1）由节建立的模型可知：当矩阵L 和按年龄组的初始分布向量x （0）已知时，可以

预测任意时段k 种群按年龄组的分布为：

()(0),1,2,k

x k L x k ==，这样就可以计算出时

段k 种群的各组数量。

由题目中所给数据可以得到：

0431*******L ?? ?

?

?= ? ? ??

?，

1000(0)10001000x ????=??

????，k=3 根据公式，用MATLAB 输入数据，运行如下：

>> L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; >> A=L^3 A =

0 0 >> B=[1000 1000 1000]' B =

1000 1000 1000 >> A*B ans =

14375 1375 875

由上面数据可以得到：15年后各组分别有14375只，1375只，875只。

（2）时间充分长后，求种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布情况，这就是稳定状况分析。

由定理1的内容可知：

L 矩阵有唯一的正特征根，且是单重的，它对应的正特征向量为

*21/21/8

[1,

,]

x λλ

=

同时，定理1表明L矩阵的特征方程为

3

3

(2)0

8

λλ

-+=

解得方程可以得到：

3

2

λ=

，即为固有增长率的值。

由固有增长率的值可以得到：特征向量为

*(1,1/3,1/18)T

x=。

由定理二可知：

*(1,1/3,1/18)T

x=就是表示种群按年龄组的分布状况，即稳定分布。

]