(完整版)概率论起源的故事

概率论起源的故事

数学之所以有生命力，就在于有趣。数学之所以有趣，就在于它对思维的启迪。

以下就是一则概率论起源的故事。

更早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。

巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？

是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？

这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。若是 A赢满了5局，钱应该全归他； A如果输了，即 A、 B各赢4局，这个钱应该对半分。现在， A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4,当然， B就应该得1／4。

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。

在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用 A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。

概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。

概率论的起源与发展

概率论的起源与发展三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成

概率的起源和发展

概率论的起源与发展一、概率的起源：三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。二、数学家们参与赌博：又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。后来，这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”—— 正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的43，赢了3局的拿这个钱的4 1。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢。若是 A 赢满了5局，钱应该全归他；A 如果输了，即 A 、

B 各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A 赢、输的可能性都是 2 1，所以，他拿的钱应该是21×1+21×21=43；当然，B 就应该得41。他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。三、概率论的初步形成：惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。四、著名的“圣彼得堡问题” 1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲5个卢布。一般地，若甲前n －1次掷得反面，第n 次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少

概率论与数理统计的发展

数理统计学前沿简介（陈希孺院士访谈）一、概率论与数理统计学的产生和发展记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。陈希孺院士：我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。

这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节概率及其计算考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。五、互斥事件的概率 1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。题型归纳及思路提示题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数基本事件总数。例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；（2）若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。（2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的

概率论与数理统计概率历史介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”．事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

概率论的发展史

概率论的发展史摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。费马、帕斯卡、惠更斯对这个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行了研究。发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。关键词：概率论公理化随机现象赌博问题 17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。” 一、概率论的起源概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。 1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。 1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。该问题可以简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情1234

统计学不得不说的二三事

统计学不得不说的二三事毫不夸张地说，绝大部分国内期刊，甚至在很多低分SCI 杂志上，乱用统计学的现象多如牛毛。还有很多医疗同行，对于统计甚为迷恋，能统计的也统计，不能统计创造条件也要统计，看见P小于0.05比亲爹还亲爹。话说，统计是门很有神奇的学科，在讲之前我又要开始讲几个冷笑话，看懂了的可以举手。话说：你知道吗，这个世界上绝大多数人拥有的腿的数量高于平均值？（第一遍没有看懂的小伙伴可以去面壁）再讲一个：你知道一个普通的民众有多笨吗？世界上一半的人都比他更聪明。（其实这是不对的，世界上一多半的人都比他更聪明。因为人类的智能有上限，愚蠢却没有下限，所以不是一个完美的正态分布。）不过瘾，再讲一个：曼德勃罗有一次说，他出生在波兰，但在法国上的学，所以平均而言他是个德国人。（所以，我出生在广东，但在东北上过学，所以平均而言我是个湖北人……）好冷好冷，我们还是来讲点正事，分享几则统计小故事。1、两个指标诊断疾病的问题路人甲做了一个研究，旨在比较两个指标（A和B）对肝癌的诊断价值。路人甲以A和B的参考范围上限作为诊断界值，

得出了A和B在该界值下对应的诊断敏感性和特异性。结果表明，A的诊断敏感性为0.80，特异性为0.90；B的诊断敏感性为0.85，特异性为0.87。路人甲很快撰写论文报道了自己的研究成果，指出B诊断肝癌的敏感性高于A，而特异性低于A。路人乙是这篇文章的审稿人，当他看见这个结论后，脸色铁青，毫不犹豫地在审稿意见中写道：就敏感性而言，B高于A；就特异性而言，A高于B。诊断敏感性和特异性与所采用的界值密切相关，作者得出的敏感性和特异性仅仅代表了一个诊断界点下面的诊断效能，无法从全局上反映A 和B的诊断价值。文章的结论到底是想说明A优秀还是B 优秀呢？Reject!这个故事说明：统计指标选错了，统计出来的东西往往难以“自圆其说”。稿件被退了，路人甲有些许郁闷。经过认真学习科研设计与统计学知识后，路人甲终于明白了一个问题：两个指标诊断性能的比较是不能比较敏感性和特异性的，而应该比较ROC的曲线下面积，因为曲线下面积才是衡量整体诊断效率的最佳指标。路人甲很快绘制了ROC曲线，统计结果表明，A的曲线下面积为0.80，B的曲线下面积为0.82。路人甲欣喜若狂，赶紧动笔写论文，并且理直气壮地给文章定了一个结论：B的诊断效率是优于A 的，其理由就是因为B的曲线下面积大于A。路人丙是这篇文章的审稿人，当他看见这个结论后，脸色铁青，毫不犹豫地在审稿意见中写道：从表面上看，B的曲线下面积高于A，

概率论的那些事儿

概率论的那些事院系：自动化测试与控制系姓名：XXX 学号：1130110XXX 导师：XXXX

摘要：概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。关键字：概率论博弈发展生活发展史概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。另一方面，由于数学家参与讨论分赌本问题导致惠根斯完成了《论赌博中的计算》一书，由此奠定了古典概率论的基础。使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布伯努利。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理《伯努利大数定理》。之后，法国数学家棣莫弗在他的著作《分析杂论》中提出了著名的《棣莫弗—拉普拉斯定理》。接着拉普拉斯在1812年出版了《概率的分析理论》，首先明确地对概率作了古典的定义。经过高斯和泊松等数学家的努力，概率论在数学中地位基本确立。到了20世纪的30年代，通过俄国数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上的杰出贡献，完全使概率论成为了一门严谨的数学分支。近代又出现了理论概率及应用概率论的分支，概率论被广泛的应用到了不同范筹和不同的学科。今天概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。研究事物发生究数字重复的几率. 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。在总体上，概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2 个骰子连续掷24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数

从身边实例探究概率的起源与发展

从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。关键词：抽签；概率；起源；发展生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》

统计与概率知识点与易错题集精编版

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统计与概率㈠知识网络㈡重点：1.经历数据收集、整理、描述、分析的全过程，能从统计的角度思考与数据信息有关的问题。 2.平均数，中位数，和众数这三个统计量的不同特征。 3.会用数学的语言描述获胜的可能性，通过游戏活动，亲身感受游戏规则的公平性。难点：1.综合运用所学知识解决问题。

2.学会用概率的思想去观察和分析社会中的事物。㈢各知识点解析知识点一统计表（统计表能表示数据的多少）逐项数出各个类别的数目，用画“正”字的方法整理。把收集的数据整理后制成表格，用来反映情况，分析具体问题，这样的表格叫做统计表。统计表主要分为单式统计表和复式统计表。单式统计表只有一个统计项目，而复式统计表含有两个或两个以上统计项目。例题精讲四⑴班男生某次测试成绩记录如下。

用画“正”字的方法整理数据，再把统计表填写完整。四⑴班男生某次测试成绩统计表

思路分析：这是一道将男生某次测试成绩进行整理，并制作统计表的题。可按照统计表中划分的分数段，将原始数据进行整理，在统计时要注意有序，做到不重复，不遗漏。“正”字的每一笔画表示1人，1个“正”字表示5人。在制作统计表时，其中的“合计”表示将各个分数段的人数加起来，得出的合计人数应该和原始数据中的总人数相等。解答： 100： 90～99：正正一 80～89:正 70～79： 60～69：一四⑴班男生某次测试成绩统计表知识点二统计图统计图分为条形统计图，折线统计图，扇形统计图。 ⑴条形统计图 ①特征：用一个长度单位表示一定的数量，根据数量多少画出长短不同的线条，然后把这些线条按一定的顺序排列起来。 ②优点：很容易看出各种数量的多少。

几个经典概率故事的解读

摘要伴随着社会科学的迅猛发展，数学在生活中的应用越来越广泛，在我们的身边可以说是“无所不在”的；作为数学的一个重要部分——概率论，同样也具备着十分重要的作用.概率论是数学的一个重要分支，是专门研究讨论和揭示自然界中随机发生的现象及规律的数学学科,在实际生活有广泛的应用,把条件概率的知识运用到生活中，提出并解决问题. 关键词：条件概率；贝叶斯公式；诚信；坚持不懈

Abstract With the rapid development of social sciences ,mathematics has widely used in our daily life ,can to say no wherever ,whatever as an important part of mathematics, probability theory，and also play a very important role .Probability theory as an important branch of mathematics, it is a specialized research and reveal the random phenomenon and its regularity in mathematics discipline, has widely application in real life, can only be better reasonable use conditional probability knowledge to practice. Using probability knowledge to explain the case in real life. Keywords： Conditional Probability；Bayes formula；integrity；persistence

概率论的起源、发展及应用简述

概率论的起源、发展及应用简述一、概率论概述数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛。概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。在一定条件下，在个别试验或观察中呈现不确定性，但在大量重复试验或观察中其结果又具有一定规律性的现象，称为随机现象。亦即事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。如：以同样的方式抛置硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯。研究这类现象的数学工具便是概率论和数理统计。二、概率论的起源与发展人类认识到随机现象的存在是很早的。从太古时代起，估计各种可能性就一直是人类的一件要事。早在古希腊哲学家就已经注意到必然性与偶然性问题；我国春秋时期也已有可考词语（辞海）；即使提到数学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪。有史记载15世纪上半叶，就已有数学家在考虑这类问题了。最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述。1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》。科

概率论的起源和发展

概率论的起源和发展概率论是一门既古老又年轻的学科。说它古老，是因为产生概率的重要因素---赌博游戏已经存在了几千年，概率思想早在文明早期就己经开始萌芽了。而说它年轻，则是因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢，现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史，他们更愿意把1654年帕斯卡(Pasac)l和费马(Fomrat)之间的七封通信看作是概率论的开端。这样，概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。一般认为，概率论的历史只有短短的三百多年时间。虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后，由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1、机会的早期计算古希腊人从航海实践中发现了许多概率经验规律, 古犹太人在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录。但是由于结果不确定的特点, 人们一直认为随机现象好似运气都由天神决定, 其规则是世俗不可想象的。能够刺激人们思考概率的事情很多, 但最终孕育概率论的却是庸俗的骰子赌博。公元 960 年左右, 怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时不计次序所能出现的不同组合有 56 种。十三世纪左右拉丁诗歌《维图拉》指出这 56 种组合出现的机会不是相同的: 3 枚骰子点数一样, 每个点数只有一种方式; 2 枚骰子点数一样而另一枚不一样, 则有 3 种方式; 如果 3 枚都不一样就有 6 种方式。但是这些经验并没有引起更多的思考, 机会的计算仍处于直觉的、散乱的经验水平上。卡尔扎诺是一位医学博士, 曾在米兰讲授数学, 写过多部医学、数学等方面的著作。他认为赌博是一种社会病, 也有理由作为可以医治的疾病来研究。约在1564 年, 他集中了自己的智慧和赌博经验, 用拉丁文写出著名的《论机会游戏》, 揭示了赌博中的不确定性原理, 成为概率论前史的重要人物。书中, 卡尔扎诺强调赌博的基本原则是同等条件,“如果它们有利于对手, 那么你是傻瓜, 如果有利于自己, 那么你就不公平”。骰子应该是“诚实的”, 几个诚实的骰子联合起来仍然是诚实的, 下注应该根据这种诚实性。等可能思想的提出是卡尔扎诺的贡献之一, 为理解和解决复杂的赌博问题提供了依据。他定义了胜率(有利结果数与不利结果数之比) 表示机会的大小, 计算出了多种赌博的全部可能结果数和有利结果数, 由于当时组合数学还很贫乏, 他的计算在方法上与《维图拉》基本相同。卡尔扎诺还思考了独立事件的乘法法则, 在一番错误推理后他发现了正确方法, 例如一次的胜率是 3:1, 连续两次的胜率是 9:7。卡尔扎诺是第一个深入讨论概率问题的人, 他提出了考虑随机问题的基本原则, 建立了胜率概念和一些运算法则, 对概率理论的形成具有开创性贡献。但是他也犯了不少错误, 例如他认为在掷两个骰子时, 36 次投掷有 1 次机会出现双 6, 平均起来 18次投掷中, 出现双 6 的机会是 50%。这种推理意味着36 次投掷中必定出现一次双 6, 他没有意识到自己的错误。由于该书只有很少部分讨论机会计算, 其等可能思想

概率论论文10篇全面版

《概率论论文》概率论论文（一）：《概率论与数理统计》论文摘要概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。概率论的发展与起源 1.1概率论的定义概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1.2课题背景及研究的目的和好处现代社会步调快，信息更新快，信息量大，如何从中选取分析最有效的信息成为发展的先决条件，故概率统计学有着不可比拟的重要地位与作用。无论是在日常生活中，还是商业经济、科学研究，小到日常下雨，大到卫星发射，各种事物发展中都有概率统计的影子。在这个科技革新的时代，概率统计学必将发挥前所未有的重大影响，所以研究概率学具有十分重要的好处。