高三数学下期中一模试题(含答案)

高三数学下期中一模试题(含答案)

一、选择题

1．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

2．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2

2

4116x y +++=分成面积相等的两部分，则

12

2a b

+的最小值为( ) A ．10

B ．8

C ．5

D ．4

3．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x y

a a

?

?≥?≥???+≤?，若目标函数23

1x y z x ++=+的最小值为

3

2

，则正实数a 的值为（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤??

+≥??≥-?

，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9

5．数列{}n a 中，对于任意,m n N *

∈，恒有m n m n a a a +=+，若11

8

a =

，则7a 等于( ) A ．

7

12 B ．

7

14 C ．

74

D ．

78

6．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140

B ．280

C ．168

D ．56

7．在数列{}n a 中，12a =，11

ln(1)n n a a n +=++，则n a =

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

8．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式

2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）

A ．-3

B ．1

C ．-1

D ．3 9．设函数

是定义在

上的单调函数，且对于任意正数

有

，已知

，若一个各项均为正数的数列满足

，其中

是数列

的前项和，则数列

中第

18项（ ）

A ．

B ．9

C ．18

D ．36

10．在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且

2b ac =，则

a c

b

+的值为( ) A ．2

B 2

C ．

22

D ．4

11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++?+=，则67a a ＝（ ） A ．1

B ．3

C ．6

D ．9

12．若0,0x y >>，且21

1x y

+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-

B ．(,8)(1,)-∞-?+∞

C ．(,1)(8,)-∞-?+∞

D ．(1,8)-

二、填空题

13．已知lg lg 2x y +=，则11

x y

+的最小值是______.

14．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2

C A π

-=

，1sin 3

A =

，3a =，则b =______.

15．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，2

1313S a =，则{a n }的首项的所

有可能值为______

16．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且

4a b f f k k ????

+ ? ?????

的最小值为1，则实数k 的值为______． 17．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤??

--≤??≥?

，则实数m 的取值范围为

_______．

18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .

19．设数列{a n }的首项a 1＝

3

2

，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足

2188177

n n S S <<的所有n 的和为________． 20．在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且

22a c ac bc -=-，则

sin c

b B

的值为________. 三、解答题

21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141

n n n b T S =

-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，

()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．

22．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 23．已知函数2

2

1

()cos sin ,(0,)2

f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；

（2）设ABC V 为锐角三角形，角A

所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．

24．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122

log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n n

S n ++>成立的正整数n 的最小值．

25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =

，n a （*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：当2n ≥时，12311113

232

n a a a na ++++

,221

n n n a a a a +=

=+. （1）证明数列1n a ??

?

???

是等差数列，并求{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足1

2n n n

b a =

g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以611611115

0,0,,2

a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2

n d

S n =

--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 2．B

解析：B 【解析】 【分析】

由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】

圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即

41a b +=，故

()121284448222b a a b a b a b a b ??+=++=++≥+= ???，当且仅当

82b a

a b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()2

2

2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是

()4,1.

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及

数形结合进行求解即可.【详解】

目标函数

()

121 23

1

12

111

x y

x y y

z

x x x

+++

+++

===+?

+++

，

设

1

1

y

k

x

+

=

+

，则k的几何意义是区域内的点与定点(1,1)

D--连线的斜率，

若目标函数

23

1

x y

z

x

++

=

+

的最小值为

3

2

，即12

z k

=+的最小值是

3

2

，

由

3

12

2

k

+=，得1

4

k=，即k的最小值是

1

4

，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由斜率的意义知过D的直线经过()

3,0

B a时，直线的斜率k最小，此时

011

314

k

a

+

==

+

，得314

a+=，得1

a=.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】

画出满足约束条件2

36

y x

x y

y x

≤

?

?

+≥

?

?≥-

?

的可行域，如图，

画出可行域ABC ?，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，

由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，

2z x y =+的最大值为9.

故选D. 【点睛】

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

5．D

解析：D 【解析】

因为11

,8

m n m n a a a a +=+=

,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 7347

8

a a a =+=.选D.

6．A

解析：A 【解析】

由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为

()

110101028

1402

2

a a +?=

=，故选A. 7．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +??-=+

???

112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+??????+-+

12ln

ln ln 2121n n n n -=++??????++-- 12

ln(

)2121

n n n n -=????????+-- ln 2n =+ 故选A. 8．A 解析：A 【解析】 【分析】

根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出

,a b ，可得答案.

【详解】

由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().

因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b

-+=-??-?=?,即=1

2a b -??=-?. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】

本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.

9．C

解析：C 【解析】

∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单

调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=

a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0

∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以

故选C

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3

B π

=

，再由余弦定理，求得

()2

24b a c =+，即可求解，得到答案．

【详解】

在ABC ?中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，

所以sin 30B B =，即tan 3B =3

B π

=

，

由余弦定理得2

2

2

2

2

2

2

2

2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2

24b a c =+，解得2a c

b

+=，故选A ． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知

()6

121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.

【详解】

由3132312log log log 12a a a +++=L ，

可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6

121212673a a a a a ==L ，

679a a ∴= .

【点睛】

本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

将代数式21

x y

+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转

化为解不等式()2

min 72m m x y +<+，解出即可.

【详解】

由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ??+=++=++≥=

???

，

当且仅当()4,0y x

x y x y

=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2

min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<.

因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】

本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．

二、填空题

13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填

解析：1

5

【解析】

由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以

1111111

()1001005

xy x y x y x y ??+=+=+≥ ???，当且仅当10x y ==时，取等号，故填

1

5

. 14．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外

解析：7

【解析】 【分析】

先求出sin 3

C =，再利用正弦定理求c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2

C A π

-=

，所以2C A π

=

+，故sin sin cos 2C A A π??

=+= ???

， 且A

为锐角，则cos A =

sin C = 由正弦定理可得

sin sin a c A C =

，故3sin 31sin 3

a C

c A

?

=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，

故297223

b b =+-?即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故

c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】

三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；

（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.

15．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首

解析：34，

- 【解析】 【分析】

根据题意，化简得2

2

111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2

2

13113112S a a a --=-，进而得

到2

11120a a --=，即可求解结果.

【详解】

因为22111n n n a a a ++-=-，所以22

111n n n a a a ++-=-， 所以222222

2213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，

将以上各式相加，得22

13113112S a a a --=-，

又21313S a =，所以2

11120a a --=，解得13a =-或14a =.

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

16．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的

解析：9 【解析】 【分析】

由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出

4()()a b

f f k k +的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】

∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=?，即11

k a b

+=， ∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=+

+19(5k k

≥+=，当且仅当4a b b a

=时等号成立． ∴

9

1k

=，9k =． 故答案为：9． 【点睛】

本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．

17．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划 解析：(,1]-∞

【解析】

试题分析：由题意，由2{

30

y x

x y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在

点(,)x y 满足约束条件30,

{230,,

x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围

(,1]-∞．

考点：线性规划．

18．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -

【解析】 【分析】 【详解】 由题意，1423149

8

a a a a a a +=??

?=?=?，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，

而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，

即34

1

8a q a =

=，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112

n n

n n a q S q --=

==---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.

19．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1

解析：7 【解析】

由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即

1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3

4，易得21

a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1

＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221

12

n

????-?? ???

????-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12

)2n ]

代入1817<

2n n S S <8

7，可得117<(12

)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 20．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题

【解析】 【分析】

利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =?，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1

sin sin c b B A

=，从而得到所求之值. 【详解】

∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.

在ABC ?中，由余弦定理2221

cos 22

c b a A bc +-== ，

因()0,A π∈，∴60A =?. 由正弦定理得

2sin sin sin sin sin sin c C C

b B B B B

==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，

故

2sin sin 1sin sin sin sin C C B A C A ===

. 故答案为

. 【点睛】

在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.

三、解答题

21．（1）*

21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==

【解析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得

112512238a d a d +=??

+=?，解得11

2a d =??=?

，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2122

n n n S n n -=+

?=，由2111141

22121n b n n n ??

=

=

- ?--+??

，利用

裂项相消法得21

n n T n =+，若2

3k m T T =，则()2

232121k m k m =++，整理得22

3412m k m m =+-，由1k m >>

得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

由2541216a a S +=??=?得112512238a d a d +=??+=?，解得112a d =??=?

，

()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；

（2）()2122n n n S n n -=+

?=，

2111141

22121n b n n n ??

∴=

=

- ?--+??

，

1211111

111111123352321212122121

n n n T b b b n n n n n n ????????????∴=++???+=

-+-+???+-+-=-= ? ? ? ? ???---+++???????????? ，

若2

3k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得22

3412m k m m =+-，

又1k m >>，2

234121m m m m m ?>?∴+-??>?，整理得222104121m m m m m ?-->?

+-??>?

，

解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】

本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题． 22．（1）证明见解析 （2）()11222

n n n n S ++=-

-

【分析】

(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.

(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】

（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+

所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则

1

2n n

b b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.

（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2n

n a n =-,

所以()()(

)()

2

3

2122232n

n S n =-+-+-+???+-

()

()232222123n n =+++???+-+++???+

(

)()()1

212112

2122

2

n

n n n n n +-++=

-=-

--

【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.

23．（1）,2p p 轹÷ê÷÷ê??

；（2

）4 【解析】 【分析】

（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.

（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】

（1）依题意()()2

2

11

()cos sin cos 20,π22

f x x x x x =-+

=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -

≤≤，令1k =得π

π2

x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p

p 轹÷ê÷÷ê??

. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π

0,02π2

A A <<

<<.由()0f A =，得

11cos 20,cos 222A A +

==-，所以2ππ2,33

A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-?，2560c c -+=，解得2c =或3c =.

当2c =

时，222cos 0238

a c

b B a

c +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角

三角形矛盾.所以3c =. 所以三角形ABC

的面积为11sin 5322bc A =??=

【点睛】

本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.

24．（1）2n

n a =；（2）6．

【解析】

试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，

∴2420a a +=，∴212

118

{20a q a q a q =+=，解之得12

2a q =??=?

或132

{12

a q ==， ∵1q >，∴122

a q =??

=?，∴数列{}n a 的通项公式为2n

n a = （2）∵112

2

log 2log 2?2n n n

n n n b a a n ===-，

∴(

)2

1222?2n n S n =-?+?++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①

(

)23

1

21222?2?2n

n S n n +=-?+?+++L ，．．．．．．．．．．．．．②

②—①得()

2

31111

2122222?2?222?2

12

n

n n n n n n

S n n n ++++-=+++-=-=---L

∵1·

262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·

262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 25．(1) 21n a n =- (2)见证明 【解析】 【分析】

(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；

(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】 （1

）由n a =

1n n S S --=+

1(2)n =≥，

所以数列

1==为首项，以1为公差的等差数列，

1(1)1n n =+-?=，即2

n S n =，

当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，

当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-；

（2）当2n ≥时，

111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ??==- ?--??

， 所以

123111123n a a a na +++???+1111111122231n n ??<+-+-++- ?-??L 313222

n =-< 【点睛】

给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 26．（1）12n a n

=；（2）1242n n n

S -=-+.

【解析】 分析：（1）121n n n a a a +=

+两边取倒数可得

1112n n

a a +-=，从而得到数列1n a ??

????

是等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22

n n n

b =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=

+，∴

111

2n n

a a +-=， ∴1n a ??

?

???

是等差数列， ∴

()1

11

122n n n a a =+-=， 即12n a n

=

； （2）∵22n n

n b =

， ∴1221231222

n n n n

S b b b -=+++=+

+++L L ，

则

23112322222

n n n S =++++L ， 两式相减得2311111111212222222

2

n n n n n n n

S L -?

?=+++++-=-- ???， ∴1

242n n n

S -+=-

. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.