成人高考(高起专、本)数学模拟试题(一)

2012 年成人高考（高起专、本）数学模拟试题（一）

（理工类）

一、选择题（本大题共15 小题，每小题 5 分，共 75 分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．设集合A x x 2 , B x x a ，若A B ，则有（）

A ． a2B． a2C． a2D． a2

2．已知ab0 ，则“x ab”是“a, x,b成等比数列”的（）

A ．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

3．设函数y f (x)的定义域是1,1 ，那么函数y f (log 1 x) 的定义域是（）

2

A．1

,2B．0,2C．2,D．0,

1 22

4．函数y log 0.5 (6x x2 ) 的单调递增区间是（）

A ．(11

C．(,

1

D．( 3,

1 , )B．( ,2))) 2222

5．复平面上点Z1, Z2分别对应复数z11, z23i，将向量 Z1 Z2绕点 Z1逆时针旋转 90 ，得向量 Z1 Z3，则点Z3对应的复数z3为（）

A ． 3 i B． 3 i C． 3 4i D． 2 i

6． M 为抛物线y24x 上一动点，F为抛物线焦点，定点 P(3,1) ，则MP MF 的最小值为（）

A ．3

B ．4C．5 D ．6

7．圆台上、下底面面积分别为1cm2和 49cm2，平行于底面的截面圆面积为25cm2，那么截面到上、下底面距离之比为（）

A．3：1B．1：2C．2：1 D ．1：3

8．直线2x y 4 0绕它与x轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是（）

4

A ．3x y 6 0B．x 3y 2 0

C ． 3x y 6 0

D ． x y 2 0

9．若 f ( x) log a ( x m) 的图象过点（ 3，1）， f (x) 的反函数 f

1

( x) 的图象过点

（0，2），则 a 和 m 的值顺次为（ ）

A ． 1

,3

B ．1

,1

C ．2，3

D ．2，1

2

2

10． y sin 2x 向 x 轴负方向平移

5

后得到 y

f ( x) 的图像，则 f ( x) 的单调递增区间是 （

）

12

A ． k

2

, k (k Z )

B ． k

,k 2 (k Z )

3

6

6

3

C ． 2k

,2k 3 Z )

D ． 2k

,2k 2 ( k Z )

4

(k

3

4

3

( 1 3i)

3

2 i 等于（

）

11．

i ) 6

1 2i

(1

A ．1

B ．－ 1

C ．0

D ． i

12．已知直二面角

l ，直线 a ，直线 b ，且 a,b 与 l 均不垂直，那么直线 a 和 b

的关系为（

）

A ． a 和 b 不可能垂直，也不可能平行

B ． a 和 b 不可能垂直，但可能平行

C ． a 和 b 可能垂直，但不可能平行

D ． a 和 b 可能垂直，也可能平行

．已知 a 4, b 5 ，向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a b =（ ）

13 3

A ．40

B ．20

C ．30

D ．10

14．直线

x

t cosa

（ t 是参数）与圆

x

4 2 cos （ 是参数）相切，则直线的倾斜角

为

y t sin a

y

2sin

（ ）

A ． 或

5

B ．

或

3

C ．

3

或 2

D ．

或

5

6 6 4

4

3

6 6

15．任意抛掷三枚硬币，恰有一枚硬币国徽朝上的概率是（

）

A ．

1

B ．

1

C ．

3

D ．

3

4

3

8

4

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上）

16．若函数y x2 2 x 3 在区间 0, log 1 a 上的最大值是3，最小值是 2，则a的取值范围

2

是。

17．已知(1x)n a0a1x a2 x 2a n x n中， 3a n 6 2a4，那么 (1 x)n的展开式中，中间两项依次是。

18．在 4 张卡片上分别写有数字1，2，3，4，由这 4 张卡片组成个位数字不是 2，百位数字不是 3 的四位数有个。

19．P 为椭圆x

2

y 21上一点，它到椭圆的右焦点距离为4，那么它到椭圆的左准线的距2516

离为。

三、解答题（本大题共 5 题，共 59 分，解答应写出推理、演算步骤）

20．（本小题满分 11 分）

用边长为 60cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接而成（如下图），问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？

21．（本小题满分 12 分）

如图，在三棱锥P—ABC 中， PA PC ，APC ACB 90 , BAC 30，平面

PAC平面 ABC．

（ 1）求证：平面PAB平面PBC．

（ 2）若 PA 2 ，求三棱锥 P—ABC 的体积．

22．（本小题满分 12 分）

在数列 a n中，已知 a1 2, a n 1a n，设 b n1 1 ．

a n3a n2

（1）证明数列b n是等比数列．

（2）求数列a n的通项公式．

23．（本小题满分 12 分）

已知椭圆x

2

y

2 1(a b 0) 的右焦点为F，过点F作倾斜角为135的直线 l 交椭圆于a2b2

A、B 两点，线段 AB 的中点为 M，直线 AB 与 OM 的夹角为，且 tan3，求椭圆的离

心率 e 的值．

24．（本小题满分 12 分）

已知 f ( x) x(

11

) 2 x12

（ 1）指出函数的奇偶性，并加以证明．

（ 2）求证：对函数定义域内的任何 x ，恒有 f (x) 0 ．

参考答案

一、选择题

1．C

2．A

3．A4．B 5． D 6．B 7．C8．A 9．D10．A

11． C 12．B

13．D 14． A

15． C

二、填空题

16． 1,

1

17． 126x 4 ,126 x

5

18．14

19．10

4 2

三、解答题

20．解 设水箱底边长为 xcm ，则水箱高（单位： cm ）

h

60 x ．

2

水箱容积（单位： cm 3

）

V V ( x) x 2

h

60 x

2

x 3

(0 x 60) ．

2

由问题的实际情况来看， 如果 x 过小，水箱的底面积就很小， 容积 V 也就很小；如果 x 过大，水箱的高就很小，容积 V 也就很小，因此，其中必有一适当的 x 值，使容积 V 取得最大

值．求 V (x) 的导数，得

V ( x) 60 x

3 x 2 ．

2

令 V ( x)

0 ，即 60x

3 x 2

0，解得

2

x 1 0 （不合题意，舍去），

x 2

40 ．

当 x 在（0，60）内变化时，导数 V ( x) 的正负如下表：

x（0，40）40（ 40，60）

V (x)＋0－

因此在 x 40 处，函数V (x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V ( x) 的最大值．将x40 代入V ( x)，得最大容积

V402604016000

2

21．证（ 1）平面 PAC平面 ABC ， BC AC

BC平面 PAC ， BC PA

又PA PC ，PA平面 PBC

由于PA平面 PAB

平面 PAB平面 PBC ．

解（2）过 P 作 PD AC交 AC于 D，则 PD平面 ABC

由 PA2，知PD2，AC

22 2 2，BC

3

S ABC 4 3

V p ABC 1

2

446 339

22．解（ 1）显然a n0

由a n1

a n a n 3

得

1

1

3

a n a n

1

113(

1

1 )

a n12a n2

即 b n 13b n

1 1 1为首项，以 3 为公比的等比数列．

数列 b n 是一个以 b 1

2

a 1

（2）由（ 1）知

1

1 3n 1

a n

2

a n

2

3n 1

1

2

这就是求的数列

a n 的通项公式．

23．解 设椭圆的右焦点为 (c,0) ，其中 c

2

a

2

b 2

，直线的 AB 方程为

y ( x c)

y

x c

由 x

2

y 2

消去 y 并整理，得 (a 2 b 2 )x 2 2a 2 cx a 2 (c 2 b 2

) 0 a

2

b 2 1

a

2

b

2

0 ，4a 4 c

2

4a 2 ( a

2

b 2 )(c

2

b 2 ) 8a 2b

4

设两交点 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ，则 x 1 x

2a 2

c

2

b

2

a

2

x 1

x 2 a 2

c

x 0

2

a

2

b

2

y 0

x 0 c

a 2

c

c b 2

c

a 2

b 2

a 2

b 2

b

2

k

OM

a

2

由已知 k AB

1及 tan

3

得 k OM 1

3

1 k OM

解得

k OM

2 或 k OM

1

2

由于

a b ，

k

OM

b 2 1

a 2

2

所以 e

2

c 2

1 b 2

1

1 1

a 2 a 2

2 2

2

故e

．

2

24．解（1）f (x)的定义域为x x R,但x0

f ( x) ( x)(11 2 x1

) x(

11

又

2x

1

) x(

2

x

122

x

1

) f (x) 22

f ( x) 是偶函数．

（2）当 x 0时， 2 x1，所以f ( x)0 ．

当 x 0时，由f (x)是偶函数，所以也有 f ( x) 0 ．

总之，对一切 x(x R, x 0) 恒有 f (x)0 ．

4、她们宁可做一时的女王，不愿一世的平庸。

5、男人插足叫牛逼，女人插足叫小三。

6、你要成佛成仙，我跟你去，你要下十八层地狱，我也跟你去。你要投胎，我不答应！

7、忘川之畔，与君长相憩，烂泥之中，与君发相缠。寸心无可表，唯有魂一缕。燃起灵犀一炉，枯骨生出曼陀罗。

8、如果还有机会的话，我一定会让你回到我的身边，我不想让你和别人结婚。

9、每个人心里都有脆弱的一面，如果放大这种脆弱的话，没人想活。

10、我做了一个很伟大的决定，看你这么可怜，又没有朋友，我们做朋友吧！

11、我不该只是等待，我应该去寻找。

12、哪怕再花上七十年，七百年，我想我肯定会找到他！

13、恶鬼：你敢打我！夏冬青：你都要吃我了，我还不能打你啊！

14、人活着就会失去，你失去的不会再来，你争取的永远都会失去！

15、阿茶：我可以让你抵抗时间的侵袭。弹琴盲人：那我是不是也就失去了时间？

16、孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。

17、冥王阿茶：想早点见到我吗？冬青：不用了吧，顺其自然。

18、我妈把我生得太仓促了，我又控制不了。

19、神，生于人心，死于人性。请垂怜于我吧，让我再次眷顾，深爱的你们。

20、人天生心欲做恶，意志薄弱，神便说，人须为自己的罪负责，因为他被赋予了自由的意志，而真心悔罪者，神便从他的身上把罪除去。

21、我们从虚空中来，每个人都抱着善与恶，有人升入天堂，有人堕入地狱，在无边的业火中，我想起你，想起从前，我们曾经离得那么近。

22、你们天人总是一厢情愿，总以为世人应该微笑着，那不是很残酷，没有人愿意。

23、你有没有过这样的东西，沾染过你的体温，聆听过你的心事，它们得到爱，回报爱。你有没有丢弃过这样的东西，它们在黑暗的角落，想念着你。即使粉身碎骨，即使已过经年，终有一天，思念，会把它们带到你的身边。

24、很久很久以前，有一种生物，学会了用两足站立，尝试着迈开双腿。自此，他们就踏上了旅途，那是被时间驱赶着，永无止境的旅途??

25、我借着爱的轻翼，飞过园墙，砖石的墙垣，不能把爱情阻隔，甚至，死亡。

26、你这双眼睛，我给你的。

27、他的命是我的，你想要，不给你。

28、诞生于想象之中，流传于口舌之上，欲望，永远存在，生生不息。

29、我，还会回来的。

30、人活着就会失去。你失去的不会再来，你争取的永远都会失去。

31、死亡与夜色为友，揭开了黄泉的一角，寄予这生命，时机一到，他便降临到你身边。

32、就为了这么一点点的美丽，她们可以放弃友情，亲情，爱情?这就是，所谓的TM 的人性 #

世界脏到羞耻，谁有资格说难过。

创伤，也是一种成熟的象征。

你知道被迷惑，说明你尚且清醒，当你不知道迷惑时，才是最可怜的。

狂妄的人有救，自卑的人没法救。

伤害别人并不能掩盖自己的缺点，不过是自欺欺人罢了。

内心各种小心算计，心中不坦白，表达颠三倒四，五官又怎么端正。

多讲点笑话，以幽默的态度处事，这样子日子会好过一点。

活在别人的赞扬与掌声中，终究会成为一个敏感脆弱的人。

沉默是毁谤最好的答覆。

对人恭敬，

无私奉献的爱心，让你拥有一切。

仇恨的心无法被治愈，只有宽容才能化解仇恨，饶过别人就是饶过自己。

接受眼前的现实，你才能超越现实。