利用导数研究函数的单调性之二阶求导型
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型
一、解答题（题型注释）
1．已知函数ax x xe x f x
--=ln )(2．
（1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2
1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；
（3）若0>?x ，不等式e
x x
e x e e x
x f 1111
1)1(2+
-+≥-恒成立，求a 的取值范围．
1．（1）
ln 22
e
+；
（2）2a ≤；（3）11(1)e
e a e e
≤---．
【解析】
试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x
ln )(2-=，则21
()(21)x f x x e x
'=+-
，再求导()f x ''，可得函数)(/
x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2
1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/
x f 在),0(+∞上是
增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01
)12(0
200
=--
+a x e
x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，
即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1
1ln x
e
x e a x x x e
+-≤--对任意0>x 成
立，令e
x
e e x
x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围．
试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x
ln )(2-=，x
e x x
f x 1)12()(2/-+=∴，
01
)44()(22//>++=?x
e x x
f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，
又函数)(/
x f 的值域为R ，
故00>?x ，使得01
)12()(0
200/
=-
+=x e
x x f x ， 又022)2
1(/>-=e f Θ，210<
∴x ，所以当]1,2
1[∈x 时，0)(/
>x f ， 即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2
)21()(min +==e
f x f
（2）a x
e x x
f x --+=1
)12()(2/，
由（1）知函数)(/
x f 在),0(+∞上是增函数，且00>?x ，使得0)(0/=x f
进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，
00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，
由0)(0/=x f 得：01
)12(0
200=--
+a x e x x
， 1)2(0202
00-+=?x e x x ax ，022
0002ln 1)(x e x x x f --=∴，
因为0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，
02ln 12ln 10022
002200≤+?≥--∴x x e x x e x x
2021
)12(0
200=+≤-
+=∴x e x a x （另解：因为0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，
即21
)2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤
+x
x x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21
ln 12ln 122ln ≥--?++≥?+≥+x
x xe x x e
x e x x
x x
，
当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a ）
（3）由e
x x
e x e e x x
f 11111)1(2
+-+≥-，e
x x x e x e e x x a x e x 1111
11ln 12
2+-+≥---?，
e x e e x a x x x 11ln +-≥--?，e
x
e e x x x x a 11ln +---≤?对任意0>x 成立，
令函数e
x
e e x
x x x x g 1
1ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/--+=， 当1>x 时，0)(/>x g ，当10< 所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值e e e e e e e g 1 1)1(11 11 1)1(---=+---=， e e e e a 1 )1(1-- -≤∴ 考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）． 【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题． 2．已知函数()()1 2x x e f x ax a R e = --∈． （1）当3 2 a = 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在[]1,1-上为单调函数，求实数a 的取值范围． 3．设函数ax x e x f x -++=)1ln()(. （1）当a=2时，判断函数)(x f 在定义域内的单调性； （2）当0≥x 时，x x f cos )(≥恒成立，求实数a 的取值范围. 4．已知函数2 ()ln ()2 a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围； （2）设两个极值点分别为12,x x ，证明：2 12x x e ?>. 5．已知函数3 ()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）． （1）当0a =时，讨论()f x 的单调性； （2）求()f x 在区间[]0,2上的最小值． 6．设2 ()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈. （1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间； （2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围. 7 （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值； （2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0+∞，上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式()2 1 1 1ln 1,212n k k n n k =-< -≤=+∑L 参考答案 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解 函数)(x f 在]1,2 1 [上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，且00>?x ， 使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性，即可求解求a 的取值范围；（3）根 据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1 )12()(2/- +=∴， 01)44()(2 2//>+ +=?x e x x f x ，所以函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数， 又函数)(/ x f 的值域为R ， 故00>?x ，使得01 )12()(0 200/ =- +=x e x x f x ， 又022)2 1(/>-=e f Θ，210< ∴x ，所以当]1,2 1[∈x 时，0)(/ >x f ， 即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2 )21()(min +==e f x f （2）a x e x x f x --+=1 )12()(2/， 由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，且00>?x ，使得0)(0/=x f 进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增， 00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==， 由0)(0/=x f 得：01 )12(0 200=-- +a x e x x ， 1)2(0202 00-+=?x e x x ax ，022 0002ln 1)(x e x x x f --=∴， 因为0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立， 02ln 12ln 10022 002200≤+?≥--∴x x e x x e x x 2021 )12(0 200=+≤- +=∴x e x a x （另解：因为0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立， 即21 )2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤ +x x x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21 ln 12ln 122ln ≥--?++≥?+≥+x x xe x x e x e x x x x ， 当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a ） （3）由e x x e x e e x x f 11111)1(2 +-+≥-，e x x x e x e e x x a x e x 1111 11ln 12 2+-+≥---?， e x e e x a x x x 11ln +-≥--?，e x e e x x x x a 11ln +---≤?对任意0>x 成立， 令函数e x e e x x x x x g 1 1ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/ --+=， 当1>x 时，0)(/>x g ，当10< 所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值e e e e e e e g 1 1)1(11 11 1)1(---=+---=， e e e e a 1 )1(1-- -≤∴ 考点：利用导数研究函数的单调性与极值（最值）． 【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函 数的单调性及其应用、利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，同时解答中注意对函数二次求导的应用和函数的构造思想，通过构造新函数，利用函数的性质解题的思想，着重考查了转化与化归思想以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题． 2．（1） 单调递增区间为(),0-∞和()ln 2,+∞，单调递减为()0,ln 2; （2） ( 1,2e e ?? -∞++∞?? ?? U ． 【解析】 试题分析：（1）求函数的导数，并且通分，分解因式的化简，然后解()0>'x f 和()0<'x f 的解集；（2）若函数在[]1,1-上为单调函数，所以分单调递增和单调递减两种情况讨论，若 单调递增，转化为1 2x x e a e ≤ +在[]1,1-上恒成立，那么a 小于等于函数的最小值，若函数单调递减，转化为1 2x x e a e ≥ +在[]1,1-上恒成立，a 大于等于函数的最大值. 试题解析：()f x 的定义域为x R ∈，()1 2x x e f x a e '= +-， （1）32a =，则()()()2113222x x x x x e e e f x e e --'=+-=， 令()0f x '>，解得：ln 20x x ><或， 令()0f x '<，解得：0ln 2x <<， ∴()f x 的单调递增区间为(),0-∞和()ln 2,+∞，单调递减为()0,ln 2． （2）若()f x 在[]1,1-上单调递增，则()1 02x x e f x a e '= +-≥在[]1,1-上恒成立， ∴1 2x x e a e ≤ +在[]1,1-上恒成立， 令x t e =同，则1,t e e ??∈???? ， 1122x x e t e t +=+≥=， 当且仅当 12t t = ，1,t e e ?? =???? 时取“=”，又1122e e e e +>+ ∴[]1,1x ∈-11 22x x e e e e ≤ +≤+ ① ， ∴a ≤ 若()f x 在[]1,1-上单调递减，则()1 02x x e f x a e '= +-≤在[]1,1-上恒成立， ∴1 2x x e a e ≥ +在[]1,1-上恒成立， 由①式知，12a e e ≥ +，综上，a 的取值范围是( 1,2e e ?? -∞++∞???? U ． 考点：导数与函数的单调性 3．（1） 在),1(+∞-上是增函数;（2） 2≤a . 【解析】 试题分析：（1）首先求函数的导数，令()()x f x g '=，并且注意函数的定义域，再求函数导数的导数()() 2 11 +- ='x e x g x ，分0>x 和01<<-x 讨论()x g '的正负，同时得到函数 ()x g 的单调性，求得()x g 的最小值为0，即()0≥'x f 恒成立，得到函数的单调性；（2）由 （1）可得当2≤a 时，不等式恒成立，当2>a 时，记x x f x cos )()(-=?，根据导数求函数的最值，证明不等式不恒成立. 试题解析：（1）)(x f 的定义域为),1(+∞-，21 1 )(-++='x e x f x ， 记21 1)(-++ =x e x g x ，则2)1(1)(+-='x e x g x ， 当x>0时，1) 1(1 , 12 <+>x e x ，此时0)(>'x g ， 当-1 , 12 >+ ，此时0)(<'x g ， 所以)(x f '在（-1,0）上递减，在),0(+∞上递增，∴0)0()(='≥'f x f ， ∴f（x ）在),1(+∞-上是增函数. （2）a x e x f x -++ ='1 1 )(，由（1）知)(x f '在),0(+∞上递增，所以当2≤a 时，02)0()(≥-='≥'a f x f ， 所以f （x ）在),0[+∞上递增，故x f x f cos 1)0()(≥=≥恒成立. 当a>2时，记x x f x cos )()(-=?，则x a x e x x sin 1 1 )(+-++='?， 当x>1时，014 1 )(>-- >'e x h ， 显然当10<≤x 时，0)(>'x h ，从而)(x ?'在),0[+∞上单调递增. 又0)(,,02)0(>'+∞→<-='x x a ??，则存在),0(0+∞∈x ，使得0)(0='x ?. 所以)(x ?在),0(0x 上递减，所以当),0(0x x ∈时，0)0()(= 即f （x ） 考点：1.导数与单调性；2.导数的综合应用. 【方法点睛】本题考查了导数与单调性的关系，以及证明不等式的问题，综合性较强，重点说说导数与函数单调性的证明，一种情况是求函数的导数后，能够解得()0>'x f 或 ()0<'x f 的解集，从而得到函数的单调递增和递减区间，令一种情况是求导后，不能直接 求得()0>'x f 或()0<'x f 的解集，需要求函数的二阶导数，根据二阶导数大于0或小于0的解集，求得一阶导数的单调增减区间，同时求得一阶导数的最大值或是最小值，从而得到一阶导数的正负，求得函数的增或减区间. 4．（1）1 0a e <<；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）函数2 ()ln ()2 a f x x x x x a a R =- -+∈在其定义域内有两个不同的极值点等价于方程' ()0f x =在(0,)+∞有两个不同根，即函数ln ()x g x x =与函数y a =的图象在 (0,)+∞上有两个不同交点， 讨论函数ln ()x g x x =单调性和极值根据图象即可求a 的取值范围；（2）作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1 212 ln x x a x x =-.原不等式2 12x x e >等价于 12ln ln 2x x +>12()2a x x ?+>1122122()ln x x x x x x -?>+，1 2 x t x =，则1t >，只需证明不等 式 2(1) ln 1 t t t - > + 成立即可. 试题解析：（1）依题意，函数() f x的定义域为(0,) +∞，所以方程'()0 f x=在(0,) +∞有 两个不同根. 即，方程ln0 x ax -=在(0,) +∞有两个不同根. 转化为，函数 ln () x g x x =与函数y a =的图象在(0,) +∞上有两个不同交点. 又' 2 1ln () x g x x - =，即0x e <<时，'()0 g x>，x e >时，'()0 g x<， 所以() g x在(0,)e上单调增，在(,) e+∞上单调减，从而 1 ()=() g x g e e = 极大 . 又() g x有且只有一个零点是1，且在0 x→时，() g x→-∞，在x→+∞时，()0 g x→，所以() g x的草图如下， 可见，要想函数 ln () x g x x =与函数y a =的图象在(0,) +∞上有两个不同交点，只需 1 0a e <<. （2）由（1）可知 12 ,x x分别是方程ln0 x ax -=的两个根，即 11 ln x ax =， 22 ln x ax =， 设 12 x x >，作差得，1 12 2 ln() x a x x x =-，即 1 2 12 ln x x a x x = - . 原不等式2 12 x x e >等价于 12 ln ln2 x x +> 12 ()2 a x x ?+>112 212 2() ln x x x x x x - ?> + 令1 2 x t x =，则1 t>，112 212 2()2(1) ln ln 1 x x x t t x x x t -- >?> ++ ， 设 2(1) ()ln 1 t g t t t - =- + ，1 t>， 2 ' 2 (1) ()0 (1) t g t t t - => + ， ∴函数()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=， 即不等式2(1) ln 1 t t t -> +成立， 故所证不等式2 12x x e >成立. 考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值、利用导数证明不等式，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者进一步转化为不等式恒成立问题利用导数证明. 5．（1）()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；（2）当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为3 2a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ． 【解析】 试题分析：（1）研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）由于[0,2]x ∈，因此先分类 0a ≤，2a ≥，02a <<，前两种情形，绝对值符号直接去掉，因此只要用导数'()f x 研 究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，只是此时是分段函数， 33 3()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ?+-+≤≤?=?--+≤≤??，2 233,2, '()33,0. x a x f x x x a ?+≤≤?=?-≤≤??，可以看出这时又要分类：01a <<，12a ≤≤，得单调性再得最小值． 试题解析：（1）当0a =时，3 ()3||2f x x x =++． ①当0x ≥时，3 ()32f x x x =++，2 '()330f x x =+>， ∴()f x 在(0,)+∞单调递增； ②当0x <时，3 ()32f x x x =-+，2 '()333(1)(1)f x x x x =-=-+． 10x -<<时，'()0f x <，∴()f x 在(1,0)-单调递减； 1x <-时，'()0f x >，∴()f x 在(,1)-∞-单调递增． 综上，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-． （2）①2a ≥时，3 ()3()2f x x a x =+-+，02x ≤≤， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，min ()(1)3f x f a ==． ②0a ≤时，3 ()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤， 2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增， ∴min ()(0)32f x f a ==-+． ③02a <<时，而02x ≤≤，333()2,2, ()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ?+-+≤≤?=?--+≤≤?? ∴2 233,2, '()33,0. x a x f x x x a ?+≤≤?=?-≤≤?? （i ）01a <<时，()f x 在[],2a 上单增，()f a 为最小值． 2'()3(1)0f x x =-<在0x a ≤≤上恒成立， ∴()f x 在[]0,a 上单调递减， ∴3 min ()()2f x f a a ==+． （ii ）12a ≤≤时，()f x 在[],2a 上单调递增，3 min ()()2f x f a a ==+． 在0x a ≤≤时，2 '()3(1)f x x =-， ∴min ()(1)3f x f a ==． 综上可知，当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为3 2a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ． 考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值． 6．（1）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a +∞； （2）1 2 a > 【解析】 试题分析：（1）先求出()'()g x f x =的解析式，然后求函数的导数()g x '，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求出()g x 的单调区间；（2）分别讨论a 的取值范围，根据函数极 值的定义，进行验证可得结论. 试题解析：（1）()ln 22g x x ax a =-+，(0,)x ∈+∞，则112'()2ax g x a x x -=-= ， 当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >，当0a >时，1 (0, )2x a ∈时，'()0g x >， 1 ( ,)2x a ∈+∞时，'()0g x <，所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1 (,)2a +∞.（5分） （2）由（1）知，'(1)0f =. ①当0a ≤时，(0,1)x ∈时，'()0f x <，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由（1）知'()f x 在1 (0,)2a 内单调递增， 当(0,1)x ∈时，'()0f x <，1 (1,)2x a ∈时，'()0f x >，所以()f x 在1x =处取得极小值， 不合题意. ③当12a = 时，即112a =时，'()f x 在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a > 时，即1012a <<，当1(,1)2x a ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1 2 a > . 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，体现了导数的综合应用，着重考查了函数的单调性、极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，把问题等价转化等是解答的关键，综合性强，难度较大，平时注意解题方法的积累与总结，属于难题. 7．（1）最大值为()00f =；（2）①b 的取值范围是1b ≥；②证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）由()f x 在0x =处有极值得'(0)0f =，从而求得a ，然后由'()f x 正负，研究()f x 的单调性，得极值，最值；（2）①这类问题，可假设存在，不等式()0g x <在 ()0+∞， 上恒成立，考虑到(0)0g =，因此最好有(0,)x ∈+∞时，()(0)g x g <，则恒成立 结论为真，由此研究()g x 单调性，求导1'()1g x b x = -+，注意到1011 x <<+，因此分类1b ≥，0b ≤ ，01b <<分别研究'()g x 的正负，得()g x 的单调性，可得结论；②要证明 此不等式，可能需要用到上面函数的结论，由上面的推理 ()()ln 101x x x x x <+<>+，取1x n =得不等式： 111 ln 11n n n ??<+< ?+??，令21ln 1 n n k k x n k ==-+∑，则112x =，因此只要证得{}n x 是递减数列，不等式的右边就证得，为此作差 ()1222 111ln 101111n n n n x x n n n n n n -??-= -+<-=-< ?+-++??， 不等式的左边，由()1 21 1ln ln ln 1ln1ln 1n n k k n k k k -==?? = --+=+?? ?? ???∑∑，则有1 1222 11 111ln 1ln 1111n n n n k k k k k n x k k k k n --===?? ????=-+=-++ ? ???+++??????∑∑∑1 2111 n k k k k -=??>- ? +??∑()1 211 1n k k k -=?? ?=- ?+?? ∑()1111111n k k k n -=??≥-=-+>- ? ?+??∑．这里用到了不等式的放缩法． 试题解析：（1，且函数()f x 在0x =处有极值 ，当()1,0x ∈-时，()()' 0,f x f x >单调递增 当()0,x ∈+∞时，()()' 0,f x f x <单调递减 所以函数()f x 的最大值为()00f = （2（i ）若1b ≥，则所以()()ln 1g x x bx =+-在[ )0,+∞上为减函数 ∴()()()ln 100g x x bx g =+-<=在[)0,+∞上恒成立； （ii ）若0b ≤，则[ )0,x ∈+∞时，所以()()ln 1g x x bx =+-在[ )0,+∞上为增函数 ∴()()()ln 100g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在[)0,+∞上恒成立； （iii ）若01b <<，则()'101g x b x =-=+时，11x b =- 当10, 1x b ?? ∈-???? 时，()'0g x ≥ 所以()()ln 1g x x bx =+-在10, 1b ?? -???? 上为增函数， 此时()()()ln 100g x x bx g =+->= 所以不能使()0g x <在[ )0,+∞上恒成立 综上所述，b 的取值范围是1b ≥ ②由以上得： ()()ln 101x x x x x <+<>+ 取1x n =得： 111 ln 11n n n ??<+< ?+??，令21ln 1 n n k k x n k ==-+∑ 则()112221111,ln 1021111n n n n x x x n n n n n n -??= -=-+<-=-< ?+-++?? 因此111 2 n n x x x -<<= L 又()1 21 1ln ln ln 1ln1ln 1n n k k n k k k -==?? = --+=+?? ??? ??∑∑ 故1 1222 11 111ln 1ln 1111n n n n k k k k k n x k k k k n --===?? ????=-+=++ ? ???+++??????∑∑∑ ()()1 1122111111111111n n n k k k k k k k k n k k ---===?????? ?>-=-≥-=-+>- ? ? ? ?+++??????∑∑∑. 考点：用导数研究函数的极值、单调性、最值，不等式恒成立问题，用函数证明不等式． 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得0 解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有0 3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的， 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 高二（下）数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 （一）求函数)(x f 单调区间的方法： 1.如果在),(b a 内，0)(/ >x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； 2.如果在),(b a 内，0)(/ 【典型例题】 例题1（1）确定函数422+-=x x y 的单调区间； （2）找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间； （3）求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x ）的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 （1）x e x f x -=)(；（2）x e x x f ln 2)(2-=； （3）x e x x x f -++=)1()(2 例题3 （1）求方程0＝7＋6x －2x 23在区间(0,2)上的根的个数． （2）证明方程x －12 sinx ＝0有惟一解． 小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x . 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33 -+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为：(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: （1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =- 解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞ 函数的单调递减区间为：(,0)-∞ （2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞ 函数的单调递减区间为：(0,1) 例2、 证明：函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明：222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解：函数的递增区间： ∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解：函数的定义域(0,)+∞ 利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一．学情分析 本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整． 二．教学目标 用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论． 三．教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点． 四．教学设计 【例1】（《创计新设》第42页）已知函数2()ax f x x e -=?，a R ∈． （Ⅰ）当=1a 时，求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性． 分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得() 2()2ax f x x ax e -'=-?， 其中22=0x ax -根为0x =或2x a = ()0a ≠． ①当=0a 时，若0x <，则()0f x '<；若0x >，则()0f x '>． 所以当=0a 时，函数f (x )在区间()0-∞，上为减函数，在区间()0+∞，上为增函数． ②当0a >时，当0x <或2x a >时，()f x '；当20x a <<时，()f x '． 所以函数()y f x =在区间()0-∞，与2 +a ??∞ ???，上为减函数，在20a ?? ???，上为增函数． 【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断()f x '的符号问题上，而()0f x '>或()0f x '<，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题； 2．让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根． 【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知a 是实数，函数())f x x a = -． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； 分析：函数的定义域为[0)+∞，， 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力， 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数. 利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+- 第2讲 导数的应用 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ????0，1e 上递增 D.在? ?? ??0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1e ，令f ′(x )<0 得0 上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B 5.设函数f(x)＝1 2x 2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范 围是() A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2x 2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)， 当x－9 x≤0时，有0 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，导数与函数的单调性练习题
利用导数求函数的单调区间
用导数求函数的单调性
利用导数研究函数的单调性
《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
高中数学选修2-2函数的单调性与导数
利用导数判断函数的单调性
利用导数研究函数的单调性和极值(答案)
(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)
利用导数判断单调性例题精讲
利用导数研究函数的单调性问题
(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
导数讨论含参函数的单调性
专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)
(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳
第2讲第1课时利用导数研究函数的单调性 (1)
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型