绝对值的非负性及其应用
一、绝对值的非负性及其应用
引例：(教材17页作业题A组3题)
例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正
(1)一个数的绝对值一定是正数；
(2)一个数的绝对值不可能是负数；
(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．
知识点归纳：
1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．
2、绝对值是非负数
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数
例题讲解
例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；；
(3)｜a-b｜=｜b-a｜；；
(4)若｜a｜=b，则a=b；；
（5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；；
(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。
例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于
（? ）．
（A） ? （B） ? （C） ? （D）
归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：
1．零点的左边都是负数，右边都是正数．
2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．
练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。
变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。
例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值.
变式练习：
11、任何一个有理数的绝对值一定(D)
A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于0
2已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是
(C)
A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D)
A．x＝y B．x＝－y
C．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y
变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C)
A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a |
变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A)
A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数
C．a与b异号D．a与b不相等
变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C)
A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1
变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是
(B)
A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数
变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是
(B)
A．x＜y B．x＞y
C．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较
变式训练9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于(B)
A．0 B．1 C．2 D．3
变式训练10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝__±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．
变式训练11若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝__4__．
变式训练12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
(1)| a|＋1有最__小__值__1__；
(2)5－|a|有最__大__值__5__；
(3)当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；
(4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__－2__．
变式训练13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是(D)
A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a| D．|a|＋1
变式训练14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
变式训练15不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是(B)
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
变式训练16若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__．
变式训练17当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，实数x的值等于(A)
A．999 B．998 C．1997 D．0
变式训练18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．
变式训练19若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值．
解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，
∴2 x－4＝0，y－3＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.
【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
变式训练20若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|＋c的值．变式训练21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．
(1)求a，b的值；
(2)求a－b，ab的值．
变式训练22(1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值最小值是多少
(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值最大值是多少
二次根式拓展提高讲义及答案
二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．
绝对值经典练习题精编版
绝对值专项训练 一、基础题 1、（绝对值的意义） 1°绝对值的几何定义：在数轴上表示数a 的点与__________的距离叫做数a 的绝对值，记作__________. 2°绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是_________；一个负数的绝对值是________；0的绝对值是_________. （2006年贵阳）（1）2-的绝对值等于（ ）A 、2 1 - B 、2 C 、2- D 、2 1 （2006年连云港）（2）3-等于 （ ） A 、3 B 、－3 C 、3 1 D 、 3 1- （2005年梅州）（3）设a 是实数，则|a|－a 的值（ ） A 、可以是负数 B 、不可能是负数 C 、必是正数 D 、可以是正数也可以是负数 2、（绝对值的性质）（1）任何数都有绝对值，且只有________个. （2）由绝对值的几何意义可知：距离不可能为负数，因此，任何一个数的绝对值都是_____数，绝对值最小的数是______. （3）绝对值是正数的数有_____个，它们互为_________. （4）两个互为相反数的绝对值________；反之，绝对值相等的两个数______或________. （2006年资阳）（4）绝对值为3的数为____________ 3、（有理数的大小比较）正数_________0，负数________0，正数________负数；两个负数比较大小的时候，__________大的反而小. （2005年无锡）（5）比较4 1,31,21 --的大小，结果正确的是（ ）
A 、413121 <-<- B 、314121-<<- C 、213141-<-< D 、4 12131<-<- 二、[典型例题] 1、（教材变型题）若4x -=，则x ＝__________；若30x -=，则x ＝__________；若31x -=，则x ＝__________. 2、（易错题）化简(4)--+的结果为___________ 3、（教材变型题）如果22a a -=-，则a 的取值范围是 （ ） A 、0a > B 、0a ≥ C 、0a ≤ D 、0a < 4、（创新题）代数式23x -+的最小值是 （ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、5 5、(章节内知识点综合题)已知a b 、为有理数，且0a <，0b >，a b >，则 （ ） A 、a b b a <-<<- B 、b a b a -<<<- C 、a b b a -<<-< D 、b b a a -<<-< 三、[自主练习题] 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是 （ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数 2、下列说法中正确的个数有 （ ） ①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ）
二次根式的双重非负性来解题电子教案
精品文档 精品文档 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x （4）（5）121 3-+-x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 绝对值与平方的非负性专题练习 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是（）． A. 正数 B. 整数 C. 自然数 D. 正数或零 2、下列代数式中，值一定是正数的是（）． A. x2 B. |-x+1| C. （-x）2+2 D. -x2+1 3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）． A. a2 B. |a| C. a+1 D. a2+1 4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）． A. 0 B. 1 C. -1 D. 2014 5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）． A. -1 B. 1 C. -2013 D. 2013 6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）． A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）． ①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1 a ；⑤|a|≥a． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）． A. 2 B. -2 C. 0.5 D. -0.5 二、填空题 9、整式（2x-4）2-1的最小值是______． 10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______． 11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______． 12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______． 13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______． 14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是______． 15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______． 16、已知5|3a+4|+|4b+3|=-|c+1|，a-b+c的值为______． 17、如果m、n为整数，且|m-2|+|m-n|=1，那么m+n的值为______． 第三讲绝对值 1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 2、绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的 绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即： 3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数． 二典型例题分析: 例1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？请写在题后的横线上。 (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；； (3)｜a-b｜=｜b-a｜；； (4)若｜a｜=b，则a=b；； （5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。例2、设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 例3、a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜ 例4、若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 一).填空题: 1.a ＞0时，|2a|=________；(2)当a ＞1时，|a-1|=________； 2. 已知130a b ++-=，则__________a b 3. 如果a>0，b<0，b a <，则a ，b ，—a ，—b 这4个数从小到大的顺序是__________(用大于号连接起来) 4. 若00xy z ><，，那么xyz =______0． 5.上山的速度为a 千米/时，下山的速度为b 千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是__________千米/时 (二).选择题: 6.值大于3且小于5的所有整数的和是（ ）A. 7 B. －7 C. 0 D. 5 7.知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 8.下列说法中不正确的是( ) Ａ．0既不是正数,也不是负数 B ．0不是自然数 C ．0的相反数是零 D ．0的绝对值是0 9.列说法中正确的是（ ） A 、a -是正数 B 、—a 是负数 C 、a -是负数 D 、a -不是负数 10.x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 11.a<0时，化简a a 等于（ ）A 、1 B 、—1 C 、0 D 、1± 12.若ab ab =，则必有（ ）A 、a>0,b<0 B 、a<0,b<0 C 、ab>0 D 、0≥ab 13.已知：x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 (三).解答题: 14.a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜． 15..若y x -+3-y =0 ，求2x+y 的值. 二次根式的双重非负性在解题中的运用 发表时间：2016-11-28T15:12:14.793Z 来源：《素质教育》2016年9月总第217期作者：李全莲[导读] 式子a表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。 湖北省秭归县归州镇初级中学443601 式子a表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。它在初、高中数学中占有重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件。 现列举出这一性质在中考解题中的运用归类如下，以供大家参考，不对之处敬请指正。 类型一：确定自变量的取值范围 例：若下列式子有意义，试确定x的取值范围。 评析：纵览《数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）及现行初中教材，可以归纳出在初中阶段对字母的取值有要求的只有三种情况： ①分式中的分母不能为零。 ②二次根式中被开方数要大于等于零。 ③零指数幂的底数不能为零。 抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围，通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成。 类型二：求代数式的值 评析：解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”这种模型思想。而依据《标准》，初中阶段涉及的非负数有绝对值、偶次方和二次根式。这也正符合《标准》增加的提高学生的运算能力的要求。有了这些理念，学生就能明白算理，做到运算正确、有据、合理、简洁，学生的数学思想就能自然生成。 类型三：化简 对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形： 1.默认条件。 例： 18a3b2c=3ab 2ac。 这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数。 2.给定条件。 二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 绝对值(基础) 【学习目标】 1.掌握一个数的绝对值的求法与性质; 2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义; 3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4、 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题、 【要点梳理】 要点一、绝对值 1、定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|、 要点诠释: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数;0的绝对值就是0.即对于任何有理数a 都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数就是由符号与绝对值两个方面来确定的. 2、性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总就是正数或0. 要点二、有理数的大小比较 1、数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小、 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b. 2、法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小. 3、 作差法:设a 、b 为任意数,若a -b ＞0,则a ＞b;若a -b ＝0,则a ＝b;若a -b ＜0,a ＜b;反之成立. 4、 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b <,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反. 5、 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小、 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1.求下列各数的绝对值. 112-,-0、3,0,132??-- ??? (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??- 七年级数学-绝对值练习 要点感知1 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的，记作，读作a的绝对值． 预习练习1－1 数轴上一个点到原点的距离为5，则这个点所表示的数的绝对值为． 要点感知2一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是；0的绝对值是． 预习练习2－1 (云南中考)计算：|－1 7 |＝( ) A．－1 7 B. 1 7 C．－7 D．7 2－2(六盘水中考)绝对值最小的数是． 知识点1 绝对值的意义 1．(1)－3到原点的距离是3，所以|－3|＝； (2)0到原点的距离是0，所以|0|＝； (3)|－4|是数轴上表示的点到原点的距离． 2．在数轴上，绝对值为14，且在原点左边的点表示的数为 . 3．|2 015|的意义是数轴上表示______的点与原点的距离． 4．(丽水中考)如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( ) A．－4 B．－2 C．0 D．4 知识点2 绝对值的计算 5．(西双版纳中考)－2 013绝对值是( ) A．2 013 B．－2 013 C. 1 2 013 D．－ 1 2 013 6．(梧州中考)|6|＝( ) A．6 B．7 C．8 D．10 7．下列说法中，错误的是( ) A．－12的绝对值是12 B．绝对值等于12的数只有12 C．＋12的绝对值等于12 D．＋12、－12的绝对值相等 8．若a与1互为相反数，则|a＋2|等于( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 9．在有理数中，绝对值等于它本身的数有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．无数个 10．计算：|－3.7|＝，－(－3.7)＝，－|－3.7|＝，－|＋3.7|＝． 11．求下列各数的绝对值： (1)＋81 3 ；(2)－7.2； (3)0；(4)－8 1 3 . 知识点3 绝对值的性质 12．(1)①正数：|＋5|＝，|12|＝；②负数：|－7|＝，|－15|＝； ③零：|0|＝； (2)根据(1)中的规律发现：不论正数、负数和零，它们的绝对值一定是，即|a| 0. 13．因为互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以到原点的距离为2 013的点有个，分别是，即绝对值等于2 013的数是． 14．若|a|＋|b|＝0，则a＝，b＝． 15．(昭通中考)－4的绝对值是( ) A.1 4 B．－ 1 4 C．4 D．－4 一、绝对值的非负性及其应用 引例：(教材17页作业题A组3题) 例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正 (1)一个数的绝对值一定是正数； (2)一个数的绝对值不可能是负数； (3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数． 知识点归纳： 1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立． 2、绝对值是非负数 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数 例题讲解 例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。 (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；； (3)｜a-b｜=｜b-a｜；； (4)若｜a｜=b，则a=b；； （5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。 例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于 （? ）． （A） ? （B） ? （C） ? （D） 归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。 变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。 例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值. 变式练习： 11、任何一个有理数的绝对值一定(D) A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于0 2已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是 (C) A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D) A．x＝y B．x＝－y C．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y 变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C) A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a | 变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A) A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数 C．a与b异号D．a与b不相等 变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C) A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1 变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是 (B) A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数 变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是 (B) A．x＜y B．x＞y 【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 3．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x （4）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （5）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 6.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 7.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 9．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 10. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< ` 绝对值与平方的非负性专题练习 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是（）． A. 正数 B. 整数 C. 自然数 D. 正数或零 2、下列代数式中，值一定是正数的是（）． A. x2 B. |-x+1| C. （-x）2+2 D. -x2+1 3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）． A. a2 B. |a| C. a+1 D. a2+1 ( 4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）． A. 0 B. 1 C. -1 D. 2014 5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）． A. -1 B. 1 C. -2013 D. 2013 6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）． A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）． ①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1 a ；⑤|a|≥a． ? A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）． A. 2 B. -2 C. D. 二、填空题 9、整式（2x-4）2-1的最小值是______． 10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______． 11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______． 12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______． { 13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______． 14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是 ______． 15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______． 16、已知5|3a+4|+|4b+3|=-|c+1|，a-b+c的值为______． 17、如果m、n为整数，且|m-2|+|m-n|=1，那么m+n的值为______． 18、用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它为正数或0，∴|a|的最小值为0，而-|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，∴-|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1）|a|+1有最______值______． （2）5-|a|有最______值______． < （3）当a的值为______时，-3|a-1|+2有最______值______． 三、解答题 19、若（a+6）2+|11 2 b -|+（a+2c）2=0，求（a+b+c）2017的值． 20、对于任意有理数a． ? （1）求|-1-a|+5的最小值．（2）求4-|a+1|的最大值． 21、若2|a+1|+|b|+3（c-2）2=b，求 ac a c - 的值． { 算术平方根的双重非负性 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即a x= 2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0 0=. 算术平方根定义中的两层含义： a中的a是一个非负数，即0 a≥，a的算术平方根a也是一个非负数， ≥．这就是算术平方根的双重非负性． 例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即 ≥，a2≥0， 由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案． ()2 0,20 y ≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0 ∴x-1=0，y-2=0. ∴x=1,y=2 ∴x－y＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即 ≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习： 1.若|x－2|+3 - y=0,则xy=______. 2.已知()0 2 3 2 2 12 = + + + + -z y x，求x+y+z的值. 3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范 围． 参考答案： 1. xy =6 2. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，2 3+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21- x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，2 3-=z ， 所以x +y +z = 3-． 3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ， 因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0， 所以a = 1，b = 2， 由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3． 专题复习 二次根式的双重非负性 重点提示： 对于二次根式a ，其双重非负性表现为被开方数a 为非负数，且二次根式a 本身也是非负数，利用此性质及非负数的性质可以解决问题. 【夯实基础巩固】 1．要使代数式有意义，a 的取值范围是（ D ） 2．函数y =的自变量x 的取值范围在数轴上表示为（ C ） ． B D ． 3 ．当x ＞1时，﹣ 1化简的结果是（ B ） 4．若整数m 满足条件 =m +1 且m ＜ ，则m 的值是（ C ） 5．已知 ，则2xy 的值为（ A ） A ．﹣15 B ．15 C ． D ． 6．当﹣3＜a ＜5= 8 ． 7．实数m 在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为 7 ． 8．化简 = 2 ． 9．已知a ，b 为实数，且，求 的值． 由题意得a ﹣5=0，∴a =5.∴. ∴b =﹣4．∴． 10．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|c﹣b|﹣|a+c|． 由题意得a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a+c＜0. ∴原式=|a+b|﹣|c﹣b|﹣|a+c|=（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）﹣（﹣a﹣c）=﹣a﹣b﹣c+b+a+c=0． 【能力提升培优】 11．已知a＜0，则化简的结果是（D） 12．若代数式+的值为2，则a的取值范围是（C） 13．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（D） A．B．C．﹣D．﹣ 14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则=2b-2a．15．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=74． 16．已知a＜0，化简：=﹣2． 17．计算：． 由算式可知：1﹣a＞0，3﹣a≥0，∴a＜1，|a﹣2|=2﹣a. ∴原式=?+ ?+=﹣+=0 第十六章二次根式知识点归纳 一、形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 二、取值范围 1、 二次根式有意义的条件：a ≧0。 2、 二次根式无意义的条件： a ﹤0。 3、二次根式值为0的条件：a=0 . 4、式子a b 有意义的条件：a ﹥0. 5、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ≠0 6、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ＞0 三、二次根式（）的双重非负性： 1、被开方数非负。 2、a 的值非负。 四、二次根式的化简。 1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数或0. 2a = ∣a ∣ ①若a 是正数，则∣a ∣等于a 本身； ②若a 是负数，则∣a ∣等于a 的相反数-a, ③若a 是0，则∣a ∣等于0. 2、 ()2 a =a (a ≥0). 3、被开方数是乘积用ab=a·b（a≥0，b≥0）化， 4、被开方数是商的形式用a b= b a （a≥0，b>0）或 b a = b 1 ab 5、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。 （五）二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 （六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （七）分母有理化 分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成()2a化去分母中的根号。 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 《绝对值非负性》教学设计 一、教学目标 知识与技能：理解绝对值的非负性，能熟练的应用绝对值的非负性解题。 过程与方法：在绝对值的非负性知识的形成过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括等探究创新能力和逻辑推理能力。 情感态度价值观：通过师生活动，学生合作探究，让学生充分参与到学习过程中来，体会与他人合作的重要性。 二、重点难点 重点：对绝对值非负性质的理解。 难点：利用绝对值的非负性解题。 三、教学过程 （一）做一做 教师出示问题：请同学们利用上节课的知识化简下列各组绝对值 （1）|3|= |1.8|= |3 2|= （2）|-6|= |-3.7|= |-7 2|= （3）|0|= 学生回忆上节课的内容，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，举手回答问题。 设计意图：通过求数的绝对值巩固旧知，激发学生学习的热情和自信。 （二）观察发现 教师继续提问：观察上面三组绝对值，你能得到什么结论呢？ 学生小组讨论，小组代表发言并整理，最后得出结论：绝对值具有非负性。数学符号：对任意有理数a 都有|a| 0。 设计意图：让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，通过分组、合作交流学习，逐步探索新的知识，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中构建了新知识，获得绝对值的非负性，体验新知识的导出过程。也培养了学生仔细观察问题的习惯。 （三）例题 1、例题：若|a|+|b|=0，求a,b 的值。 教师引导学生利用绝对值的非负性解决问题，并总结结论两个非负数的和为0，那么两个数都为0。 学生观察和思考，熟悉绝对值非负性的运用。 2、一题多变 变式一：若|x-3|+|y-2|=0，求x,y的值。 变式二：若|a-2|+|b-3|+|c-4|=0，求a+2b+3c的值。 学生独立完成后交流讨论，进一步巩固解题的书写步骤。 设计意图：通过变式练习，巩固所学知识，加深对绝对值非负性的认识，达到多题一解的目的。 四、教学反思 这节课教师以“计算与问题—观察与发现—归纳与概括”为教学主线引导学生探索绝对值的非负性，强调留给学生探索交流的空间，重视性质的探索过程和数学感受。在课堂中采用小组讨论交流的方式，培养学生的合作意识；引导全班同学一起探索，交流与讨论，在激发了学生学习热情的同时，获得知识的提升。 二次根式的专题提高 一、二次根式的双重非负性 例题：1、使式子 x x 2 -有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是 3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值 4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442 =--+c b c ，求a+b+c 的值。 练习： 1、使式子 1 1 --x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342 -=-+-b a a ，则b a 22 -= 3、若a a a =-+-20152014，则2 2014-a = 二、简单的二次根式的化简 例题：1、如果式子322)1(2 -=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把a b b a --1 )(根号外的因式移到根号内的结果为 练习： 1、化简（1）a a 1- （2）2 2x x x -- 2、已知a,b,c 为?ABC 的三边，化简 2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是 3、若x x +=-11，则2 )1(-x = 三、二次根式的运算与规律探究 例题：1、观察下列各式：1131432112 +?+=???+，1232543212 +?+=???+， 1333654312+?+=???+，猜测=???+20172016201520141 2练习： 1、设n,k 为正整数， ， ， ，已知 ,则 2、小明做数学题时,发现 , ,,,按 上述规律,第n 个等式是 3、设S=+ +…+，求不超过S 的最大 整数 四、分母有理化 例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如： ， 与 的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有 理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式 可以这样解： ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式 子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：① 的有理化因式是 ， 12 1 分母有理化得 ②计算： ③计算： ． ④已知,,则绝对值和平方的非负性专题练习(学生版)
第三讲 绝对值提高题
二次根式的双重非负性在解题中的运用
初三数学二次根式经典习题
绝对值基础知识讲解
七年级数学-绝对值练习及答案
绝对值的非负性及其应用
二次根式_题型归纳总结
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
绝对值和平方的非负性专题练习(学生版)
算术平方根的双重非负性
浙教版初中数学第一章 二次根式专题复习-二次根式的双重非负性(含答案)
第十六章二次根式知识点归纳
人教部编版七年级数学上册《绝对值非负性》精品课教案_4
二次根式拓展专题培优