最新四种线性代数模型资料
线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。
实验一 生物遗传模型
1.工程背景
设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?
2.问题分析
分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。
表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对
AA —AA
AA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa
1/4
1/2
1
3.模型建立与求解
设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。
则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ?? ?= ? ???，0(0)
00a x b c ?? ?= ? ???表示植物型的初始分布。依据上述基
因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，111
2
n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为
矩阵形式
11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---??????
? ???
= ? ??? ? ?????????
记11/2001/21000M ?? ?= ? ???
，则()(1)
2(2)3(3)(0)n n n n n x Mx
M x M x M x ---=====。 于是问题归结为如何计算n
M ，可将M 对角化。易于计算M 的特征值为1、1/2、0，
其相应的特征向量为(1,0,0)T ，(0,1,0)T -，(1,2,1)T
-。
令101012001P ?? ?=-- ? ???，则1
11/2001/21000M P P -?? ?= ? ???
。
于是()
(0)
1(0)11/2001/21000n
n n x
M x P P x -?? ?
== ? ???
1
(0)1011
001010120(1/2)0012001000001n
n x -?????? ? ? ?=---- ? ? ? ? ? ???????
11000001(0)100
11(1/2)1(1/2)(1/2)(1/2)01/21/2(1/2)(1/2)0000n n n n n n n n a b c b c x b c ----????--++-- ? ?==+ ? ? ? ?????
1001
001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --??-- ?=+ ? ???
。
当n →∞，1,0n n a b →→，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA 型。
实验二 员工培训问题 1.工程背景
某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援
其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n n x y ??
???
。 2.问题
问题1：第n+1年熟练工与非熟练工所占比例11n n x y ++??
???
与第n 年熟练工与非熟练工所占比例n n x y ??
???
的关系。 问题2：若第1年熟练工与非熟练工所占比例为111212x y ??
?
??= ? ? ?
?? ???
，求11n n x y ++?? ???。
3.模型建立与求解 依据题意，有1521()656
n n n n x x x y +=
++，131
()56n n n y x y +=+。
整理化简得119210513105n n n n n n x x y y x y ++?=+???
?=+??，
即119
21051
310
5n n n n x x y y ++?? ?????=
? ? ?
????? ???，记
9
21051310
5A ??
?= ? ? ???
，亦有11n n n n x x A y y ++????= ? ?????。 由问题1结果，有112111212n n n n n n n x x x A A A y y y +-+-?? ???????===
= ? ? ? ? ???????
???
。 问题归结为求n
A ，可将A 对角化。易于计算1、1/2是矩阵A 的两个特征值，且相应的特征向量为()()4,1,1,1T
T
-。
记4111P -??
= ???
，则1921010511302105P P -??
??
? ?=
? ? ? ?????
11104()44()411111221111411550()1()14()222n n n n n n A ?
?+-?? ?
-???? ?==
? ? ? ?-???? ?-+ ?
??
??
。
因此111183()122111023()22n n n n n x A y ++???
?- ? ???== ?
? ? ? ???
+ ? ?????。
实验三 多金属分选流程计算
1. 工程背景
设,j γγ—原矿产率及第j 种产品产率，%，100%γ=；
i α—原矿中第i 种金属品位，%；
ij β—第j 种产品中第i 种金属品位，%；
ij
β
ε—第j 种产品中第i 种金属的理论回收率，%；
按照金属平衡和产率平衡进行计算。为了计算方便，尾矿视为产品。 金属平衡， 1
,1,2,
,n
i j
ij j i m γαγ
β==
=∑
产品平衡，
1
100%n
j
j γ
==∑
其中，尾矿产率及金属品位为,n i in θγγθβ== 解次多元线性方程组求出产品产率。
各产品任一金属回收率1
100%
ij
j ij
n
j
ij
j βγβγ
βε
=?=
∑。
2. 问题
某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、锌、硫精矿和尾矿，已化验知各产品的金属品位（见下表），试计算各产品产率和回收率。
表6-5各产品的化验品位
产品名称 品位
铅（金属1）
锌（金属2）
硫（金属3）
原矿 3.14 3.63 15.41 铅 71.04 3.71 15.70 锌 1.20 51.50 30.80 硫 0.38 0.35 42.38 尾矿
0.34
0.10
1.40
3. 模型建立与求解
设铅、锌、硫和尾矿的产率为123,,x x x 和4x ，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程组：
12341234
1234123471.04 1.200.380.34100 3.143.7151.500.350.10100 3.6315.7030.8042.38 1.4010015.41100
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=???+++=???
+++=???+++=? MATLAB 源代码：
A=[71.04 1.20 0.38 0.34;3.71 51.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1] %创建系数矩阵
b=[314 363 1541 100]’; %常数列矩阵 x=A\b %利用x=inv(A)*b x =
线性代数性质公式
线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：
四种线性代数模型
线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。 实验一 生物遗传模型 1.工程背景 设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何 2.问题分析 分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。 表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对 AA —AA AA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa 1/4 1/2 1 3.模型建立与求解 设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。则 第n 代植物的基因型分布为() n n n n a x b c ?? ?= ? ???，0(0)00a x b c ?? ? = ? ??? 表示植物型的初始分布。依据上述基因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，111 2 n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为矩阵形式 11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---?????? ? ??? = ? ??? ? ?????????
第10章 矩量法讲解
第十章 矩量法 解析方法仅适用于结构简单的散射体。如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。 矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。如今很多商用软件的开发都基于矩量法。但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。 10-1一般步骤 典型的算子方程可以表示为下列形式 h Lf = （10-1-1） 式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。下面详述矩量法的具体步骤。 首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为 ∑==+++≈N n n n N N x f a x f a x f a x f a x f 1 2211)()()()()( （10-1-2） 式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。如果N 足够大，上述表示式将非常精确。将上式代入式（10-1-1），得 )()(1 x h x Lf a N n n n ≈∑= （10-1-3） 下一步是选择一组权函数，N w w w ,,,21 ，以每个权函数与上式各项逐一相乘，并且在未知函数的定义域内求积，建立一组未知系数为n a 的线性代数方程。该组方程可以表示为 1 , 1,2,3,,N mn n m n Z a b m N ===∑ （10-1-4） 该方程组的系数及右边项分别为 ?=x Lf x w Z n m mn d )( （10-1-5） ?=x x h x w b m m d )()( （10-1-6） 求出未知系数后，即可近似地决定未知函数，并由此求得其它场量。 上面简述了矩量法的求解过程，现在需要讨论几个问题。 首先是基函数的选择。对于基函数的两个基本要求是完备性和正交性。完备性是指选择的基函数可以精确地表示任何未知函数，且其精度随着基函数的数目增加而提高。正交性可以放宽为线性独立，即要求一组基函数中任何两个必须是线性独立的。众所周知，一组线性独立函数总可以应用所谓Gram-Smit 方法使其正交化。此外，表示式的有效性通常也是选择基函数的重要判椐。
线性代数公式大全最全最完美
线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
线性代数重要公式
②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯 一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? :; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(,)(,)r A E E X :,则A 可逆,且1 X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1 A B -, 即:1 (,)(,) c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x :,则A 可逆,且1 x A b -=; 4. 初等矩阵与对角矩阵的概念: ①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
线性代数公式模板
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数重要公式、定理大全
1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵 数 学 模 型： 生态学：海龟种群统计数据 该模型在高等数学教学应用的目的： 1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。 2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。 3． 巩固矩阵的概念和计算。 生态学：海龟种群统计数据 管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。 如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是 111i i d i i i d i s p s s -??-= ?-?? 种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是 ()11i i d i i i d i s s q s -= - 如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵
12341 2233 400000 p e e e q p L q p q p ?? ? ?= ? ??? 那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是 0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ?? ? ?= ? ??? 假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后 每阶段的种群数可以如下计算 100 0127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ?????? ??? ? ??? ?=== ??? ? ??? ??????? （这里的计算进行了四舍五入）。为了得到2年后的种群数，再用矩阵L 乘一次。 2210x Lx L x == 一般来说，k 年后的种群数由公式0k k x L x =给出。为了了解更长时期的趋势，计算出x 10、 x 25和x 50，如下表所示。 这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。 下面的文献[1]介绍了一个七阶段的种群动态模型，文献[2]是莱斯利原来那篇文章。 思考：海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？ 参考文献 1. Crouse, Deborah T., Larry B. Crowder, and Hal Caswell, “A Stage-Based Population Model for Loggerhead Sea Turtles and Implications for Conservation,” Ecology , 68(5), 1987 2. Leslie, P. H., “On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics,” Biometrika , 33, 1945.
最全线性代数公式笔记
线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数公式大全——最新修订(突击必备)
线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：
线性代数应用题
线性代数应用题集锦 郑波 重庆文理学院数学与统计学院 2011年10月
目录 案例一. 交通网络流量分析问题 (1) 案例二. 配方问题 (4) 案例三. 投入产出问题 (6) 案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8) 案例五. CT图像的代数重建问题 (10) 案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12) 案例七. 化学方程式配平问题 (15) 案例八. 互付工资问题 (17) 案例九. 平衡价格问题 (19) 案例十. 电路设计问题 (21) 案例十一. 平面图形的几何变换 (23) 案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25) 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26) 案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28) 案例十五. 人员流动问题 (30) 案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32) 案例十七. 选举问题 (34) 案例十八. 简单的种群增长问题 (35) 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37) 案例二十. 最值问题 (39) 附录数学实验报告模板 (40)
这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了. 案例一. 交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 图1 某地交通实况 图2 某城市单行线示意图 【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
线性代数常用公式
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
线性代数在实际生活中的应用
线性代数在生活中的实际应用 大学数学就是自然科学的基本语言,就是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅就是学习一种专业的工具而已。 ;;;初等的数学知识 学习线性代数数学建模 函数模型的建立及应用,作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用,抛体运动的数学建模及其应用,最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用,逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用,网络流模型及其应用,人口迁移模型及其应用,常用概率模型及其应用,等等。 线性代数中行列式 实质上就是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年,日本数学家关孝与与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间,行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后,行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在她的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。随后1812年,法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用,这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今,由于计算机与计算软件的发展,在常见的高阶行列式计算中,行列式的数值意义虽然不大,但就是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中,行列式的只就是依然非常重要。 例如:有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种、 化肥每千克含氮64克,磷10克,钾0、6克;丙种化肥每千克含氮70克,磷5克,钾1、4克.若把此三种化肥混合,要求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化肥各需多少千克？ 解: 题意得方程组 依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥３２,1x x x ??? ??=++=++=++. 304.16.02,1495108,23321 321321x x x x x x x x x ,527- =D 此方程组的系数行列式81275 81 321-=-=-=D D D ，，又 由克莱姆法则,此方程组有唯一解:3=x １;52=x ;.153=x 即甲乙丙三种化肥各需 3千克 5千克 15千克、 矩阵实质上就就是一张长方形的数表,无论就是在日常生活中还就是科学研究中,矩阵就是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度 表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表,它就是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要就是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来,使我们不至于背一些表面瞧起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系,并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也就是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算就是非常重要的内容。
线性代数重要公式定理大全
1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a^的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：M ij （ 1）i j A ij A ij （ 1）i j M ij 4. 设n行列式D : n（n 1）n（n 1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D!，则U （ 1）F D；D2 （ 1L D 将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，贝U； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； n（n 1） ②、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）h ； ③、上、下三角行列式（、i ）:主对角元素的乘积; n （n 1） ④、匚和丄：副对角元素的乘积（1）F ； ⑤、拉普拉斯展开式: A||B、(1)mgn A B ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； n 6. 对于n阶行列式A，恒有：E A n（1）W nk，其中S k为k阶主子式; k 1 7. 证明A 0的方法： ①、A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r（A） n ; ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A 0 （是非奇异矩阵）； r（A） n （是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解； b R n，Ax b总有唯一解；
考研数学线性代数常用公式
考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也
可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ??? E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ??? E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组
线性代数在实际生活中的应用
线性代数在生活中的实际应用 大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。 ；；；初等的数学知识 学习线性代数数学建模 函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。 线性代数中行列式 实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。 例如：有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种、 化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？ 解： 题意得方程组 依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥３２,1x x x ??? ??=++=++=++. 304.16.02,1495108,23321 321321x x x x x x x x x ,527- =D 此方程组的系数行列式81275 81 321-=-=-=D D D ，，又 由克莱姆法则，此方程组有唯一解：3=x １;52=x ;.153=x 即甲乙丙三种化肥各需 3千克 5千克 15千克、 矩阵实质上就是一张长方形的数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站 时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也是我们求解数学问题时候
线性代数公式大全
概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ
线性代数重要公式模板.
线性代数重点公式
目录 1 行列式 (1) 2 矩阵 (2) 3 矩阵的初等变换与线性方程组 (3) 4 向量组的线性相关性 (6) 5 相似矩阵和二次型 (9)
1 行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；
四种线性代数模型
线性代数就是高等学校理工科与经济类学科相关专业的一门重要基础课,它不仅就是其她数学课程的基础,也就是物理、力学、电路等专业课程的基础。作为处理离散问题工具的线性代数,也就是从事科学研究与工程设计的科研人员必备的数学工具之一。 实验一 生物遗传模型 1、工程背景 设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 与aa 。常染色体遗传的规律就是:后代就是从每个亲体的基因对中个继承一个基因,形成自己的基因对。如果考虑的遗传特征就是由两个基因A 、a 控制的,那末就有三种基因对,记为AA 、Aa 与aa 。研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后,这种植物的任意一代的三种基因型分布如何? 2、问题分析 分析双亲体结合形成后代的基因型概率,如表6-4所示。 表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对 AA —AA AA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa 1/4 1/2 1 3、模型建立与求解 设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。 则第n 代植物的基因型分布为() n n n n a x b c ?? ?= ? ???,0(0)00a x b c ?? ?= ? ???表示植物型的初始分布。依据上述基 因型概率矩阵,有1112n n n a a b --=+,111 2 n n n b b c --=+,0n c =,1n n n a b c ++=,表示为矩阵形 式 11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---?????? ? ??? = ? ??? ? ????????? 记11/2001/21000M ?? ?= ? ??? ,则()(1) 2(2)3(3)(0)n n n n n x Mx M x M x M x ---=====L 。 于就是问题归结为如何计算n M ,可将M 对角化。易于计算M 的特征值为1、1/2、0, 其相应的特征向量为(1,0,0)T ,(0,1,0)T -,(1,2,1)T -。 令101012001P ?? ?=-- ? ???,则1 11/2001/21000M P P -?? ?= ? ??? 。