基于偏微分方程
数学物理方程论文
——基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究
基于偏微分方程在PKMK型几何积分方法中的应用研究
摘要：
人类的发展历史表明科学的理论总是从简单到复杂，从特殊到一般，从粗糙到
精确，逐渐深化的。因此，以数学为工具，以物理学开路的严密自然科学在初期阶
段总是力图把描述简单化、近似化，在数学方面采取的一个重要办法就是线性化。
但是随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断促使我
们把一个个线性理论发展为非线性理论。非线性化是科学发展的必由之路。一些学
者已将非线性科学誉为上世纪继相对论和量子力学之后自然科学的“第三次革命”。
正如一位物理学家所说：“相对论的建立排除了对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量
子力学的建立则排除了对可控空间和时间的牛顿幻觉；非线性科学的建立排除了拉
普拉斯决定论的可预见性狂想。”非线性科学的建立是研究非线性现象共性的一门
学问。
关键词：偏微分方程 PKMK型几何积分函数商的零点
正文：
在数学、物理、化学以及生物等领域中，人们遇到大量的非线性现象，这些现
象的表现形式虽然千差万别，但其运动规律却具有相似的数学模型。一般地，它们
可以用常微分方程和偏微分方程的数学模型来描述。许多偏微分方程通过空间离散
化可以化为常微分方程的初值问题。
传统上，人们从两个极端不同的出发点来理解和掌握常微分方程问题。纯数学
家对问题认识深刻，推导严密，并采用大范围整体化的定性知识；而数值分析家通
过构造富有技巧的算法，以获得只有很小的误差的离散解，他们一般不考虑整体的
定性性质。孰优孰劣?这要视具体问题具体分析。如果要问到：“局部误差多大?”
这个问题大可以由传统的数值分析方法来解决。事实上，真实的物理过程都不是极
端的。在数学物理问题的研究中，问题所属的物理学、力学和工程技术本身的特殊
规律，常常会在问题进行严格数学处理之前，提示求解问题定性的思想和方法，并
促使具体问题的解决。本文强调应将微分方程的几何性质等定性信息与数值计算有
机地结合起来，进而处理实际问题。
大部分在物理学中显示巨大威力的新的数学思想均来自于几何与分析的交叉。
我们可以简单地回顾微分方程与几何学不可分割的历史渊源。18世纪以前的物理学
家和自然哲学家，如Copemies，Galileo，Kepler,Newton等都对几何学非常熟悉，他们常用几何概念来表达其物理思想。在19世纪，Descartes对Euclid几何引入坐标后，将几何学的研究看成是代数和分析的应用，这引起了几何学的革命，促进了在
几何学中各种分析工具的应用。与此同时，在物理学中利用坐标概念将自然定律表
示成微分方程，促进了物理学的发展。在此阶段，多数物理学家主要注意对物理体
系局域运动性质的探讨，对运动实体的内部对称性及大范围整体性质往往注意不
足。拓扑学与微分几何在物理学的重要性常被忽视。19世纪中叶，Maxwell从实验
观察总结出电磁现象的运动方程，注意到Maxwell方程组的共性不变性。Lorentz。Minkowski之后，直到20世纪初，Einstein提出了狭义相对论，人们才进一步深入
认识到了时空的基本几何特性的重要性。这时主要应用的数学工具是微分方程及群
论分析等。长期以来，微分方程在自然现象的数学研究中起到了决定性的作用，人
们充分认识到，通过研究微分方程的几何性质，可以获知它的真解的关键性的定性
特征。其中最重要例子是Alexander Rowan Hamilton提出的力学定理，它使人们可
以用更复杂的几何工具来理解和研究刚体体系及复杂体系的力学性质，可以用相应
的Hamilton函数的对称性的概念来理解研究诸如能量、线性动量和角动量等Hamilton系统的守恒性质。用以研究微分方程另一个同样重要的几何方法是应用有Sophus Lie开创的基于对称性的方法。20世纪80年代以来，随着非线性微分方程
研究的需要，通过微分方程的对称性来研究非线性方程的性质，特别是用于简化或
完全求解微分方程，已成为一个十分重要的课题。
在实际生活中，许多微分方程是在一个李群或流形上通过李群作用而展开的，
流形提供了动力学微分方程发展的抽象定义域，李代数给出了动力学方程所定义的
结构。人们日益重视流形上微分方程的数值解问题，其主要目的在于数值方法的设
计要足以保证数值解在解析解发展的流形之上。为此很多学者进行了研究‘4叫，尽
管早在19世纪末、20世纪初这些数值方法赖以发展的基本结果已经存在，然而直
到近几年人们才研究了实用的数值计算法。数值离散这种微分方程时，保持其李群
结构是最基本的。本文介绍保持近似解落在原流形上的李群方法，即RKMK方法
【lo】，RKMK方法是求解构形空间在一个微分流形(或李群)上的一种推广的
Runge．Kutta方法【ll。”。其主要思想是把李群上展开的微分方程变换为与之相应的
李代数上展开的等价的微分方程后，所的指数映射回李群便可得到原微分方程的数
值解。，它能保证所得的数值解在正确的微分流形上进行迭代。李代数是矢量空间
(线性空间)，因此，经典的Runge—Kutta法等数值方法就可以用于近似求解变换后
的微分方程。在李代数上求解等价的微分方程后，所得的数值解由指数映射拉回到
李群便可得到原微分方程的数值解。特别地，Munthe．Kaas通过引入校正函数【141，
给出了显式的积分方法，它能保证所得的数值解在正确的微分流形上进行迭代。
非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的工作。其中，大多数能够描述实
际物理问题的非线性方程是变系数的，所以要得到实际非线性方程的精确解是十分
困难的工作。含时Schrodinger方程的解的时间演化保持辛积与波函数模方守恒，
将含时Schrodinger方程离散成波函数模方为守恒量的有限维正则方程是数值求含
时Schroditiger方程的合理途径。
变系数的非线性Schrodinger方程存在众多物理领域，如等离子体物理、流体动
力学，非线性光学、固体物理，尤其是纤维光学中有着重要的应用。变系数的非线
性Schrodinger方程是光孤子散射中非常重要的方程l”1，光孤子通讯系统中孤子脉
冲的传输满足变系数的非线性Schrodinger方程。光孤子的形成是光脉冲线性的时
间域色散被非线性的自位相调制过程平衡。
本文利用李群方法构造了一种平方守恒格式——RJ@Ⅸ型积分方法。构造平方
守恒格式是稳定地求解非线性发展方程的重要方法之一。
关于非线性双曲型系统的Godunov格式的收敛性
A. Bressan H. K. Jenssen
考虑系统ut+A(u)ux=0, u∈n, 其中矩阵A(u)假设为严格双曲型的, 并具有特征向量域中的积分曲线为直线的性质. 对于这一类系统可以定义一自然
Riemann解法, 并从而定义一个Godunov格式, 其推广了守恒系统的标准Riemann解法和Godunov格式.该文证明了当运用小的全变差的初始数据时, 这格式
的收敛性和L1稳定性. 证明的主要步骤是估计由格式的二次耦合项产生的全变差的增量. 利用Duhamel原理,这问题化为表示离散随机游动的概率密度的
两个Green核积的估计, 那么总耦合量由两个具有严格不同平均速度的游动之间交叉的期望数所决定.
Bessel 函数商的零点
A. Friedman
B. Hu J. J. L. Velazquez
证明了2mIm(x)/Im-1(x)-(m+1)I1(x)/I0(x)=0存在唯一的正解x=xm,其中m2, Im(x) 为Bessel 函数, 且当2l 引入分块估计的技巧, 避开通常使用的 Lyapunov-Schmidt分解, 直接使用牛顿迭代法,构造扰动 Klein-Gordon 方程满足周期边界条件的时间周期解. 该文提出的方法简化了 W. Craig,C. E. Wayne 和 J. Bourgain 提出的构造非线性偏微分方程周期解的框架. 随机系数的随机线性最优控制问题 讨论随机线性二次最优控制问题(简称LQ问题), 其中, 系数允许是随机的, 代价泛函中控制函数的平方项可有负的权重. 引入LQ问题的随机Riccati方 程. 它是一个具有复杂非线性和奇性的倒向随机微分方程. 建立了它的局部可解性. 对于确定性系数情形, 对Riccati方程作了进一步的讨论. 最后, 给 出了一个说明性的例子. 一类Teichm"uller映照的极值判别法及其Hamilton序列的构造 证明了其伴随全纯二次微分φ满足增长条件: 对任给的s>1,m(φ,r)=(1)/(2π)∫02π|φ(reiθ|) dθ=o((1-r)-s), r1的单位圆到自身的Teichm"uller映照 f 是极值的;同时存在一列tn, 0 研究了四元数单位圆盘上齐次向量丛的Fourier变换, 建立了相应的反演公式和Plancherel 讨论一维倒向随机微分方程在变量(Y,Z)受限制条件下的最小g-上解,其漂移系数是连续的,且满足线性增长条件, 而终值为一平方可积随机变量. 设G为一离散群, (G,G+)为一序群. 令(G, GF)为包含(G, G+)的最小的拟序群.记相应的Toeplitz算子代数分别为 TG+(G) 和 TGF(G),GF,G+为 TG+(G) 到 TGF(G)的自然的C*-代数同态映射. 该文讨论Toeplitz算子代数 TG+(G)的极小理想与自然同态映射GF,G+的核空间Ker GF,G+之间的关系. 证明了当 G为顺从且GF≠G+时, Ker GF,G+为 TG+(G)的极小的非平凡理想. 作为应用, 还得到了序群上Toeplitz算子代数K-群方面的一个特征. 引进了Hilbert双模的乘子双模. 如同C*代数情形, 得到了其在双对偶空间上的实现与Tietze扩张定理. 作为应用, 得到了此定义的乘子双模仍时 Hilbert双模. 参考文献： 【1】张素英，邓子辰．非线性动力学系统的几何积分理论及应用．西北工业大学出 版社，2005 【2】ISERLES A．Multistep methods on manifolds．Technical Report，1997／NAl3，Department ofApplied Mathematics and Theoretical Physics．England：University of Cambridge，1997 【3】MCLACHLAN R I，QUISPEL GRW,ROBIDOUX N．Geometric integration using discrete gradients．Phil．Trans．R．Soc．Lond．气1999，357：1021～1045 偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分) 第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型 我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1) 目录 引言 (3) 物理背景 (3) 网格剖分 (4) 向前Euler格式建立 (4) 差分格式的求解 (6) 收敛性与稳定性 (6) 数值例子 (9) 紧差分格式建立 (12) 差分格式求解 (14) 数值例子 (15) 总结 (19) 参考文献 (20) 附录 (21) 1 引言 本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题： 22(,),0,0,u u a f x t x l t T t x ??-=<<<≤?? (,0)(),0,u x x x l φ=≤≤ (0,)(), (1,)(), 0.u t t u t t t T αβ==<≤ 其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ?αβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).?α?β== 目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子． 2 物理背景 热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数(),,,u x y z t 表示物体在t 时刻,(),M M x y =处的温度,并假设 (),,u x y z 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数.() ,,k k x y z =是物体在(),,M x y z 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为(),,c c x y z =,密度为 (),,x y z ρ.根据Fourier 热传导定律,热量守恒定律以及Gauss 公式得 ,u u u u c kx k k t x x y y z z ρ ????????????? =++ ? ? ???????????? ?? 偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空 偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程 姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程 一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：具体求解的偏微分方程如下： 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-differencemethods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下： 11k k k k t t x x h τ ++-=?? -=?(2-2) 2.1古典显格式 2.1.1古典显格式的推导 由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)( )()(())i i k i k k k u u x t u x t t t o t t t ?=+-+-?(2-3) 当1k t t +=时有 21,112,(,)(,)( )()(())(,)()() i k i k i k k k k k i k i k u u x t u x t t t o t t t u u x t o t ττ+++?=+-+-??=+?+?(2-4) 得到对时间的一阶偏导数 1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t u o t ττ+-?+?(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得 223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u u u x t u x t x x x x o x x x x ??=+-+-+-??(2-6) 当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得 一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。 课程编号：MTH17178 北京理工大学2016-2017学年第一学期 2014级偏微分方程期终考试（A ） 1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：()22,,0,0,t x x u u u x t u x e x -+=∈>???=∈?? 。 2.（10分）利用Fourier 变换方法求解：()() (),,,0,0,t x u bu cu f x t x t u x x x ?--=∈>???=∈?? 。 3.（10分）利用行波法求解：()()()()0,,,0,,0 tt xx u u t x u x x x x u x x x x ?ψ?-=>?-=?。 给出适当的相容性条件。如果?在(],0a -上给定，ψ在[)0,b 上给定，给出其决定区域。 4.（15分）求解初边值问题：()()()20,01,00,0,1,0,0,0,01 t xx x x u a u u x t u t u t t u x A x ?-+=<<>?==>??=<?==∈??=+=≥? 推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。 6.（13分）对于有界区域()(],0,T Q a b T =?上的热方程()2 ,0t xx u a u c x t u -+=，其中(),c x t 下有界，证明如果(),u x t 在抛物边界上非正，则(),u x t 在T Q 上非正。 7.（15分）考虑波动方程初边值问题[]()()()()[]()()()20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0 tt xx t x x u a u x L t u x x u x x x L u t u L t u L t t ?ψσ?-=∈>?==∈??=+=≥?，其中 0σ>，令t 时刻的能量()()()22222011,22 L t x E t u a u dx a u L t σ=++?，证明()E t 守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。 8.（20分）设() ()1,02,1T T u C Q C Q ∈ 且满足初边值问题()()()()[]()()[] ,,,,0,0,0,,0,0,t xx T x u u f x t x t Q u x x x L u t u L t t T ??-=∈?=∈??==∈?，证明：[]()()()()22220000000,sup ,,,L T L L T L x t T u x t dx dt u x t dx M x dx dt f x t dx ?∈??+≤+??????????，其中M 仅依赖于T 。 提示：Gronwall 不等式：设(][]1 0,0,G C T C T ∈ ，()00G =，且对于任意的[]0,t T ∈，有()()()G t CG t F t '≤+，其中C>0，F 非负单调递增，则有 ()()()()()11,Ct Ct G t C e F t G t e F t -'≤-≤。 常微分方程的积分因子 每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。 积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0 M x y dx N x y dy += 其中 (),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若 存在连续可微的函数 (),0 x y μ≠，使得 ()()()(),,,,0 x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡， 为一恰当方程，即存在函数V ，使 Mdx Ndy dV μμ+=． 则称 () ,x y μ为方程（1）的积分因子． 通过计算可得，函数 () ,x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为： ()()M N x y μμ??=??， 即 M N N M x y y x μμμ??????-=- ??????? 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子. 《偏微分方程》期末考试复习 一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t) (一)初值问题(柯西问题) < 2 U tt —a U xx = f(x,t) 1、一维情形 Ut t^a (x) (1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之 和， * 2 * 2 U tt —a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t) (i) J U t^= ②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲? at込x込X2-at} 常微分方程论文 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 《关于常微分方程解法的探究》 班级：数学与应用数学131 学号： 姓名：丁延辉 日期：2016年5月25号 摘要 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。并且常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。因此，由实际问题列出微分方程后，其解法非常关键，微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性 1 一阶微分方程 变量可分离的微分方程 形如 ()()dy f x y dx ?=(1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ?分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ?≠，我们可将(1)改写成 这样变量就分离开来了.两边积分，得到 c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解． 例1：求解 2dy xy dx =的通解。 解：12dy xdx y =→12dy xdx y =??→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±= 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成 dy y f dx x ??= ???的形式。 求解：dy y f dx x ??= ??? y u x =→y ux =， dy du x u dx dx =+→()du x u f u dx +=→()11du dx f u u x =-（可分离变量）→通解 例2：解方程22dy dy y x xy dx dx += 一阶线性微分方程 若 称为一阶齐次线性微分方程。 若 ()()dy p x y q x dx +=（()0q x ≠） 称为一阶非齐次线性微分方程。 一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。 解 的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 安徽大学20 08 —20 09 学年第 二 学期 《 偏微分方程 》考试试卷（A 卷） （闭卷 时间120分钟） 院/系 年级 专业 姓名 学号 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.对常系数方程x y z u au bu cu du f ?++++=作未知函数的变换 可以将所有一阶微商消失. 2.设:R R Φ→是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0t u u -?=的解，则()u Φ是热传导方程 的 (下解;上解；解). 3.上半平面的Green 函数G(x,y)为 ，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点. 4．设函数u 在以曲面Γ为边界的区域Ω内调和，在ΩΓ 上有连续的一阶偏导数，则u dS n Γ ????= ，其中n 是Γ的外法方向. 5.热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为 ． 二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题 0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=∈?∞??=∈? 其中，,b c R ∈都是常数. 2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题： 200 0,0,0,|(), |0.t xx t x u a u x t u x u ?==?-=>>? =??=? 3．试求解 2 2 008(), |,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==?-++=??==?? 4．写出定解问题： 200 (),0,0,|0,|0, |().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===?-=<<>? ==??=? 解的一般形式. 偏微分方程论文：偏微分方程孤立子解 Lie变换群 【中文摘要】本文取得的主要结果属于理论性的,可概括如下:首先利用推广的Tanh-函数法以及在此基础上的拓展和形变映射法,获得了BBM方程的许多显式精确行波解,包括孤子解、复线孤子解、周期波解、Jacobi椭圆函数解、维尔斯特拉斯椭圆函数解等。其次介绍如何利用Lie变换群作用下偏微分方程的不变性来构造它的解。与常微分方程的情形相似,我们将看到,确定一个给定PDE所拥有的Lie点变换群的无穷小生成元,其算法可由它的不变性无穷小准则直接导出。利用Lie对称群的不变曲面可得到相似解,这样的解是通过求解约化方程得到的。约化方程所含未知变量个数比原方程少。本节就是用古典无穷小算法导出了由轴对称波方程的任意元和无穷小生成子的系数构成的超定线性偏微分方程组,即确定方程DE。其次借助符号计算机软件maple解方程组,求出了轴对称波方程的一些无穷小生成元,然后根据Lie第一基本定理求出了相对应的单参数Lie变换群.最后将所求得的无穷小生成元代入不变曲面条件,分别利用不变形式法和直接代入法求出轴对称波方程的群不变解。最后讨论如何利用Lie点变换群作用下的不变性求解PDEs的边值问题。如果PDE所拥有的单参数Lie点对称群同时也使边值问题的边界条件和领域不变,那么此边值问题的解也是不变解。因此,边值问题也可被构造性地约化为含更少的自变量的PDEs的边值问题。对于线性PDE,限制条件可放宽,不必要求边界条件不变。对应于同一特征函数展开的不变解 进行叠加。可得边值问题的解,其中特征值是利用一个齐次线性PDE 在其自变量的标度下的不变性得到的。另外,也将讨论多参数Lie点变换群作用下边值问题的不变性。我们利用上面给出的方法求出了Green函数的边值问题的不变解。 【英文摘要】First tanh-function method is extended then used to solve BBM equation. we also used deformation mapping method to obtain solutions of BBM equation. With both methods we can obtain abundant explicit and exact traving wave solutions. Which coation Soliton solutions, Plural line soliton solutions, periodic wave solutions, Jacobi elliptic fuction solutions,Weierstrass elliptic function solutions and other exact solutions.Second we apply infinitesimal transformations to the construction of solutions of partial differential equations. As for ODE’s we will show that the infinitesimal criterion for invariance of PDE’s leads directly to an algorithm to determine infinitesimal generators X admitted by given PDE’s . Invariant surfaces of the corresponding Lie group of point transformations lead to similarity solutions. These solutions are obtained by solving PDE’s with fewer independent variables than the given PDE’s. Now we obtain the set of determining equations is an overdermined system of PDE’s which is composed of the arbitrary 一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y Λ， （ 1.1） 在变换 ()1'12,,,,n n y y y y y y -===L （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=??L L M M M M L （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到 22y x dt dy x dt dx y +=-， 即 () 22y x dt dx y dt dy x +-=-， 亦即 1arctan -=?? ? ?? dt x y d 。 积分得 课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页 一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点. 二、（10分）求一维波动方程()()()()()22 222 ,,0,0,,0t u u a x t t x u x x u x x ?ψ???=-∞<<+∞>?????==? 的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解 ()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x x u x x ?=>-∞<<+∞? =?? =? 四、（10分）计算积分()32x J x dx -?. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明 ()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ??--=++1 111 1 六、（15分）用分离变量法求解 ()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0 tt xx t u a u x l t u x u x x u t u l t ?-=<<>? ==?? ==? 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0 y y l x l y l y l λ+=-< 课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页 一、解：波动方程：()22 2,u a u f t x t ?=?+? 热传导方程： ()2,u a u f t x t ?=?+? 位势方程：()u f x ?= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x = ，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及 热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x = 的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x = 的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。……………………….15分 二、解：首先判别方程的类型， 20a ?=> ………………………2分 即此方程在整个全平面上都是双曲型的。 特征方程为：()()2 2 20dx a dt -= () ()2 2 200dx a dt dx adt -=?= 特征曲线为1 2 x at c x at c -=??+=? ………………………6分 做变量替换，令x at x at ξη=-??=+?， 由链式法则得 0u ξη= 通解()()()()u f g f x at g x at ξη=+=-++ ……………………….10分 偏微分方程数值解法 [摘要]偏微分方程课程主要介绍了求一阶拟线性偏微分方程、波动方程、热传导方程及位势方程的解析解。本文受此启发，并结合所学数值计算方法知识，介绍几种偏微分方程的数值解法。 1.背景 现实世界中，许多实际问题可归结为微分方程的定解问题。很多情况下，人们无法或不方便求出这些问题的解析解，从而要求它们的数值解。因此，需要了解偏微分方程的数值解法。 2.内容 (一)双曲型方程 ∞≤≤∞-=x x x u ),()0,(?初值条件 将x-t 平面分割成矩形网格 ,2,1,0,,2,1,0,0=+==±±===j j t t t k kh x x j k τ 用(k,j)表示网格节点(x k ,t j )，网格节点上的函数值为u(k,j) 用差商表示导数 ),~(2 ),(),1()~,(2),()1,(,,j x u h h j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k ''--+=??''--+=??ττ ),~(62),1(),1()~,(6 2)1,()1,(2,2 ,j x u h h j k u j k u x u t k u j k u j k u t u x j k t j k '''---+=??'''---+=??ττ 方程变为 0),(),(),1(),()1,(1=--++-+ττh R h j k u j k u a j k u j k u 略去误差项，得到差分方程 0,,1,1,=-+-h u u a u u j k j k j k j k ＋＋τ 加上初始条件，构成差分格式 k k j k j k j k j k u u u ar u u ?=--=0,,,1,1,) (＋＋ 0=??+??=x u a t u Lu 第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。 典型的偏微分方程：扩散方程t xx u ku =，t u k u =?；波动方程2tt xx u c u =，2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t （即x 处在时刻t 的污染物的密度） 。如果流速是c ，问题：(,)u x t 满足什么样的方程？ 解 如图，在[,]x x x +?内的流体，经过时间t ?，一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同，即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? ， 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?， 从而， 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 （扩散方程） 假设水流静止，在t ?时间内，流经x 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k ： ()x u dm t k dt ku dt x ?==?， 所以，在时间段12[,]t t 内，通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ，在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ，由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ，2t 的任意性， 黑龙江科技学院考试试题 课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110适用专业（班级）：数学 命题人：潘晓丽 教研室主任： 、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点 2 2 U 2 U 一、（10分）求一维波动方程 t 2 x 2 ，t 0 的通解 x u x,0 x , u t x,0 三、（15 分） 写出达朗贝尔公式并利用公式求解 u tt a 2 u xx , t 0, x u x,0 sinx U t x,0 cosx 四、（10分）计算积分 x 3 J 2 x dx . 五、（15分）设m 1,n 1，证明 六、（15分）用分离变量法求解 2 u tt a U xx 0, 0 x l,t 0 u x,0 0,u t x,0 x u 0,t 0,u l,t 0 八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理. 黑龙江科技学院考试试题答案 七、（10分）解固有值问题 y'' y 0, y' l y' l 第一套 共1页 第1页 n 1 0x m p n xdx 1 m 1 , m 0 x p n 1 x dx 2 一、解：波动方程：一a2u f t,x t - 热传导方程：汁a2 u f t,x 位势方程：u f x (5) 其中x X j，x2,L ,x n，a为常数，f t，x及f x为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u是时间变量t和空间坐标变量x x1,x2,L ,x n的函数，在位势方程中，未知函数u是空间坐标变量x 为必,L ,人的函数，而与时间t无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。 (15) 二、解：首先判别方程的类型， a20 ............. 2 分 即此方程在整个全平面上都是双曲型的。 特征方程为：dx $ a2 dt $ 0 2 2 2 dx a dt 0 dx madt 0 x at 特征曲线为G x at C2 做变量替换，令 x at x at 由链式法则得u 0 通解u f g f x at g x at ....................... .10 ................................ 分偏微分方程数值解期末试题及标准答案
微分方程建模案例
偏微分方程数值解论文
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)
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