第三章 综合素质检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1

[答案] C

[解析] 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1. 2．(2012·课标全国文，2)复数z ＝－3＋i

2＋i 的共轭复数是( )

A ．2＋i

B ．2－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

[答案] D

[解析] 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念． z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，故z 的共轭复数为

－1－i.

3．(2012～2013学年度山东沂水县高二期中测试)若a 、b ∈R ，i 是虚数单位，且(1＋a i)i ＝1－b i ，则在复平面内，复数a ＋b i 所对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 [答案] C

[解析] ∵(2＋a i)i ＝1－b i ，

∴－a ＋2i ＝1－b i ，

∴????? －a ＝1－b ＝2，∴?????

a ＝－1

b ＝－2

， ∴复数a ＋b i ＝－1－2i 所对应的点在第三象限． 4．设复数z ＝2＋i (1＋i )2，则复数z 的虚部是( )

A.12 B ．－1 C ．－i D ．1

[答案] B

[解析] z ＝2＋i 2i ＝－2i ＋12＝1

2－i ，∴复数z 的虚部是－1. 5．复数i 2＋i 3＋i 4

1－i ＝( )

A ．－12－12i

B ．－12＋1

2i C.12－12i D.12＋12i [答案] C

[解析] ∵i 2＋i 3＋i 4＝－1＋(－i)＋1＝－i ， ∴原式＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－1

2i.

6．已知复数z 满足2－i

z ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．4＋3i B ．4－3i C ．－i D ．i [答案] D

[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i

＝(2－i )(1－2i )5＝2－4i －i －2

5

＝－i ，∴z ＝i.

7．复数? ??

??1－i 1＋i 10

的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32

[答案] A

[解析] 本题主要考查复数的基本运算，1－i

1＋i ＝－i ，(－i)10＝－1，

故选A.

8．复数z ＝2－i

2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] D

[解析] ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝4－4i －15＝35－4

5i. ∴z 在复平面内对应的点为 (35，－4

5)，故选D.

9．若复数z ＝a ＋3i

1－2i (a ∈R )，且z 是纯虚数，则|a ＋2i|等于( )

A. 5 B ．210 C ．2 5 D ．40 [答案] B

[解析] z ＝a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )5＝a ＋2a i ＋3i －6

5＝a －6＋(2a ＋3)i

5

，

当z 为纯虚数时，?

????

a －6＝0

2a ＋3≠0，得a ＝6，

∴a ＋2i ＝6＋2i ， ∴|a ＋2i|＝210.

10．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )

A.π

6 B.π4 C.π3 D.π2

[答案] D

[解析] ∵z 2

＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴?????

cos2θ＝－1

sin2θ＝0

，

∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π

2.令k ＝0知，D 正确．

11．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )

A ．1＋5

2i B ．－1＋5

2i C ．1－5

2i D ．－1－5

2i

[答案] D

[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，

∴?????

y ＝－12t ＋1＝－(3－y )

，∴??

?

t ＝－5

2y ＝－1

.

∴x ＋y ＝－1－52i.

12．定义运算??

????

a b c d ＝ad －bc ，则符合条件????

??1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )

A ．3－i

B ．1＋3i

C ．3＋i

D ．1－3i

[答案] A

[解析] 由定义知????

??1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝

4＋2i

1＋i ＝3－i.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. [答案] 6－2i

[解析] 本题考查了复数的基本运算． ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i.

14．已知a 、b ∈R ，且a －1＋2a i ＝4＋b i ，则b ＝________. [答案] 10

[解析] 由已知得????? a －1＝42a ＝b ，得?????

a ＝5

b ＝10

.

15．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1

z 2

为纯虚数，则实数a 的值为

________．

[答案] 8

3

[解析] z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )

(3－4i )(3＋4i )

＝3a ＋4a i ＋6i －825

＝3a －825＋4a ＋6

25i ， ∵z

1z 2

为纯虚数，∴???

3a －825＝0

4a ＋6

25≠0

，∴a ＝8

3.

16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝5

3＋i ，则复数z

在复平面对应的点位于第________象限．

[答案] 四

[解析] ∵a 、b ∈R 且

a 1－i ＋

b 1－2i ＝53＋i

， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，

∴????? 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得?????

a ＝7

b ＝－10

. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．

(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．

(3)由?

????

2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12， 即m ＝－1

2时，z 为纯虚数．

18．(本题满分12分)已知复数z 满足z z －i(3z )＝1＋3i ，求z . [解析] 将方程两边化成a ＋b i 的形式，根据复数相等的充要条件来解．

设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则z ·z －＝x 2＋y 2， 3z ＝3x ＋3y i 3z ＝3x －3y i

∴x 2＋y 2－3y －3x i ＝1＋3i ，

由复数相等得?

????

x 2＋y 2

－3y ＝1

－3x ＝3，

解得????? x ＝－1y ＝0，或?????

x ＝－1

y ＝3

.

∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.

19．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是复

数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．

[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得 x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， 根据复数相等的充要条件，得

?

????

x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2. 方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3.

20．(本题满分12分)设a 、b 为共轭复数，且(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，求a 和b .

[解析] ∵a 、b 为共轭复数，∴设a ＝x ＋y i(x 、y ∈R ) 则b ＝x －y i ，

由(a ＋b )2－3ab i ＝4－6i ，得 (2x )2－3(x 2＋y 2)i ＝4－6i ，

即?????

4x 2

＝4－3(x 2＋y 2

)＝－6， ∴????? x 2＝1y 2＝1， ∴?????

x ＝±1y ＝±

1. ∴a ＝1＋i ，b ＝1－i ；a ＝－1＋i ，b ＝－1－i ； a ＝1－i ，b ＝1＋i ；a ＝－1－i ，b ＝－1＋i. 21．(本题满分12分)已知z ＝1＋i ， (1)求w ＝z 2＋3z －4；

(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b 的值．

[解析] (1)w ＝(1＋i)2＋3(1－i)－4

＝2i ＋3－3i －4＝－1－i. (2)z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a ＋a i ＋b (1＋i )2－1－i ＋1 ＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i ， ∴(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i ， ∴a ＝－1，b ＝2.

22．(本题满分14分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 1

2(3－m )(m ∈R )． (1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得

???

log 2(1＋m )<0， ①log 1

2(3－m )<0， ②

解①得－1

故不等式组的解集为{x |－1

(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12

(3－m ))在直线x －y －1＝0

上，

即log 2(1＋m )－log 12

(3－m )－1＝0，

整理得log 2(1＋m )(3－m )＝1. 从而(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0，

解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.

1．若复数a ＋3i

1－2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值

为( )

A ．－2

B ．4

C ．－6

D ．6

[答案] D

[解析] a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )

(1－2i )(1＋2i )

＝a －6＋(3＋2a )i 5

＝a －65＋3＋2a 5i. 由纯虚数的定义，得a －65＝0，且3＋2a

5≠0， 解得a ＝6，故选D.

2．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x 、y ∈R )互为共轭复数，则z 1

对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] C

[解析] 由已知得????? x －2＝3x y ＝－1，∴?????

x ＝－1

y ＝－1

.

∴z 1＝－3－i ，故选C.

3．复数(3i －1)i 的共轭复数是( ) A ．3－i

B ．3＋i