2020中考专题3——几何模型之定边对定角训练

【模型讲解】

2020 中考专题 3——几何模型之定边对定角

班级姓名.

∠P 保持不变，∠P 所对的边长为d 保持不变，则∠P 的顶点P 的轨迹为圆弧.（简称：定边对定角）【例题分析】

例1.在正方形A BCD 中，AD＝2，E，F 分别为边D C，CB 上的点，且始终保持D E＝CF，连接AE 和D F 交于点P，则线段C P 的最小值为.

例 2.如图，在边长为2 的等边△ABC中，点E 为AC 上一点，AE=CD，连接BE、AD 相交于点P，

则C P 的最小值为。

例3.如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线B D 交⊙O 于P点，交B C 于E点，弧A E＝CP，则A D 的最小值为（）

A．1 B．2 C．D． 4

【巩固训练】

如图 1，O 的半径为 2，弦 AB =2，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是

图 1 图 2 图 3

2. 如图 2，半径为 2cm ，圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H ，设△OPH 的内心为 I ，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B

时，内心 I 所经过的路径长为 .

3. 如图 3,以 G (0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于 C 、D 两点,点 E 为 O G 上一动点,CF ⊥AE 于 F ,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 .

4. 如图 4,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰△BCE ，CE =CB ，过 E 做 EH ⊥BC ，点 P 是△BEC 的内心，连接 A P ，若 A B =2，则 A P 的最小值为

图 4 图 5 图 6

5. 如图 5,Rt △ABC 中,AB ⊥BC ,AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ,则线段 C P 长的最小值为 .

6. 如图 6，在 R t △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点 D 为线段 B C 上一动点.以 C D 为⊙O 直径，作 AD 交⊙O 于点 E ，连 B E ，则 B E 的最小值为

. 7. 如图 7,在等腰 R t △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,BC = 4 ,点 D 是 A C 边上一动点,连接 B D ，以 A D

为直径的圆交 B D 于点 E ,则线段 C E 长度的最小值为 .

图 7

等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 为线段AC 上一动点，连接BD，过点C 作CH⊥BD 于H，连接A H，则A H 的最小值为.

图8图9图10

9.如图9，直线y=x+4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N,边长为2 的正方形OABC 一个顶点O,在坐标系的原点,直线A N 与M C 相交与点P,若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点（0,2）长度的最小值是.

10.如

图

，

矩

形

的

边

、

分

别

在

轴

、

轴

上

，

点

AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H，

在点P从点F（0,

）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为.

11.如图11，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD，则CD 的最小值为

图11

12.如图12，已知△ABC是边长为4的等边三角形，取A C 的中点Ｅ，△ABC绕E点旋转任意角度得到

△GMN，直线B N、GC 相交于点Ｈ．求△GMN绕点E旋转时过程中，线段A H 的最大值是．图 12

5 10 ? ?

2020 中考专题 3——几何模型之定边对定角参考答案

例 1【解析】解：如图，在△ADE 和△DCF 中，

? AD = DC ?∠ADE = ∠DCF

?DE = CF ∴△ADE 2△DCF （SAS ）

∴∠DAE ＝∠CDF

∵∠DAE ＋∠AED ＝90°

∴∠CDF ＋∠AED ＝90°，∴∠DPE ＝∠APD ＝90°

.∠APD ＝90°保持不变

∴点 P 的轨迹为以 AD 为直径的一段弧上

∴取 AD 中点 Q ，连接 CQ ，与该圆弧交点即为点 P ，此时 CP 值最小在 Rt △CQD 中，CQ

＝

∴CP ＝CQ －PQ ＝－1

例 2.解析：

可证△AEB ?△CDA ∴∠ABE=∠CAD ∵∠CAD+∠BAD=60°

∴∠ABE+∠BAD=60°即∠BPB=60°

∵ AB 为定边，∠APB=120°为定角

∴P 在以 AB 为弦且圆心角为 120°的圆弧上运动。可得： CP 的最小

值=C O -R =4-2=2

例 3.解：∵∠CDP ＝∠ACB ＝45°

∴∠BDC ＝135°（定弦定角最值）如

图，当 AD 过 O ′时，AD 有最小值

∵∠BDC ＝135° ∴∠BO ′C ＝90°

∴△BO ′C 为等腰直角三角形

∴∠ACO ′＝45°＋45°＝90°

∴AO ′＝5 又 O ′B ＝O ′C ＝4

∴AD ＝5－4＝1

【巩固训练】答案

1. 答案：

2. 答案： 2π cm

3. 答案： 3π 3

4. 答案： - 5 3

5 5 2 5. 答案：2

6. 答案：8

7. 答案： 2 - 2

8. 答案： 2 - 2

9. 答案： 2 - 2

10. 答案： 5 2π

11.解：连接 OD

∵D 为弦 AP 的中点，∴OD ⊥AP

∴点 D 在以 AO 为直径的圆上运动

当 CD 过圆心 O ′时，CD 有最小值过

点 C 作 CM ⊥AB 于 M

∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°

∴△OBC 为等边三角形

1 ∴OM ＝

2 ，CM ＝ 2 ∴O ′C ＝ 2

∴CD 的最小值为 7

- 1

12. 2 2

2017年北京中考数学一模28题“几何综合题”

2017年北京中考数学一模28题“几何综合题” 西城28．在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F . ①求证：△BEF 是等腰三角形； ②求证：()BF BC BD += 2 1 ；（2）点E 在AB 边上，连接CE . 若()BF BC BD += 2 1 ，在图2.中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路图1 图2 朝阳28.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＜BC ，点D 在AC 的延长线上，点E 在BC 边上，且BE =AD ， (1) 如图1，连接AE ，DE ，当∠AEB =110°时，求∠DAE 的度数； (2) 在图2中，点D 是AC 延长线上的一个动点，点E 在BC 边上（不与点C 重合），且BE =AD ，连接AE ， DE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接BF ,DE . ①依题意补全图形； ②求证：BF =DE . D D 图1 图2

东城28. 在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE. ①根据题意在图2中补全图形； ②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG； …… 请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1 图2 图3

重庆中考几何题分类汇编(含答案)

重庆中考几何题分类汇编（含答案）类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ. (1)求证：MQ＝NP； (2)求证：CN＝2CP. 针对训练： 1．如图Z3－2，在?ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF. (1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数； (2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.

2．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，E 为边AC 任意一点，连接BE. (1)如图①，若∠ABE＝15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO ＝1，求BC 的长； (2)如图②，F 也为AC 上一点，且满足AE ＝CF ，过A 作AD⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF 交BE 于点G ，连接AG.若AG 平分∠CAD，求证：AH ＝1 2 AC. 3．在△ACB 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE⊥BD 于E ，交BC 于F. (1)如图①，若AB ＝4，CD ＝1，求AE 的长； (2)如图②，点G 是AE 上一点，连接CG ，若BE ＝AE ＋AG ，求证：CG ＝2AE.

4．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD. (1)如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD ＝6时，求AE′的值． (2)如图②，在AC 上取一点E ，使得CE ＝1 3AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交 BC 于点F ，求证：DF ＝CF.

2020年重庆中考几何第26题专题训练一(含答案解析)

2020年中考几何题专题训练一答案解析 \1、已知：在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG 关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．

2、（2016春?重庆校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D为射线BC上一点，DB＝DA，E为射线AD上一点，且AE＝CD，连接BE．（1）如图1，若∠ADB＝120°，AC＝2，求DE的长；（2）如图2，若BE＝2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．

3、（2019秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60° （1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE． ①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积． 4、（2016秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC中，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．

（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD的中点F，连接AE、AF．求证：∠CAE＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝．求EH的长． 5、已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在边BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接BE、AE，DE与AB交于点H，

重庆中考第26题专题专训(教师版)

重庆中考数学第26题专题专训 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0，解这个方程，得：x 1=﹣6，x 2 =﹣1， ∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0），当x=0时，y=﹣2， ∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：， ∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2）， ∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，

∵AO=6，OC=2，∴AC===2， ∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO， ∴△PDE∽△AOC，∴=， ∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3， ∵﹣， ∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长， ∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=， ∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形， ∴AO'=AC=SC，AO'∥SC， ∴∠AMC=∠BCS， ∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS， ∵∠MC'O'=∠BCO， ∴∠AO'H=∠OCS， ∵∠AHO'=∠CGS， ∴△O'AH≌△CSG， ∴AH=SG，O'H=CG， Rt△OCB中，sin∠OCB==， ∴sin∠BC'H==，

北京中考数学几何综合题分类讲解

初三数学二模各区县试题归类评析之几何综合题分类讲解关于二模几何综合题的分类关于几何综合题的解题方法与技巧一、关注背景图形和变换操作 1.点的轴对称垂直平分线等线段或等腰△ 2.点或线段的旋转等腰△ 3.共顶点的相似△旋转全等或相似二、关注特殊条件例如：中点等腰△三线合一；RT△斜边中线；倍长中线；中位线三、关注问题 1.角度的计算或两角的关系：三角形或四边形内角和或外角；八字模型，飞镖模型；辅助圆 2.线段的关系：两条线段的关系；三条线段的关系 3.线段的计算：相似，勾股定理，三角函数，解斜△ 经典例题例1(17海淀期中).在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明． E D N M B C A O

例2(18海淀二模). 如图，在等边ABC △中，,D E 分别是边,AC BC 上的点，且 CD CE = ,30DBC ∠

历年重庆中考几何题归类

历年重庆中考几何题归类 2015A 卷 6．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与直线AB,CD 相交于点G ，H 。若1=135°，则2的度数为（） A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 9．如图，AB 是的直径，点C 在上，AE 是的切线，A 为切点，连接BC 并延长交AE 于点D ，若AOC=80°，则ADB 的度数为（） A. 40° B. 50° C. 60° D. 20° 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与轴平行，A,B 两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图像经过A,B 两点，则菱形对ABCD 的面积为（） A. 2 B. 4 C. D. 15．如图，在等腰直角三角形ABC 中，ACB=90°，AB=，以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交AB 于点D ，则阴影部分的面积是。 18．如图，矩形ABCD 中，AB=,AD=10,连接BD ，DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△，当射线和射线都与线段AD 相交时，设交点分别F,G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为。 ∠∠O e O e O e ∠∠x 3 y x = 2242∠4246∠BC E ''BE 'BC '6题图 9题图 12题图

20．如图，在△ABD 和△FEC 中，点B,C,D,E 在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E 。求证：ADB=FCE. 五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上. 25．如图1，在△ABC 中，ACB=90°，BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。（1）如图1，若点H 是AC 的中点，AC=，求AB ，BD 的长。（2）如图1，求证：HF=EF 。（3）如图2，连接CF ，CE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由。 ∠∠∠∠∠∠2318题图 16题图 20题图

2015年重庆中考数学几何证明题__(专题练习+答案详解)

2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．

中考数学几何证明压轴题

(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论. 3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 勺两条边分别重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转. (1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立， F O (1)若 s i n / A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此弭■若不成辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E (2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥延长交BD 于点F ,直线 F CF 中考专题训练 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且 AB=1, BC=2 tan / ADC=2. (1) 求证：DC=BC; ⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF 的形状，并证明你的结论; (3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，Z BEC=135 时，求 sin / BFE 的值. 2、已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的 (1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =r D -，求CD 的长 C D M B 勺直径AB 垂请证立，请说明理由. A G

北京市中考数学专题突破九：几何综合(含答案)

专题突破(九)几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 2011－2015年北京几何综合题考点对比

年份20112012201320142015 考点平行四边形的性质、从特殊到一般、构造图形 (全等三角形或等边三角形或特殊平行四边形) 旋转变换、对称变换、构造全等三角形全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，等腰直角三角形旋转的性质以轴对称和正方形为载体，考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圆及圆周角定理以正方形为载体，考查了平移作图，利用轴对称图形的性质证明线段相等及写出求线段长的过程

1．[2015·北京]在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)

重庆中考2017-2018学年上期几何证明习题一 (1)

重庆中考2017－2018学年上期几何证明习题一 1、如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，点D 是AB 边上的中点，斜边AB 的中点，DM ⊥DN ；连接DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F ；（1）如图1，若CD ＝4，求△ABC 的周长；（2）如图2，若点E 为AC 的中点，将线段CE 绕点C 旋转60°，使点E 至点F 处，连接BF 交CD 于点M ，取DF 的中点N ，连接MN ，求证：MN=2CM （3）如图3，以点C 为旋转中心将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°，使点D 至点E 处，连接BE 交CD 于点M ，连接DE ，取DE 的中点N ，连接MN ，试猜想线段BD 、MN 、MC 之间的关系并证明； 2．如图，∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°，AB ＝AC ，DC ＝DE ，连接BE ，P 为BE 的中点 (1) 如图1，若A 、C 、D 三点共线，求∠PAC 的度数 (2) 如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP (3) 如图3，若点C 线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请直接写出PD 的长度 E D A B C M N F E D A B C M N 图1 图3 图2 C B A D

3、如图，△ABC 中，以AC 为斜边向下作等腰Rt △ADC ，直角边AD 交BC 于点E ，（1）如图1，若∠ACB=30°， ∠B=45°，，求线段DC 的长；（2）如图2，若等腰Rt △ADC 的直角顶点D 恰好落在线段BC 的垂直平分线上，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接DF ，求证： 4.如图，Rt △ABC 中,∠C=90°，点D 是AC 上的一点，过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接BD ，∠ADE=∠BDE. （1）如图1，若BC=2 ，AC=4，求AE 的长；（2）如图2，AG //BD ，且AG=CD ，点F 是线段BC 的中点. 求证：∠FDC=∠DGA. 图2 图1 A B C D C B 图2 B C D 24题图 2 24题图1

重庆中考数学第18题专题1几何部分

重庆中考数学第18题专题1（几何部分） 1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是. 2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________. 3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________． 4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.

5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________. 6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。 7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是. 8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD 上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为. 9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知 AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．

2018 初三数学中考复习几何作图专项复习练习题含答案

2018 初三数学中考复习几何作图专项复习练习题 1．下列尺规作图，能判断AD 是△ABC 边上的高是( B ) 2. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是BC 边的中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连结BE ，则下列结论：①ED ⊥BC ，②∠A ＝∠EBA ， ③EB 平分∠AED ，④ED ＝12AB 中，一定正确的是( B ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( D )

①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连结EH ，HF ，FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是( B ) A ．△EGH 为等腰三角形 B ．△EGF 为等边三角形 C ．四边形EGFH 为菱形 D ．△EHF 为等腰三角形 5．如图，分别以线段AC 的两个端点A ，C 为圆心，大于12 AC 的长为半径画弧，两弧相交于B ，D 两点，连结BD ，AB ，BC ，CD ，DA ，以下结论：①BD 垂直平分AC ，②AC 平分∠BAD，③AC ＝BD ，④四边形ABCD 是中心对称图形．其中正确的有( C ) A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④ 6．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，则a 与b 的数量关系为( B )

2020北京中考数学几何解答样题库

2020北京中考数学几何解答样题库 01如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <,连接AD ，以点A 为中心将射线AD 顺时针旋转60?，与ABC 的外角平分线BM 交于点E . (1)依题意补全图1; (2)求证:AD AE =; (3)若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF . ①求证://AE CF ; ②若BE CF AB +=成立，直接写出BAD ∠的度数为 ° 02△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（0°<α <90°）得到线段AD ．作射线BD ，点C 关于射线BD 的对称点为点E ．连接AE ，CE ．（1）依题意补全图形；（2）若α=20°，直接写出∠AEC 的度数；（3）写出一个α的值，使AE =2时，线段CE 的长为31-，并证明．

3△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°<α <90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若α=20°，直接写出∠AEC的度数；，并证明．（3）写出一个α的值，使AE=2时，线段CE的长为31

4点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰ADC Rt Δ，连接BD ，在ABD Δ外侧,以BD 为斜边作等腰Rt BED △，连接EC . （1）如图1，当30DBA =?∠时： ① 求证：AC BD =； ② 判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明； A 图1 （2）如图2，当°45<∠<°0DBA 时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段BD 的垂线，交BE 延长线于点G ，连接 CG ；通过证明三角形ADB Δ≌CDG Δ全等解决以上问题；想法2：尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段AB 的垂线，垂足为点G ，连接EG .通过证明ADB Δ∽GDE Δ解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆. 过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明D 、F 、B 、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题. 请你参考上面的想法，证明EC =EB （一种方法即可）图2 E A C

重庆中考数学最新几何证明题专题

G F E D C B A H A B C D G F E 中考复习专练 1.如图所示，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取点F ，连结AF ，在AF 上取点G ，使得AG=AD ，连结DG ，过点 A 作AE ⊥AF ，交DG 于点E ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，且2 1 t a n =∠FAB ，求FG 的长；（2）求证：AE+BF=AF ． 2. 如图，□ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE ，F 为CD 边上一点，且满足∠DF A =2∠BAE ．（1）若∠D =105°，∠DAF =35°．求∠F AE 的度数；（2）求证：AF =CD +CF ． 3.如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作BE DP ⊥交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 。（1）若2AE =，求EF 的长；（2）求证：PF EP EB =+ 4. 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，过点D 作DF DE ⊥，与BC 延长线交于点F ．连接EF ，与CD 边交于点G ，与对角线BD 交于点H ．（1）若2BF BD ==，求BE 的长；（2）若2ADE BFE ∠=∠，求证： FH HE HD =+． B D 24题图 E A F C

G F P E D C B A C D E A G F B p E F G O D C B A 5. 如图，正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，∠ADE=15°,过D 作D G ⊥ED 于 D,且AG=AD,过G 作GF//AC 交ED 的延长线于F.（1）若ED=64,求AG . （2）求证:2DF+ED=BD 6. 如图，P 为正方形ABCD 边BC 上一点，F 在AP 上，且AF=AD ，FE ⊥AP 交CD 于点E ， G 为CB 延长线上一点，BG=DE ，（1）求证：DAP BAP PAG ∠+∠=∠2 1 （2）若DE =2， AB =4，求AP 的长 7. 在□ABCD 中，对角线BD BC ⊥，G 为BD 延长线上一点且AEG ?为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE 交BD 于F ，连接GE .（1）若□ABCD 的面积为93，求AG 的长；（2）求证：AE BE GE =+. 8. 如图，已知正方形ABCD ，点P 为射线BA 上的一点（不和点A ，B 重合），过P 作PE ⊥CP ，且CP ＝PE ．过E 作 EF ∥CD 交射线BD 于F ．（1）若CB ＝6，PB ＝2，则EF ＝；DF ＝；（2）请探究BF ，DG 和CD 这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明；

中考数学几何压轴题辅助线专题复习

中考压轴题专题几何（辅助线）精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D，求证：DE＝DF．精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC． (1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P，（1）当OA=时，求点O到BC的距离；（2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围；（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少．精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，求证：BD+DC＝AD．精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少

北京市2018年中考数学二模试题汇编几何综合题无答案_171

几何综合题 2018昌平二模 27.如图，在△ABC 中，AB =AC >BC ，BD 是AC 边上的高，点C 关于直线BD 的对称点为点E ，连接BE . （1） ①依题意补全图形； ②若∠BAC =α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）；（2）若DE =2AE ，点F 是BE 中点，连接AF ，BD =4，求AF 的长. （备用图） 2018朝阳二模 27.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF . （1）∠CAD = 度；（2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明. D C B A D C B A

2018东城二模 27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ． (1) ∠BPC 的度数为________°； (2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ． ①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ； (3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积． 2018房山二模 27. 已知AC =DC ，AC ⊥DC ，直线MN 经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连接CB . （1）直接写出∠D 与∠MAC 之间的数量关系; （2）① 如图1，猜想AB ，BD 与BC 之间的数量关系，并说明理由； ② 如图2，直接写出AB ，BD 与BC 之间的数量关系；（3）在MN 绕点A 旋转的过程中，当∠BCD =30°，BD= 2 时，直接写出BC 的值. 图1 图2

中考数学几何专题训练

专题八圆

8．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角n ，边数n；公式举例： (1) n = n 360 ；

（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. (2) n 1802n ? = α 二定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角三公式： 1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L= 180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 =LR 2 1 360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图）圆柱侧（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识： 1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3．三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.

A B C 第5 A B C 第6 O E 4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 d ＜r ；直线与圆相切 d=r ；直线与圆相离 d ＞r. 5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 d ＞R+r ；两圆外切 d=R+r ；两圆相交 R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 d=R-r ；两圆内含 d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 圆中考专题练习一：选择题。 1. （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（） ° ° ° ° 2、（11哈尔滨）．如上图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（）．（A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 3、（2011陕西省）9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（） A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 5、（11·浙江湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（）

2020北京中考数学几何逻辑推理样题库

2020北京中考数学几何逻辑推理样题库 01．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13． 2 甲、乙、丙的思路和结果均正确的是． 02．四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形； ②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O； ③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形； ④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形． 03.如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形. 下面四个结论中， ①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上; ①存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上; ①存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上; ①至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上. 所有正确结论的序号是.

4 . ? A B C D 中，对角线 A C 、 B D 相交于点 O ， E ①对于动点 E ，四边形 AEC F 始终是平行四边形； ①若①ABC ＜90°，则至少存在一个点 E ，使得四边形 AECF 是矩形； ①若 AB ＞AD ，则至少存在一个点 E ，使得四边形 AECF 是菱形； ①若①BAC = 45°，则至少存在一个点 E ，使得四边形 AECF 是正方形. 以上所有正确说法的序号是 . 05. 06.在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是． 07. 如图，分别过第二象限内的点P 作x ，y 轴的平行线，与y ，x 轴分别交于点A ，B ，与双曲线分别交于点C ，D ．下面三个结论， ①存在无数个点P 使S △AOC ＝S △BOD ； ②存在无数个点P 使S △POA ＝S △POB ； ③存在无数个点P 使S 四边形OAPB ＝S △ACD ．所有正确结论的序号是．

2020中考专题3——几何模型之定边对定角 训练