(完整版)《运筹学》习题集

第一章线性规划

1．1将下述线性规划问题化成标准形式

1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4

－x2＋2x3－x4＝－2

4x

st. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14

－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2

x1，x2，x3≥0，x4无约束

2)min z ＝2x1－2x2＋3x3

＋x2＋x3＝4

－x

st. －2x1＋x2－x3≤6

x1≤0 ，x2≥0，x3无约束

1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x2

4x1＋6x2≥6

st2x1＋2x2≥4

x1，x2≥0

2)max z＝3x1＋2x2

2x1＋x2≤2

st3x1＋4x2≥12

x1，x2≥0

3)max z＝3x1＋5x2

6x1＋10x2≤120

st5≤x1≤10

3≤x2≤8

4)max z＝5x1＋6x2

2x1－x2≥2

st－2x1＋3x2≤2

x1，x2≥0

1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解

（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4

x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7

st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3

x1，x2，x3，x4≥0

1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz ＝10x 1＋5x 2

3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0

2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0

1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0

2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3

. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4

x 1＋ x 2－ x 3＝5

3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0

123123

123123123

4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤??-++≤??

++

≥??≥?

1．6

1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(元/千克) 每月限量（千克）

A ≥60％≥15％ 2.00 2000

B 1.50 2500

C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200

加工费（元/千克）0.50 0.40 0.30

售价 3.40 2.85 2.25

1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。

月份7 8 9 10 11 12

买进单价28 24 25 27 23 23

售出单价29 24 26 28 22 25

1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本 4.,5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(

第二章对偶与灵敏度分析

2．1写出以下线性规划问题的DLP

1)minz＝2x1＋2x2＋4x3

x1＋3x2＋4x3≥2

st 2x1＋x2＋3x3≤3

x1＋4x2＋3x3＝5

x1，x2≥0，x3无约束

2)max z＝5x1＋6x2＋3x3

x1＋2x2＋2x3＝5

st－x1＋5x2－x3≥3

4x1＋7x2＋3x3≤8

x1无约束，x2≥0，x3≤0

3)max z＝c1x1＋c2x2＋c3x3

a11x1＋a12x2＋a13x3≤b1

st a21x1＋a22x2＋a23x3＝b2

a31x1＋a32x2＋a33x3≥b3

x1≥0，x2≤0，x3无约束

2．2对于给出的LP：

minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4

x1＋2x2＋3x3＋x4≥2

st－2x1＋x2－x3＋3x4≤－3

x j≥0 （j=1,2,3,4）

1)写出DLP；

2)用图解法求解DLP；

3)利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3对于给出LP：

maxz＝x1＋2x2＋x3

x1＋x2－x3≤2

st x1－x2＋x3＝1

2x1＋x2＋x3≥2

x1≥0，x2≤0，x3无约束

1)写出DLP；

2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1

2．4已知LP：

max z＝x1＋x2

－x1＋x2＋x3≤2

st－2x1＋x2－x3≤1

x j≥0

试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5 给出LP ： maxz ＝2x 1＋4x 2＋x 3＋x 4 x 1＋ 3x 2 ＋x 4 ≤8 2x 1＋ x 2 ≤6 st. x 2 ＋ x 3＋ x 4≤6

x 1＋ x 2 ＋ x 3 ≤9 x j ≥0

1) 写出DLP ；

2) 已知原问题最优解X ＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题

1) minz ＝4x 1＋12x 2＋18x 3 x 1 ＋3x 3 ≥3

st 2 x 2＋2x 3 ≥5 x j ≥0 (j=1,2,3)

123123123123

2)min 524324.63510,,0z x x x x x x st x x x x x x =++++≥??

++≥??≥?

2．7

考虑如下线性规划问题 minz ＝60x 1＋40x 2＋80x 3 3x 1＋2x 2＋ x 3 ≥2 st 4x 1＋ x 2＋3x 3 ≥4 2x 1＋2x 2＋2x 3 ≥3

x j ≥0 1) 写出DLP ；

2) 用对偶单纯形法求解原问题； 3) 用单纯形法求解其对偶问题； 4) 对比以上两题计算结果。

2．8 已知LP ：maxz ＝2x 1－x 2＋x 3 x 1＋ x 2＋ x 3≤6 st －x 1＋2x 2 ≤4

x 1，x 2，x 3≥0 1) 用单纯形法求最优解

2) 分析当目标函数变为maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 3时最优解的变化； 3) 分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

2．9给出线性规划问题

maxz＝2x1＋3x2＋x3

1/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1

st 1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3

x j≥0

试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化：

1)目标函数中变量x3的系数变为6；

2)分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变；

3)约束条件的右端由 1 变为 2 ；

3 3

2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消

（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。

（2）原料A、B的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？

3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲乙丙可供量

A 5 4 －1000

B 16 8 9 2000

C 12 10 11 2000

第三章 运输问题

3．1

3．

23．3

3.4 某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最3.5 光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：

已知上年末库存103台绣花机，

如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，

每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

3.6 设有A 、B 、C 三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表：

试求总费用为最低的化肥调拨方案

第四章 动态规划

4．1 现有天然气站A ，需铺设管理到用气单位E ，可以选择的设计路线如下图，B 、C 、D 各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：万元），试设计费用最低的线路。

4．2 一艘货轮在A 港装货后驶往F 港，中途需靠港加油、加淡水三次，从A 港到F 港

全部可能的航运路线及两港之间距离如图，F 港有3个码头F 1，F 2，F 3，试求最合理停靠的码头及航线，使总路程最短。

F

4．3某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，

项目

投资额及收益

0 1 2 3 4

A 0 41 48 60 66

B 0 42 50 60 66

C 0 64 68 78 76

4.4 某厂有1000台机器，高负荷生产，产品年产量S1与投入机器数Y1的关系为S1＝8Y1，机器完好率为0.7；低负荷生产，产品年产量S2与投入机器数Y2的关系为S2＝5Y2，机器完好率为0.9；请制定一个五年计划，使总产量最大。

4.5某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x 是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。

4.6 某公司为主要电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，所以该公司可以预测未来几个月的需求量。为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产计划，这四个月的需求如表1所示。生产成本随着生产数量而变化。调试费为4，除了调度费用外，每月生产的头两台各花费为2，后两台花费为1。最大生产能力每月为4台，生产成本如2所示。

表1

表2

4.7某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，

产品重量（t/件）利润（千元/件）

1 2 80

2 3 130

3 4 180

4.8 用动态规划方法求解

2

123

123123max 49224310,,0

z x x x x x x x x x =++++≤??

≥?

第五章 存储论

5．1 某建筑工地每月需用水泥800t ，每t 定价2000元，不可缺货。设每t 每月保管费率为0.2%，每次订购费为300元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。

5．2 一汽车公司每年使用某种零件150，000件，每件每年保管费0.2元，不允许缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。

5．3 某拖拉机厂生产一种小型拖拉机，每月可生产1000台，但对该拖拉机的市场需要量为每年4,000台。已知每次生产的准备费用为15,000元，每台拖拉机每月的存贮费为10元，允许缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．4 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费为5元/月件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．5 对某种电子元件每月需求量为4,000件，每件成本为150元，每年的存贮费为成本的10%，每次订购费为500元。求：

（1） 不允许缺货条件下的最优存贮策略；

（2） 允许缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。

5．6 某农机维修站需要购一种农机配件，其每月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为0.96元/件月，并不允许缺货。 （1） 求经济订购批量、经济周期与最小费用；

（2） 该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。因此，决定使订购和存贮总

费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。

5．7 某公司每年需电容器15,000个，每次订购费80元，保管费1元/个年，不允许缺货。若采购量少于1000个时，每个单价为5元，当一次采购1000个以上时每个单价降为4.9元。求该公司的最优采购策略。

5．8 某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位，每次订货费为2,000元，存贮费率为20%。该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在2,000单位以下时，单价为100元；当采购数量在2,000及以上单位时，单价为80元。求最优采购策略。

5．9某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为300万件，不允许缺货；一次订购费为100元；存贮费为0.1元/件月。该外购件进货单价和订购批量Q有关，

5．10试证明：一个允许缺货的EOQ模型的费用，决不会超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不允许缺货的EOQ模型的费用。

5．11某时装屋在某年春季欲销售某种流行时装。据估计，该时装可能的销售量见

该款式时装每套进价180元，售价200元。因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套120元。问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜？

第六章排队论

6．1某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人/h，修理时间服从负指数分布，平均需10min。求：

（1）店内空闲的概率；

（2）有4个顾客的概率；

（3）至少有1个顾客的概率；

（4）店内顾客的平均数；

（5）等待服务的顾客的平均数；

（6）平均等待修理时间；

（7）一个顾客在店内逗留时间超过15 min的概率。

6．2设有一单人打字室，顾客的到达为为Poisson流，平均到达时间间隔为20 min ，打字时间服从负指数分布，平均为15min。求：

（1）顾客来打字不必等待的概率；

（2）打字室内顾客的平均数；

（3）顾客在打字室内的平均逗留时间；

（4）若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h，则主人将考虑增加设备及打字员。问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做。

6．3汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s。由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。根据这一要求，分析采用新装置是否合算。

6.4 有一个M/M/1/5系统，平均服务率μ＝10。就两种到达率λ＝6，λ＝15已得到相应的概率p n,如下表所示，试就两种到达率分析：

（1）有效到达率和系统的服务强度；

（2）系统中顾客的平均数；

（3）系统的满员率；

（4）服务台应从哪些方面改进工作，理由是什么？

1