万有引力定律知识点总结

( R + h )2

2.表达式：F ＝G

知，物体的重力将变小。当 GMm

R 2

R 2 一、开普勒行星运动定律 的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的

定律 第一定 律（轨道 定律）

第二定 律（面积 定律）

第三定 律（周期 定律）

内容

所有行星绕太阳运动的 轨道都是椭圆，太阳处在

椭圆的一个焦点上。

对任意一个行星来说，他 与太阳的连线在相等的

时间内扫过相等的面积。

所有行星的轨道半径的 半长轴的三次方跟它的

公转周期的平方的比值 都相等，a 3/T 2=k 。

图示 一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心

力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力

F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化， 即重力加速度 g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．

1.若不计地球自转的影响，则物体在地球表面的重力等于 地球对物体的万有引力，即 mg = GMm , 则星球表面的

R 2

GM 重力加速度为： g =

R 2

2.同理，若不计地球自转的影响，在距地球表面高 h 处的

GM

重力加速度为： g =

h

注意：

1. 开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，对于

卫星绕行星运转，也遵循类似的运动规律。

3.若考虑地球自转的影响，

（1）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向和 mg 刚好在一条直线上，则有

2.比例系数 k 与中心天体质量有关，与行星或卫星质量无关， 是个常量，但不是恒量，在不同的星系中，k 值不相同。

3. T 为公转周期，不是自转周期。 F ＝F 向＋mg ，

所以 mg=F 一 F 向

＝

GMm R 2

－mRω

自

2 二、万有引力定律

1.内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间 则赤道处重力加速度为：g=

GM R 2

－Rω自 2

的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的 平方成反比。 m m

1 2

r 2

其中 G=×10-11N?m 2/kg 2，称为为有引力恒量。

3.适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说 只适用于两质点间引力大小的计算，如果相互吸引的双方是 质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质 点，此时 r 是两球心间的距离。

（而地球赤道处的向心加速度 a n = Rω自 2 =s 2，因此一般不 计其自转的影响；注意：当题目中出现地球自转时需要考虑 此问题。）

（2）在两极处，由于物体做圆周运动半径 r 为零，向心 力为零。因此重力等于万有引力，即 mg = GMm ，此时

R 2

重力加速度达到最大值，即 g = GM

R 2

三、星球瓦解问题

4.对万有引力定律的理解

（1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量 物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本的相

＝

假设地球自转加快，即ω

自

变大，赤道上物体的重力由 mg

GMm

－m Rω 2

=mR 2 自

互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存 在着这种相互作用。

ω自 2 时，mg=0，此时地球赤道上的物体无重力，要开始“飘” 起来了，若自转继续加快，星球即将要瓦解。

（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与 反作用力．它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体 上。

（3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在 可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的

星球瓦解的临界角速度ω自＝

星球瓦解的临界密度 ρ = 3π

GT 2

六、计算天体质量和密度

GM R 3 = g

R

存在才有宏观物理意义。 二、重力加速度

原理

“天上”法

万有引力提供向心力：

“人间”法

万有引力等于重力：

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面

对 m 1：Gm 1m 2/L =m 1ω r 1 ； r 2 r T

r 2 ? = m v 2

= m ω 2

(R + h ) = m 2π ?

R + h

GMm r 2

= m v 2

r

mg =

GMm

R 2

（1）最小的发射速度 （2）最大的环绕速度

= m ω 2r = m

4π 2 T 2

r （3）近地卫星的环绕速度 3、第一宇宙速度的两个计算公式

质量

M=

4π 2 r 3

GT 2

M =

gR 2

G

（1） v = GM （M 为星球质量，R 为星球半径）

R

（2） v = gR （g 为星球表面重力加速度，R 为星球半

需要已 知量 密度

=v 2r/G=ω2r 3/G G 、r 、T(或ω、v)

M 3π r 3 ρ = =

V GT 2 R 3

G 、g 、R

ρ =

3g

4π G R

径）

3.注意：两个公式是等价的；不仅可以用于地球的第一宇宙 速度，也适用于其它星球。 八、黑洞

黑洞是一种引力极强的天体，就连光也不能逃脱。当恒星的

特例，当 r=R 时：

ρ =

3π

GT

2

注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： 1.“一个中心”即只能计算出中心天体的质量。

2.“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量 G 外，还要已知两个独立的物理量。 半径小到一定程度时，就连垂直表面发射的光都无法逃逸 了。这时恒星就变成了黑洞。说它“黑”，是指它就像宇宙 中的无底洞，任何物质一旦掉进去，“似乎”就再不能逃出。 由于黑洞中的光无法逃逸，所以我们无法直接观测到黑洞。 然而，可以通过测量它对周围天体的作用和影响来间接观测 或推测到它的存在。

四、双星：

1.两颗星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，称之为双

黑洞的第二宇宙速度大于光速， 2GM R

> c

星。

2.方程

八、卫星的四个参量

由万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力得：

2 2

对 m 2：Gm 1m 2/L 2=m 2ω2r 2

L= r 1+ r 2

3.特点：“三个相等，三个反比”

GMm v 2 2π

= m = m ω 2r = m ( )2 r = ma

n

解得： v = GM ，ω = GM ，T = 2π r 3 ， r r 3 GM

a = G M

n （1）三个相等：角速度ω、周期 T 、向心力大小相等。 （2）三个反比：半径 r 、线速度 v 、向心加速度 a n 与其质量

m 成反比。

4.注意：万有引力公式 F =

Gm 1

m 2 中的 r 应是两星体质

r 2

量中心之间的距离；而向心力公式 F n =mω2r 中的 r 应是该星 体做圆周运动的轨道半径。

1.四个参量都是 r 的函数，r 一定，四个参量大小不变。

2.四个参量中“三度”（线速度 v 、角速度ω、加速度 a ）随 着 r 的增加而减小，只有 T 随着 r 的增加而增加。

3.任何卫星的环绕速度不大于 7.9km/s ，运动周期不小于。

4.上述公式适合卫星在圆轨道上运行。 八、卫星的高度

七、宇宙速度

1.三个宇宙速度的比较

GMm v 2

(R + h )2 = m R + h = m ω

2

(R + h )= m ? 2π ?2 (R + h )

? T ? 宇宙速度 第一宇宙速度 （环绕速度）

数值

v 1=s

意义

人造地球卫星的最小近地 发射速度；最大环绕速度； 近地卫星环绕速度。

GMm ? ?2 (R + h )

(R + h )2 ? T ?

九、自转与公转的比较

第二宇宙速度 （脱离速度） 第三宇宙速度 v 2=s

v 3=s

使卫星挣脱地球引力束缚 的最小发射速度

使卫星挣脱太阳引力束缚

定 义

自转

地球上的物体绕着地 轴随地球一起转动

公转

物体（卫星）绕天体（太阳、 地球、月球等）做匀速圆周运 （逃逸速度）

2、第一宇宙速度的三层含义 的最小发射速度

动

向 由万有引力的一个分 全 部 由 万 有 引 力 提 供

v 2 = m ω2r = m 4π2

r

r 3

，随半径

4π 2 －R

R + h K = ，由于重力加速度 g 随高度增大

卫星的动能为 E 2r

v=s 式

EP = - GMm

GM

a =

一定

( R + h )2

GMm

心 力

力提供

F 万=G+F 向

GMm r 2 = m

r T 2

视转播，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫 星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫

半 径

周 期

到地轴的垂直距离，从 两极到赤道递增

等于地球自转周期 T=24h

到天体中心的距离

周期 T = 2π r 3

星都必须位于赤道上空×107m 处，各卫星之间又不能相距 太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。 十一、人造地球卫星轨道

(M 为中心 1.所谓人造地球卫星轨道就是人造地球卫星绕地球运行的

角 速 度

GM

天体质量、r 为轨道半径)， 其随半径的增大而增大

等于地球自转角速度

ω=2π/T 角速度 ω =

GM

的增大而减小

轨道。这是一条封闭的曲线。这条封闭曲线形成的平面叫

人造地球卫星的轨道平面，轨道平面总是通过地心的。 2.分类：(1)按轨道形状分为圆轨道(圆心为地心)和椭圆轨

道(焦点之一为地心)；(2) 按飞行方向分可分为顺行轨道 （与地球自转方向相同）、逆行轨道（与地球自转方向相 反）、赤道轨道（在赤道上空绕地球飞行）和极轨道（经过

地球南北极上空）；(3) 按离地面的高度，可分为低轨道、

线 速 度

线速度 v=ωr ，从两极 到赤道递增，赤道处物 体线速度最大

线速度 v = GM

r

中轨道和高轨道；(4)按地面观测点所见卫星运动状况分为

，随半径的 一般轨道、太阳同步轨道和对地静止轨道。

增大而减小

十、同步卫星

1.同步卫星的五个“一定”

公式

数值

十三、卫星的能量

当卫星具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动， 而在较高轨道上运动的卫星却具有较小的动能。反之，如

轨道一定 周期一定

只能在赤道轨道平面

和地球保持相对静止， T =24h 所以其周期等于地球 果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在 这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。 同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中

高度一定

速度一定

自转期

GMT 2

h ＝ 3

GM

v=

h=×104 Km

GMm

而减小，所以重力势能不能再用 E k =mgh 计算，而要用到公

（以无穷远处引力势能为零，M 为地球质

r 量，m 为卫星质量，r 为卫星轨道半径。由于从无穷远向地

向心加速度

a= m/s 2

球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）

因此机械能为 E = -

。同样质量的卫星，轨道半径

2r

2、 赤道上的物体、近地卫星、同步卫星、月球比较

越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困 赤道上的

近地卫星

同步卫星

月球

物体

周期 24h

24h

天

难。

十四、卫星变轨

轨道 半径 R=6400km R=6400km ×104 km= 38000km=60R 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是 卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个

线速 s s km/s km/s 技术．

度 1.从椭圆远点变到圆轨道

向心 m/s 2

s 2

m/s 2

×10-3 m/s 2

v

加速 度

3、同步卫星的轨道

同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地 球自转方向一致即由西向东。通讯卫星可以实现全球的电

地球

A

如图所示，在轨道 A 点，万有引力 F A ＞ m ，要使卫星

改做圆周运动，必须满足 F A ＝ m 和 F A ⊥v ，在远点已满

v 2 r

v2 r

呢？事实上，这样做是不行的，因为环绕速度与轨道半径 是一一对应的，即同一个圆轨道上的卫星的环绕速度值都

相同，此时万有引力刚好等于人造卫星做圆周运动所需的

足了 F A ⊥v 的条件，所以只需增大速度，让速度增大到 m v 2 r

向心力，即 F 万=F 向，当飞船加速时它所需的向心力也相应 增大，即 F 万＜F 向，从而使飞船产生“离心”现象，所以

＝F A ，这个任务由卫星自带的推进器完成．

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭 圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的 速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨

道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫 星也是通过这种技术定点于同步轨道上的． 2.从圆轨道变到椭圆轨道

v

飞船的加速会使它偏离原来的轨道，而无法实现与空间站 的对接。

十五、连续物还是卫星

连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相 同，其线速度 v 与 R 成正比。而对卫星来讲，其线速度 v=， 即 v 与 R 的平方根成反比。答案：AD

【例题】根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环

是土星的连续物还是小卫星群,可测出环中各层的线速度 v

地球

B

与该层到土星中心的距离 R 之间的关系.下列判断正确的

( )

A.若 v 与 R 成正比，则环为连续物

在 B 点加速可实现从圆轨道变到椭圆轨道。 3.从椭圆轨道变到椭圆轨道

v

B.若 v 2 与 R 成正比，则环为小卫星群

C.若 v 与 R 成反比，则环为连续物

D.若 v 2 与 R 成反比，则环为小卫星群

地球

D

十五、宇宙膨胀

【例题】在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫

在近地点 B 点加速可实现从小椭圆轨道变到大椭圆轨道。

4.从圆轨道变到圆轨道

v

做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力恒量 G 在缓慢地

减小．根据这一理论，在很久以前，太阳系中地球的公转 情况与现在相比( )

A. 公转半径 R 较小

B. 公转周期 T 较大

C. 公转速率 v 较小

D. 公转角速度ω较大

F

地球

E

从小圆轨道变到大圆轨道过程：先在小圆轨道的 E 点加

速，从圆轨道变到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点 F 点再 次加速，从椭圆轨道变到大圆轨道。

【总结】要想往外轨道运动，必须加速，使它做离心运 动；要想往内轨道运动，必须减速，使它做向心运动。 十五、空间站对接

对接方法：宇宙飞船先在较空间站低的轨道上运行，当运行

到适当位置时再加速运行到空间站的轨道，从而实现对 接。

空间站实际上就是一颗可以载人的人造卫星，人和物品在地

球和空间站间的运送，是通过宇宙飞船（或航天飞机）来 实现的，那么能否通过将宇宙飞船（或航天飞机）发射到 空间站的同一轨道上，再通过加速去追上空间站实现对接