人教版五四制数学初中8年级上册同步全解
人教版初中数学八年级上册2013
目录
第十一章三角形 (4)
本章综合解说 (4)
11.1 与三角形有关的线段 (4)
学习目标 (4)
知识详解 (4)
课外拓展 (9)
11.2 与三角形有关的角 (10)
学习目标 (10)
知识详解 (10)
课外拓展 (13)
11.3 多边形及其内角和 (13)
学习目标 (13)
知识详解 (13)
课外拓展 (18)
单元总结 (18)
单元测试 (20)
第十二章全等三角形 (25)
本章综合解说 (25)
12.1 全等三角形 (26)
学习目标 (26)
知识详解 (26)
课外拓展 (32)
12.2 三角形全等的判定 (33)
学习目标 (33)
知识详解 (33)
课外拓展 (39)
12.3 角的平分线的性质 (39)
学习目标 (39)
知识详解 (39)
课外拓展 (43)
单元总结 (43)
单元测试 (47)
第十三章轴对称 (52)
本章综合解说 (52)
13.1 轴对称 (53)
学习目标 (53)
知识详解 (53)
课外拓展 (57)
13.2 画轴对称图形 (57)
学习目标 (57)
知识详解 (58)
课外拓展 (62)
13.3 等腰三角形 (62)
学习目标 (62)
知识详解 (62)
课外拓展 (67)
13.4 课题学习最短路径问题 (67)
学习目标 (67)
知识详解 (67)
课外拓展 (72)
单元总结 (72)
单元测试 (75)
第十四章整式的乘法与因式分解 (82)
本章综合解说 (82)
14.1 整式的乘法 (83)
学习目标 (83)
知识详解 (83)
课外拓展 (87)
14.2 乘法公式 (87)
学习目标 (87)
知识详解 (87)
课外拓展 (90)
14.3 因式分解 (91)
学习目标 (91)
知识详解 (91)
课外拓展 (94)
单元总结 (94)
单元测试 (97)
第十五章分式 (102)
本章综合解说 (102)
15.1 分式 (102)
学习目标 (102)
知识详解 (103)
课外拓展 (106)
15.2 分式的运算 (106)
学习目标 (106)
知识详解 (106)
课外拓展 (110)
15.3 分式方程 (110)
学习目标 (110)
知识详解 (110)
课外拓展 (113)
单元总结 (113)
单元测试 (116)
期中测试 (120)
期末测试 (129)
第十一章三角形
本章综合解说
学习目标
1.理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。
2.理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并掌握多边形的内角和与外角和公式。
内容提要
三角形是一种基本的几何图形，本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质，进而研究多边形的概念与性质。在本章，学生进一步学习通过推理得出数学结论的方法，提高推理能力。本章的有关内容有广泛的实际应用，也是学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）与平行四边形等图形知识的基础。
学法指导
三角形是基本的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。多边形概念的引入，也是类似处理的。三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180°。教科书在介绍三角形的稳定性的同时，顺带介绍了四边形的不稳定性，这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？”。然后通过实验得出三角形有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理。除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不稳定性的实际例子。对于三角形的内角和等于180°，教科书则安排求视角的实际问题作为例题，加强与实际的联系。
11.1 与三角形有关的线段
学习目标
1.认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类。
2.知道三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题。
知识详解
1.三角形的边
由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。如图，顶点是A，
B，C的三角形，记作：“△ABC”，读作三角形ABC。
边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，如图，线段AB，BC，CD是三角形的边。
顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
内角：相邻两边组成的角叫做三角形的角。如图，∠A，∠B，∠C是三角形的角。
2.三角形的分类
不等边三角形
三角形按边分类：底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
三角形按角分类：直角三角形
钝角三角形
3. 三角形三边的关系：
三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b ＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立。
注意：①判定三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可
②在实际运用中，已经两边的长度，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和作用：
①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形；“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据。
4. 三角形的高、中线、角平分线
（1）三角形的高
概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点。
（2）三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线。
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
（3）三角形的角平分线
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④可以用量角器画三角形的角平分线。
5. 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
【典型例题】
例1：如图，图中三角形的个数为（）
A ．2
B ．18
C ．19
D ．20 【答案】D
【解析】线段AB 上有5个点，线段AB 与点C 组成53（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE 上也有5个点，线段DE 与点C 组成53（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个，故选D 。
例2：如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个。
【答案】21
【解析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n 个图形中，三角形的个数是4n －3．所以当n=6时，原式=21。
例3：在△ABC 中，有一点
1
p
，当
1
p
、A 、B 、C 没有任何三点在同一直线上时，可构成
三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：
【答案】
【解析】当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=132＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=232＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是332＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是100732＋1=2015
【误区警示】
易错点1：根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围
1. 三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）
A．－6＜a＜－3
B．－5＜a＜－2
C．2＜a＜5
D．a＜－5或a＞－2
【答案】B
【解析】根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B。易错点2：三角形三边关系
2. 下列长度的三条线段（单位：厘米）能组成三角形的是（）
A．1,2,3.5
B．4,5,9
C．5,8,15
D．6,8,9
【答案】D
【解析】选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形。
【综合提升】
针对训练
1. 三角形的三条高在（）
A．三角形的内部B．三角形的外部
C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上
2. 如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
3. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个
1.【答案】D
【解析】三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确。
2.【答案】C
【解析】因为AE是△ABC的中线，所以BE＝EC＝6.又因为DE＝2，所以BD＝BE－DE＝6－2＝4
3.【答案】10
【解析】∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5
【中考链接】
A．3
B．4
C．9 2
D．5
【答案】C
【解析】∵点P在y=1
x
上，∴|x p|3|y p|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，1
a
）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=-
2
x
上，
∴A的坐标是（a，-2
a
），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是
1
a
，∵B在y=-
2
x
上，∴代入得：
1
a
=-
2 x ，解得：x=-2a，∴B的坐标是（-2a，
1
a
），∴PA=|
1
a
-（-
2
a
）|=
3
a
，PB=|a-（-2a）|=3a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：1
2
PA3PB=
1
2
3
3
a
33a=
9
2
课外拓展
三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥中的三角形。
11.2 与三角形有关的角
学习目标
1．理解三角形内角和定理的证明方法。
2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质。
3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题。
知识详解
1. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°，即可以表示为：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角。
②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角。
③三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角。
2.直角三角形的性质与判定
性质：直角三角形的两个锐角互余。
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
3. 三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
（1）外角的特征有三条：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线。
（2）三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360°；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角。
4. 三角形内角和外角的性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
【典型例题】
例1：亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图7-2-19，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到了一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于____________。”
图7-2-19
【答案】180°
【解析】三个角拼在一起构成一个平角，说明了三角形的内角和等于180°
例2：在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠C=_________
【答案】90°
【解析】令∠A=x°，则∠B=2x°,∠C=3x°,由∠A+∠B+∠C=180°，
有x+2x+3x=180，所以x=30
例3：如图7-2-20，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF=__________。
图7-2-20
【答案】68°
【解析】由题图有∠B+∠BDE=∠EDC，∠C+∠CDF=∠AFD，而∠B=∠C，∠BED=∠CDF=90°，所以∠EDC=∠AFD=158°.又∠FDC=90°，所以∠EDF=68°
【误区警示】
易错点1：三角形内角
1. 如图7-2-21所示，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，那么∠ACD等于（）
图7-2-21
A.25°
B.85°
C.60°
D.95°
【答案】D
【解析】由题有∠DAC=∠DAE=60°，又∠DAE=∠B+∠D，
所以∠D+∠DAE-∠B=60°-35°=25°.
所以∠ACD=180°-∠DAC-∠D=180°-60°-25°=95°
易错点2：三角形内角和定理
2. 一副三角板，如图7-2-26所示叠放在一起.则图中∠α的度数是（）
图7-2-26
A.75°
B.60°
C. 65°
D.55°
【答案】A
【解析】∠α与45°和60°这两个角构成一个三角形，因此由三角形的内角和等于180°，可求出∠α的度数应等于75°
【综合提升】
针对训练
1. 请阅读下列情境（图7-2-22），回答问题.
图7-2-22
2. 如图7-2-23，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AE是三角形中∠ABC的角平分线，∠B=45°，∠AED=80°，求∠C、∠EAD的度数。
图7-2-23
3. 如图7-2-25，已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
图7-2-25
1.【答案】∠A+∠B=1
2
∠C，∠A+∠B +∠C=180°，
所以1
2
∠C+∠C=180°，∠C=120°.
所以∠A+∠B=120°.
又∠A=∠B+40°，
求得∠B=40°
【解析】读懂情景中包含的意思，根据题意列出方程，从而把情境转化为数学表达式，结合三角形内角和定理求出
2.【答案】由图形有∠AED=∠B+∠BAE，所以∠BAE=35°.
所以∠BAC=2∠BAE=70°.
所以∠C=180°-∠BAC-∠B=65°.
△AED中有∠EAD=180°-80°-90°=10°
【解析】∠AED=∠B+∠BAE，可求出∠BAE，从而求出∠BAC，进一步可求∠C，利用三角形内角和定理可求出∠EAD。
3.【答案】设∠A=x°,则∠C=∠ABC=2x°，
∴x+2x+2x=180.
解得：x=36.
∴∠C=72°.
在△BDC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC=180°-90°-72°.
∴∠DBC=18°
【解析】∠DBC在△BDC中，∠BDC=90°，为求∠DBC，应先求出∠C
【中考链接】
（2013年昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）
A． 50°
B． 60°
C． 70°
D． 80°
【答案】C
【解析】由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°，故选C。
课外拓展
内角在网球里是指发球区的中心区域，发球方面在一区面对正手球员常常采用一发平击发内角，以直接得分。在棒球或垒球里，内角是指投手投出的球，在偏靠近打者位置。
11.3 多边形及其内角和
学习目标
1．掌握多边形的定义，多边形的内、外角及凸多边形的有关概念。
2．理解多边形的对角线的概念，探索一个多边形能画几条对角线。
知识详解
1.多边形及其有关概念
（1）多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形。如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE。
三角形是最简单，边数最少的多边形。 （2）多边形的边：
组成多边形的线段叫做多边形的边。 （3）多边形的内角、外角：
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。如图，∠B ，∠C ，∠D ，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角。
（4）多边形的对角线：
①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。如图，AC ，AD 就是五边形ABCDE 中的两条对角线。
②一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形。一个n 边形一共有n(n －3)
2条对角线。
多边形的对角线条数与顶点数的关系：①从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；②所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的。 （5）凸多边形和凹多边形
①在图（1）中，画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；
②在图（2）中，画出DC（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形。
2.正多边形
（1）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。如等边三角形、正方形等。
（2）特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形。如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形。
正多边形外角的特征：因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等。
3. 多边形的内角和
（1）公式：n边形内角和等于（n－2）×180°
（2）探究过程：如图，以五边形、六边形为例。
①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；
②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；
③从n边形的一个顶点出发，可以画（n－3）条对角线，它们将n边形分成（n－2）个三角形，n边形的内角和等于180°×（n－2）。
所以多边形内角和等于（n－2）×180°
（3）应用：
①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；
②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数。
4. 多边形的外角和
（1）公式：多边形的外角和等于360°
（2）探究过程：如图，以六边形为例。
①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和。
②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×（6－2）＝360°
③n边形外角和＝n×180°－（n－2）×180°＝360°
（3）理解：
①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关。
②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和。
多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带。
5.多边形内角和公式的应用
多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：
（1）已知多边形边数（顶点数、内角个数）就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式（n－2）×180°求出。
（2）已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数。
6. 多边形外角、外角和公式的应用
多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数。
同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换。
7. 正多边形知识的应用
正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数。知道一边的长度，就能知道每一边的长度。因此它的应用主要包括两个方面：
（1）已知内角（或外角）能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角（或内角）的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量。
（2）因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长。
利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360°，由360°除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.
【典型例题】
例1：填空：
（1）十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线。
（2）从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形。【答案】（1）101020735 （2）六
【解析】（1）一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出（n －3）条对角线，共有n(n －3)
2条对角线；
（2）一个n 边形从一个顶点可以引（n －3）条对角线，把n 边形分成（n －2）个三角形，所以n －2＝4，n ＝6，这个多边形是六边形。 例2：下列说法正确的个数有（ ）．
（1）由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形； （2）各边都相等的多边形是正多边形； （3）各角都相等的多边形一定是正多边形； （4）正多边形的各个外角都相等。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】（1）不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；（2）不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；（3）不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；（4）正确，因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等，故选A 。 例3：十边形的内角和为（ ）． A ．1 260° B ．1 440° C ．1 620° D ．1 800° 【答案】B
【解析】运用多边形内角和公式计算：180°×（10－2）＝1 440°，故选B 【误区警示】
易错点1：多边形的内角和应用
1. 一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有（ ）． A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．9条 【答案】D
【解析】一个多边形的内角和为720°，即180°×（n －2）＝720°，解得n ＝6，所以该多边形是六边形，六边形有6×(6－3)
2
＝9条对角线，故选D 。 易错点2：多边形外角和与外角的关系
2. 如图所示，已知∠ABE ＝138°，∠BCF ＝98°，∠CDG ＝69°，则∠DAB ＝__________。
【答案】125°
【解析】方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A ；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A 同顶点的邻补角（A 点处的外角），再求出∠A 。 【综合提升】
针对训练
1. 填空：
（1）一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；
（2）多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．2. 若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________。
3. 一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________。
1.【答案】（1）六720360（2）180°0°
【解析】（1）因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°（也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°）；
（2）多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变。
2.【答案】60°，80°，100°，120°
【解析】设每一份为x°，那么四个角分别为3x°，4x°，5x°，6x°.根据四边形内角和是360°，列出方程3x＋4x＋5x＋6x＝360，解得x＝20，然后求出各角；也可以用360°÷18＝20°，每一份是20°，然后求解。
3.【答案】10
【解析】根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程（n－2）×180＝1 440，解方程得n＝10，所以这个多边形为十边形。
【中考链接】
（2013年宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
【答案】A
【解析】多边形的边数是：360÷72=5
课外拓展
由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。
单元总结
【知识网络】
与三角形有关的线段高
三角形中线
三角形的内角和、外角和——多边形的内角和、外角和
【专题综合讲解】
1.三角形的边
由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
内角：相邻两边组成的角叫做三角形的角。
2.三角形的分类
不等边三角形
三角形按边分类：底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
三角形按角分类：直角三角形
钝角三角形
3. 三角形三边的关系：
三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b ＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立。
4. 三角形的高、中线、角平分线
（1）三角形的高
概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
（2）三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做三角形的中线。
（3）三角形的角平分线
在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
5. 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。
6. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°，即可以表示为：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
7.直角三角形的性质与判定
性质：直角三角形的两个锐角互余。
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
8. 三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
9. 三角形内角和外角的性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
10.多边形及其有关概念
（1）多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。（2）多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边。
（3）多边形的内角、外角：
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的
延长线组成的角叫做多边形的外角． （4）多边形的对角线：
①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
②一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形。一个n 边形一共有n(n －3)
2条对角线。
11.正多边形
（1）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。如等边三角形、正方形等。
（2）特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形。如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形。 正多边形外角的特征：因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等。 12. 多边形的内角和
（1）公式：n 边形内角和等于（n －2）×180° 13. 多边形的外角和
（1）公式：多边形的外角和等于360°
单元测试
一、选择题
1. 如图7-1-21，在△ABF 中，∠B 的对边是（ ）
图7-1-21
A.AD
B.AE
C.AF
D.AC
2. 已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9
3. 一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ） A ． 正六边形 B ． 正八边形 C ． 正十边形 D ． 正十二边形
4. 一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（ ） A ． 9