第三章 综合素质检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π

2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )

A ．k 1>k 2

B ．k 1

C ．k 1＝k 2

D ．不确定

[答案] A

[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ， ∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π

2＝0， k 1>k 2.

2．函数y ＝x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ′＝x 2cos x －2x sin x D ．y ′＝x cos x －x 2sin x [答案] B

[解析] y ＝x 2cos x ，y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′ ＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.

3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )

A ．4x －y －3＝0

B ．x ＋4y －5＝0

C ．4x －y ＋3＝0

D ．x ＋4y ＋3＝0 [答案] A

[解析]考查斜率与导数及直线方程基本知识．

因为y′＝4x3，由y′＝4得x＝1.而x＝1时y＝1，故l方程为4x－y－3＝0.

4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为()

A．(1,3) B．(－1,3)

C．(1,0) D．(－1,0)

[答案] C

[解析]设P(x0，y0)，f′(x)＝4x3－1，

由题意得f′(x0)＝3，

∴4x30－1＝3，∴x0＝1.

∴y0＝x40－x0＝0，故选C.

5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x的单调增区间为()

A．(－∞，＋∞) B．(－∞，－1)

C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)

[答案] A

[解析]f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)

＝3(x＋1)2≥0对x∈R恒成立，

所以f(x)＝x3＋3x2＋3x在R上为增函数，故选A.

6．(2012～2013学年度河南漯河市高二期末测试)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()

A．－2 B．0

C．2 D．4

[答案] C

[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，

f′(x)＝0得x＝0或2(舍去)

又f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2

∴f(x)在区间[－1,1]上的最大值为2.

7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是()

A．m<0 B．m<1

C．m≤0 D．m≤1

[答案] C

[解析]f′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；

当m≠0时，由题意得m<0，

综上可知m≤0.

8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为()

A．20 B．9

C．－2 D．2

[答案] C

[解析]由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，

∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，

又点(2，－1)在抛物线上，

∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.

9．函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为()

A．－

5

5 B.

5

5

C.22 D ．1

[答案] C

[解析] f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，∴f ′(0)＝1. 设f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为α，则tan α＝1， ∵α∈(0，π)，∴α＝π4，∴cos α＝2

2.

10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝－2x ＋4

C ．y ＝－x

D ．y ＝－x ＋2

[答案] A

[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .

11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )

[答案] D

[解析]解法一：由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.

解法二：观察f(x)的图象可见f(x)的单调性为增、减、增，故f′(x)的值为正、负、正，故选D.

12．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是()

A．(－∞，7] B．(－∞，－20]

C．(－∞，0] D．[－12,7]

[答案] B

[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．

∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，

f(2)＝－20.

∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，

故m≤－20，综上可知应选B.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线的倾斜角为________． [答案] π

4

[解析] y ′＝1

x ，曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线的倾斜角为π

4.

14．f (x )＝ax 3－2x 2－3，若f ′(1)＝5，则a 等于________． [答案] 3

[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2－4x ， ∴f ′(1)＝3a －4＝5，∴a ＝3.

15．函数y ＝f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________． [答案] －1

[解析] f ′(x )＝1

x －1，令f ′(x )＝0，即x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

max 16．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．

[答案] a <－1

[解析] ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . 当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a <0.

由e x＋a＝0，得e x＝－a，∴x＝ln(－a)．

∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．

∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.

∴a<－1.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)已知曲线y＝1

t－x

上两点P(2，－1)、Q(－1，

1

2)．

求：(1)曲线在点P处、点Q处的切线斜率；

(2)曲线在点P、Q处的切线方程．

[解析]∵－1＝1

t－2

，∴t＝1

∴y＝1

1－x ，∴y′＝

1

(1－x)2

.

(1)当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1，

当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝1 4.

(2)当P为切点时，切线方程为x－y－3＝0；

当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0.

18．(本题满分12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．

[解析]显然a≠0(否则f(x)＝b与题设矛盾)，由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]得，x＝0.

(1)当a>0时，列表：

f(x)在[0,2]上是减函数．

且当x＝0时，f(x)有最大值，从而b＝3.

又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，

∵a>0，∴f(－1)>f(2)，

从而f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.

(2)当a<0时，用类似的方法可判断当x＝0时，f(x)有最小值，当x＝2时，f(x)有最大值，

从而f(0)＝b＝－29，f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－2.

综上，a＝2、b＝3或a＝－2、b＝－29.

19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

[解析](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．

∵在(－1,3)上f′(x)>0，

∴f(x)在(－1,2]上单调递增．

又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．

于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.

∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7.

20．(本题满分12分)(2012·安徽文，17)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1

ax ＋b (a >0)．

(1)求f (x )的最小值；

(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3

2x ，求a 、b 的值．

[解析] (1)由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1

ax ＋b ≥2＋b ， 其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1

a 时，f (x )取最小值为2＋

b . (2)f ′(x )＝a －1

ax 2，

由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝3

2，

解得a ＝2或a ＝－1

2(不合题意，舍去)． 将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝3

2，解得b ＝－1， 所以a ＝2，b ＝－1.

[点评] 本题考查均值不等式，导数应用，方程求解等基础内容．在应用均值不等式时保证“一定、二正、三相等”，并明确等号成立的条件．第(1)问也可用导数研究其单调性再求最小值．

21．(本题满分12分)(2012～2013学年度辽宁大连24中高二期末

测试)已知函数f (x )＝ax 3＋bx (x ∈R )．

(1)若函数f (x )的图象在点x ＝3处的切线与直线24x －y ＋1＝0平行，函数f (x )在x ＝1处取得极值，求函数f (x )的解析式，并确定函数的单调递减区间；

(2)若a ＝1，且函数f (x )在[－1,1]上是减函数，求b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx (x ∈R )， ∴f ′(x )＝3ax 2＋b .

由题意得f ′(3)＝27a ＋b ＝24， 且f ′(1)＝3a ＋b ＝0， 解得a ＝1，b ＝－3. 经检验成立． ∴f (x )＝x 3－3x . 令f ′(x )＝3x 2－3<0， 得－1

∴函数f (x )的减区间为(－1,1)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋bx (x ∈R )， 又∵f (x )在区间[－1,1]上是减函数，

∴f ′(x )＝3x 2＋b ≤0在区间[－1,1]上恒成立， 即b ≤－3x 2在区间[－1,1]上恒成立， ∴b ≤(－3x 2)min ＝－3.

22．(本题满分14分)某商场预计2011年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝1

2x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *且x ≤12)．

(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；