九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲一元二次方程根的判别式(含答案)
第二讲一元二次方程根的判别式
趣通引路】
话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺.一日师傅韦达对小精灵逍：“师傅给你一件随身法宝——“△”，岀去闯荡一下吧！”
“小精灵拜别师傅韦达，来到''方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：''晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x24-2n^7y2-10.Y-18.y+19=0,并且问道：“你能说出实数x、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y看成已知数，把它整理成关于x的一元二次方程2 + (2$—10比+(7尸一18〉，+⑼=0.好哇！因为x是实数，上而的方程必有实数根，所以上0,即(2y-10)2 -4x2(7y2-18y+19)>0,可得(>—1)2<0, 一下子便得到了)=1,再将1代人原方程就可得x=2.
小精灵这里用的法宝“△”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式.一元二次方程卅+加+。=0 (“丸)，当A>0时，有两个不相等的实数根；当』=0时，有两个相等的实数根：当AV0时，没有实数根，反过来也成立.
知识延伸】
例1已知关于x的二次方程0+肿+?=0与"+必卄92=0,求证：当刃力=2(0+化)时，这两个方程中至少有一个方程有实根.
证明设这两个方程的判别式为■，则厶|+4=斤+局一4如+砂.
：°/刀“2 = 2(
.*.A1+A2= P I + Pt ~2p\pi =(J)1 —/?2)2>0.
AAi>0与A2>0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根.
点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明A.+A2>0：本题还可用反证法来证明，即假设WO且A2<0,则A14-A2
例2求函数y=(4-x)+2jF +9的最小值.
解析设"=2 yjx2 +9 —x,则“>0 且y=4+“.
.?.(“+劝2=4("+9),即3Q—2”x+36—“2=0.
?:xWR,故以上方程有解.
A=(2w)2-4x3x(36-w2fe0,即u>27.
又“>0,
：.U>3y/3.
y = 4-X + 2W+9的最小值为4 + 3血(当x=^3时取得).
好题妙解】
佳题新题品味
例【L知实数"[,“2 , “3，“4 满足("f + ?22 )?42 ~ 加2 ("l + “3 )“4 + U2 + Ct3= ° '求证：“2'之】，“3解析把已知等式看成关于心的方程。
当<+t/,2=0时，即q=6=0,结果显然成立。
当已知等式是关于心的一元二次方程，因为“4是实数，知此方程有实根，则ANO.
A A = [-2a2(a I+a3)]2-4(a~ +?,2)(t/,2 +?32)
=—4("J _ 2a22? w +)
=—4(打 - q“3)' 2 0
即(a^-a^)2 <0
又°.° ("J >0
:、(?,2 -?|?3)2 =0 ,即a；=?]“3
点评此题要注意分类讨论：当二次项系数为字母表示的代数式时，应注意它是否为零。
此题在由得到-4(<-^/3)2>0后,还利用了“若HR且/切，则A=0”来解题，是实现由“不相
等”到“相等"的有效方法应掌握。
中考真题欣赏
例(北京市海淀区)已知关于x的方程3,⑶一彷卄一1=0,①只有整数根，且关于y的一元二
次方程厶一1八2 一3〉#加=o,②有两个实数根)，】和力。
(1)当k为整数时，确定R的值；
(2)在(1)的条件下，若加>一2,用关于加的代数式表示yi2^22.
解析(1)当k=0时，方程①化为一尤一1=0,兀=一1,方程有整数根；
-k +1 1
当RHO 时，方程①可化为(x+1) (c-/-k—i) =0.解得xi = ~l, AI=—-— = -1 + —
??*为整数，Q也为整数，
?°.斤=±1.
此时△ = (?￡一1)2 — 4斤伙一1)=1 >0,但当k=\时，伙一1)尸一3y+m = 0不是一元二次方程k=\含去，
.°?k=0, k= — \.
(2)当k=0时，方程②化为一护一3y+/=0.
???方程②有两个实数根，
9
???△=9+4加去0,即心一一
4
又m>—2f
??.当m>-2时，有
yr+yz2=(y\ +yi)2—2y\yi=9+2/?:；
k= — \时，方程②化为一2y2 —3y+加=0,方程有两实根，则△=9 + 8〃心0,即,n>--
8 o o
q1 m > -—时,yi，+y22=(yi+y2)2—2y『2=— +2加：
8 4
点评该题既考查了判别式、根与系数的关系，又考查了分类思想，容易忽视k=0的情形。
竞赛样题展示
例1 (1997年江苏省初中数学竟赛试题)已知“、b、C是不全为0的3个实数，那么关于X的一元二次方程*+ (“+b+c) x+ (H+Z^+c?) =0的根的情况是( ).
A.有2个负根
B.有2个正根
C.有2个异号实根D无实根
解析方程/+ (“+b+c) A+(“2+，+C2) =0的判别式为
△ = ("+Z?+c) 2—4 (B+z^+c2)
=—— 3b?—3c2+lab+2bc+2ca
=(—iP+Nb—b?) + (—b2-b2bc—c2) + (—c2^-2ca—a2) —a2—b2—c2
=—[("—/?) 2+ (b—c) 24- (c—") 2+a2+b2-^c2].
?:a、b、c不全为0,
???△VO
??.原方程无实数解，则选D
点评本题在判断△的正负过程中，用到了配方的技巧.这是常用的技巧，务必掌握。
例2 (2001年全国初中数学竞赛试题)已知关于x的方程(/一1) (―)2 - (2“+7) —+1=0
x-1 x-1
有实数根。
(1)求“的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为a, X2,且亠 + 亠=丄，求“的值
召一1 不一1 11
解析(1)设丄“,则/H1,原方程化为(“2 — 1) f- (2“+7) /+1=0?
x-1
当"2 — 1=0,即“=±1时，方程为
x 1 - x 1
un
X-1 9 X-1 5
1十 1
?X=—一或大=一一
8 4
.当"=±1时，原方程有实数根：
当“H1时，△?()时，原方程有实数根。由厶=[一(2“+7) ]2—4 (/—I) =0,得心-二
28
又『工1,但当r=l时，
3—1) 一(2“+7) +1=0,
解得“=1±2血
由于1±2>/2>-—,
28
当心一竺且“工1±2血时，原方程有实数解:
28
(2)由题设知'羸' 詁，是方程1⑵+7)十。的两个根，利用根与系数的关
系得= 1 ,
宀1 11
???3R—2加一80=0.
Q
解得ci\ = 10f "2=—一?
3
由(1)得，./>-—,
28 3 28
“ = 10 ?
当方程含有字母系数时，应对二次项系数进行讨论，当确定是一元二次方程后，再利用“△”判断根的情况。
过关检测】
A级
1?已知心b、C是三角形的三边，试判别方程屁2+ 32 + *_“2) x + c2 = 0有无实根。
2?已知x2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，F+ (6-
A.2 B. \ C. l D.2 3?加取何值时，方程2 G+1)工+4皿+3加一2=0有两个不相等的实数根。 4?若xo是一元二次方程ax2+bx-ic=0 (G HO)的一个根，则判别式厶=，一4<山与平方式」忆=(2am +b) 2的关系是( )? A. A>M B. A=M C. A D.不确定 5.已知关于x的方程F — "+l)x+k+2=0的两实根的平方和为6,则实数R= _________________ , 6.设*、y是实数，且A-2 +小+于=3,那么F —卩+于的取值范围是 _______________ . B级 1?设a>b>c,求证：(2b—c—a)2—4 (2a_b_c) (2c—a —b) =9 (t/—c) 2. 2?设关于x的方程(1-m2) F+2皿一1= 0的所有根都是比1小的正根，求实数加的取值范围. 3?已知实数x, y, z满足x+y+z=5,小+yz+zx=3,求x的最大值 4?若xo是一元二次方程ax2+bx-ic=0 (G HO)的一个根，则判别式厶=，一4<山与平方式」忆=(2am 4?已知A、B、C 不全相等，求证：三个二次方程A A-2+2B X+C=O, Ccr+2Ax+B =0不可能都有等根。 5?加为给泄的有理数，k为何值时，方程W+4 （1—加）兀+3〃?2—2加+4=0的根总为有理数? 6?已知关于x的二次方程x2 +p\x+q\= 0与x2 +P2A：+<72=0,求证：当p\pi — 2（如+g?）时，这两个方程中至少有一个方程有实根。 第二讲一元二次方程根的判别式 L无实根. f ( -a)2_4(3 -b) >0, 2.A?由已知(6?a)，?4(6?6) =0, > (4-a)2 -4(5-6) <0?.?解不等式组.，得 2 3.-2 4- B.由求根公式，得"二呼二仏. 即2ax +6 = ± 5/A, 平方，得M = 54-3(注意4>0,舍去A=3). 6? 1 —%y + y2 W9 ? 提示:设％2 -矽+才=耐① /+秽+八3. ② ［②-①］*2,得xy B级 1.构造二次方程(2a ?b? c)/ +(26-c-a)x + (2c ? a ? 6) =0. 4(2a - b -c) (2 c —a - A). 不难发现，方程①有一实根"1,其根为叫.2 =叫號;:二1)広，但a > 6 >c,其中只有一个正根, =1,整理化简得A三(3d -3e)G9(a?c)2. 只由②得(“刃2 =3+罗二乎 ????(x kw9? ①它的判别式d = (26-c-a)2- (2b - c _ a)十丿 2(2a -6 -c) 此时样+y = 故k" 即1 W,-?xy+严W9. 当m = -1时,"-寺〈舍去）； 当心 ±1 Ht,A=4m 2 +4(L -m 2) =4 >Q. 依题意有0<亠"〈1,0<：亠 m + 1 m - 1 解得m>2. 3. ??? x+y =5 -z,xy =3 -z(x-f-y) =z 2 -5z+3,于是关于r 的一元二次方程-(5-x)x + (z 2 -5z +3) "由于"是实数，则 A = (5-Z )2-4(Z 2_5Z + 3)MO,得 "WzW 爭即 j =学.' 4. 假设三个方程都有尊根，则 , ? . ? 4B? -4AC=0,4C 2 -4AB=Q,4A 2 -45C = 0.三式相加，得 A 2 + ￡2 + C 1-4C-fiC =0, 即(A-B)24-(B-C)2+(C-A)2=0, '* .> 于是A=B = C,与题设相矛盾,命题成立. 5. V A = [4(1 -m) ]2 -4(3m 2 -2m +4A) = 4(m 2 -6m -4k +4) 只须 卅-6m_4"4为完全平方数，故此二次三项式= ( -6尸?4(4-4上)=20+ 16& =0 ?? & = - 2 4 ? -. 6?设这两个方程的判别式分别为2 0-则2 +A ：二昇 *』-4(山+乞>? pip 2 =2(q 、+g 2). ??? A, +A 2 =P / +p 22 ^^PiPi =(P\ -Pi )2>0? ???街MO 与jmo 中至少有一个成立亍则这两个方程中至少有一个有实根. 它的两根为 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 【最新整理，下载后即可编辑】 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求 的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式 的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。 第六章 一元二次方程 第19讲 一元二次方程的解法 【思维入门】 1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝0 2．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( ) A.? ?? ??x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.? ?? ??x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.? ?? ??x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.? ?? ??x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____． 4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____． 5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____． 6. 先化简，再求值：(x －1)÷? ?? ??2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 【思维拓展】 7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2， 则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为 ( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5 C ．x 1＝－3，x 2＝5 D ．x 1＝－6，x 2＝2 8．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3 ＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____． 9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0. (1)求出方程的根； (2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 九年级数学（上）竞赛试题 一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何 体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ， 则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点 ，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（ ） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（ ） 第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是 。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是 。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图 初中数学七年级上培优 练习册全集(人教版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学练习册七年级（上）人教版 目录： 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷（一） 期末模拟试卷（二） 期末模拟试卷（三） 有理数 第一章有理数一、全章知识结构 2 3 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类 定义：整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用： （1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小； （3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义； （4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x| 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： ?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数.. 七 年 级 数 学 竞 赛 姓名： 得分： 分×12=36） 1．下列说法正确的是（ ） A ．ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B ．若a+c=b+c,则a b d d = C ．若关于x 的方程mx+n=0只有一个解，则m ≠0 D ．若（x+y ）(x-y)=0，则x=y 2．如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．若x=3是方程1()13 m x -=的解，则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 4．若a 与b 互为相反数，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．不能确定 5．某商品提价10%销售一段时间后，销量不大，于是降价10%销售，则下列说法正确的是（ ） A ．该商品通过两次调价恢复到原价 B ．该商品第二次调价后的售价高于原价 C ．该商品第二次调价后的售价低于原价 D ．以上几种情况都有可能 6．若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程，则方程的解是（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．方程12x x -=的同解方程是（ ） A ．322x x -=+ B ．21x x =- C ．21x x =+ D ． 1213 x x -=+ 8．甲、乙两人去商场购物，他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元，乙用了200元，他俩余下的钱数之比是3:4，则甲、乙两人分别余下（ ） A ．300元，400元 B ．240元，320元 C ．180元，240元 D ．150元，200元 9．受季节影响，某种商品每件按原售价打九折后又降价5块，现在售价为175元，则这种商品每件原售价是（ ） A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10．造一件假品牌衬衣成本只有40元，比正牌衬衣销售价的116还少10元，如 一元二次方程竞赛训练题 1．方程k k k x k x (02)13(722 =--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2， 那么k 的取值范围是（ ） （A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。 2．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 3．方程012=--x x 的解是（ ） （A ） 251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 4．已知关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， =+a c b 32 ． 5．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42 -=?与平方式20)2(b ax M +=的关系是 ( ) (A)?>M (B)?=M (C)? 2019-2020学年九年级数学上学期知识竞赛试题 （时间：100分钟 满分：100） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分，请将唯一正确答案填入下表中） 1的结果是 （ ） A 、6 B C 、2 D 2．如图所示，其中是中心对称图形的是 （ ） 3．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是 （ ） A 、93和 B 、31 3 和 C 、318和 D 、2412和 4．下列解方程中，解法正确的是 （ ） A 、，两边都除以2x ，可得 B 、 C 、(x －2)2＝4，解得x －2＝2，x －2＝－2，∴x 1＝4，x 2＝0 D 、，得x ＝a 5．某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程程正确的是（ ） A 、200(1+a%)2=148 B 、200(1－a%)2=148 C 、200(1－2a%)=148 D 、200(1+2a%)=148 6．下列命题是假命题的是 （ ） A 、三点确定一个圆 B 、三角形的内心到三角形各边的距离都相等 C 、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D 、垂直于弦的直径平分弦 7、如上图、一只小虫子欲从A 点不重复的经过图中的每一个 点或每一条线段而最终到达目的地E ，试问这只小虫子沿 E P A →→行走的概率是（ ） A 、31 B 、61 C 、91 D 、121 8．中心角90AOB ∠=的扇形面积为24πcm ，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ） A ．1cm B ．2cm C D ．4cm 9.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与 AB 的位置关系是（ ） （A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不能确定 10.如图所示,EF 为⊙O 的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,那么E 、F 两点到直线MN 的距离之和等于 ( ) A. 12cm B. 8cm C. 6cm D.3cm 二、填空题（每小题2分，共计20分） （第2题图） A D C B P N M l 九年级数学培优练习题 1、二次函数542 +-=x x y 中，已知1≤x ≤4，则y 的取值围是 。 2、如图，正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均 为4cm ，且AB 与MN 都在直线l 上，开始时点B 与点M 重合. 让正方形沿直线向右平移，直到A 点与N 点重合为止，设正方 形与三角形重叠部分的面积为y(cm 2 )，MB 的长度为x(cm)，则 y 与x 之间的函数关系的图象大致是 【 】 3、若抛物线2 (1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，，则b c +的值为 ；如果 3b =，则此条抛物线的顶点坐标为 。 4、如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点； （2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值围，当t 为何值时，S 的值最大； x 九年级数学培优练习题 1、如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EOF ＝60°，AO ＝2，∠AOE ＝20°。设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，则A 、C 两点间的距离为 。 2、如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（3，0），B 点坐标为（0，4），把线段AB 绕原点顺时针方向旋转，使AB 与y 轴平行，则A 点的坐标为 。 3、抛物线bx x y 23 22 +- =与x 轴的两个不同交点是O 、A ，顶点B 在直线x y 33=上，则关于△OAB 是 三角形。 4、如图，从等边三角形ABC 一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 。 5、如图①，OABC 是一放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4. （1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标； （2）图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0＜t ＜5），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标. A M N O F E 二元一次方程组典型例题 【例1】 已知方程组的解x ，y 满足方程5x-y=3，求k 的值. 【思考与分析】 本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法. （１） 由已知方程组消去k ，得x 与y 的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x ，y 的值，最后将x ，y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值. （２） 把k 当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k 的方程，便可求出k 的值. （３） 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k 的值. 把代入①，得，解得 k=-4. 解法二： ①×3－②×２，得 17y=k-22， 解法三： ①+②，得 5x-y=2k+11. 又由5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4. 【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解 二元一次方程组能力提升讲义 知识提要 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按 二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解 含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组? ??=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解 【例2】 解方程组 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零. 解：由①，得 y=4－mx ， ③ 把③代入②，得 2x+5（4－mx ）=8， 解得 （2－5m ）x=-12，当2－5m ＝0， 即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为 将代入③，得 故当m ≠时， 原方程组的解为 例3. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小 数部分，则 11 2b a -= （ ） .A 1 2 .B 2 .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方 案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 33 3 321(1),26 31,=--=- 2和 26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ） .A 0 . B 14 . C 3 4 - .D 2- 4.已知 O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为 （ ） .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，AB AC == 1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ) . A 2 . B 3 . C 2 . D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) 初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为= 。 2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数 的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根1x =；若 ，则它有一个实数根1x =-。 ⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数 ()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。 几个基本模型 （1）设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ?<-???>?? （2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满 足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >??? （3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ， 满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()() ()0000af m af n af p af q >??? （4）一般地设m n ≤设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤???≤?? 初三数学第7次培优 姓名： 班级： 1. 菱形ABCD 中，F 是对角线AC 的中点，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，G 为线段AB 上一点，连接GF 并延长交直线BC 于点H. （1）当∠CAE=30°时，且CE=3，求菱形的面积； （2）当∠BGF+∠BCF=180°，AE=BE 时 ①求∠BFG 的大小； ②求证：GF BF )12(+= 2.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90o，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相较于点D ，E ，F ，且BF=BC ，⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH. (1)求证：△ABC ≌△EBF ； (2)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)若AB=1，求HG·HB 的值 3.已知：如图，在△ABC 中，10==BC AB ，以AB 为直径作⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，连接DE 和BD ，过点E 作AB EF ⊥，垂足为F ，交BD 于点P ． （1）求证：DE AD =； （2）求证：BD BP BE ?=2； （3）若2=CE ，求CD 的长． 4.定义：用函数的最值来判定参数的取值范围，这种方法称为“最值判定法” 例如：当21≤≤-x 时，0≤+a x 恒成立，求a 的取值范围。可令y=x+a ，因为y 随x 的增大而增大，所以当x 取最大值2时，对应的y 取最大值2+a ，由02≤+a ，得2-≤a 。 （1）①对于反比例函数x y 2-=，当1-y ,)0(0≤>≤<时a a x 恒成立，求a 的取值范围。 ②当2≥x 时，32≤--b x 恒成立，求b 的最小值。 （2）若当11≤≤-x 时，不等式x ax x ≤-+-32恒成立，求实数a 的取值范围。 （3）若当11≤≤-x 时，二次函数y=3)1(2--+-x a x 有最大值a ，求实数a 的值。 5.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，A 点坐标（1，0），B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式（用含a 的代数式表示）及其对称轴； （2）抛物线的对称轴交线段BC 于点E,点D 为抛物线对称轴上一点．若a=1，且△ECD 与△ABC 相似，求点D 的坐标； （3）a=2时，直线y=2x+m 与直线BC 交于点P ，与抛物线交于点M 、N ，若以点P 为圆心、 MN 2 1为半径的圆恰与x 轴相切，求m 的值。 一元二次方程的基本知识 形如ax2+bx+c=0(a ≠0)的方程 判别式：△=b2-4ac 求根公式： 韦达定理： 整系数一元二次方程有整数根的必要条件： (1)两个根都是整数；(2)判别式是整数； (3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数. 策略一：利用判别式 例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 与 的根都是整数。 策略二：利用求根公式 例3．设关于x 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。 策略三：利用方程根的定义 例4. b 为何值时，方程 有相同的整数根？并且求出它们的整数根？ 策略四：利用因式分解 例5. 已知关于x 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有__个. 2440mx x -+=2244450x mx m m -+--=2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=220x bx --=22(1)0x x b b ---=2(1)210a x x a -+--= 策略五：利用根与系数的关系 例6：求所有正实数a,使得方程 仅有整数根. 例7：当m 是何整数时,关于x 的方程 的两根都是整数? 例8：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程 有根且只有整数根 例9：已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程 至少有正整数根， 求所有满足条件的质数对（p,q ） 例10:已知关于x 的一元二次方程5x 2－5px+12p-15=0的两个根 均为整数，求实数p 的所有可能的值. 2 40x ax a -+=2(1)10 x m x m --++=0 1)2(2=-+++r x r rx 05)108(2=+--pq x q p x 九年级数学抽测试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分． ) 1．下列一元二次方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2－5＝0 C ．x 2＋x ＋3＝0 D ．x 2－2x －1＝0 2．用配方法解方程x 2＋1＝8x ，变形后的结果正确的是( ) A ．(x ＋4)2＝15 B ．(x ＋4)2＝17 C ．(x －4)2＝15 D ．(x －4)2＝17 3．把抛物线y ＝－1 2x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线 解析式为( ) A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－1 2(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－1 2 (x －1)2－1 4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB ＝3，则BE ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若?=∠55ABD ， 则BCD ∠的度数为（ ） A ．?25 B ．?30 C ．?35 D ．?40 6．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2 7．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为 C A O B D ( ) A．(2，23) B．(－2，4) C．(－2，22) D．(－2，23) 8．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( ) A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( ) A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对 10.函数y＝mx＋n与y＝n mx，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是() 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球个． 13. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例 函数 6 y x （x＞0）的图象上，则点C的坐标为。 1 / 8 1 1 ? 1 1 ? 《一元一次方程》竞赛试题 1．已知 x =一 1 是关于 x 的方程 7x 3 一 3x 2+kx+5=0 的解，则 k 3+2k 2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题) 2． 方 程 1 (20x + 50) + 2 (5 + 2x ) - 1 (4x + 10) = 0 的 解 为 ； 解 方 程 6 3 2 ? ? ? ? ( x - 3) - 3? - 3? - 3 = 0 ，得 x= ． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 8．解关于 x 的方程： （1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1) 9．A 为何值时，方程 x + a = x - 1 (x - 12) 有无数个解？无解？ 2 ? 2 ? 2 2 ? ? 3 2 6 3. 已知关于 x 的方程 2a(x 一 1)＝(5 一 a)x+3b 有无数多个解，那么 a ＝ ． (“希望杯”邀请赛试题) 4. 和方程 x 一 3＝3x+4 不同解的方程是( )． 10． 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解 为 a+2， 那么方程 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解 为 ． 11．已知关于 x 的方程 9x-3=kx+14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k = ． 1 12．已知 1 + 4( 1 + 1 ) = 1 3 ，那么代数式1872 + 48 ? ( 1999x ) 的值为 ． A ．79—4＝59—11 B ． + 2 = 0 x + 3 4 1999 x 4 1999 + x C ．(a 2+1)(x 一 3)＝(3x+4)(a 2+1) D ．(7x 一 4)(x —1)＝(5x 一 11)(x 一 1) 5．已知 a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程 ax=0 的解是 x=1 13. 若(3a+2b)x 2+ax+b=0 是关于 x 的一元一次方程，且有唯一解，则 x = ． 14. 有 4 个关于 x 方程 (1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4) x - 2 + 1 = -1 + 1 (2) 方程 ax ＝a 的解是 x ＝1 其中同解的两个方程是（ ） x - 1 x - 1 (3) 方程 ax=1 的解是 x ＝ 1 A ．（1）与（2） B ．（1）与（3） C ．（1）与（4） D ．（2）与（4） a x x x (4) 方程 a x = a 的解是 x ＝±1 结论正确的个数是( )． A.0 B ．1 C ． 2 D ．3 (江苏省竞赛题) 15．方程1? 2 + 2 ? 3 + + 1995 ?1996 = 1995 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998 16．已知a + 2 = b - 2 = c = 2001 ，且a + b + c = 2001k ，那么k 的值为（ ）． 2 1 ? 3 ? 1 A ． 1 B ．4 C ． - 1 D ．－4 6．方程 x - 6 ?36 - 12(5 x + 1)? = 3 x - 2 的解是（ ） 4 4 A ． 15 14 ? B ． - 15 14 ? C ． 45 14 D ． - 45 14 17．若 k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的 k 值有 A ．4 个 B ．8 个 C ．12 个 D ．16 个 2015年下期九年级上册数学基础知识竞赛试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.用配方法解一元二次方程2430 x x -+=时可配方得（） A.2 (2)7 x-= B.2 (2)1 x-= C.2 (2)1 x+= D.2 (2)2 x+= 2.在△ABC中， ， ， ，则最长边上的中线长为（） B. C.2 D.以上都不对 3．若 2010 a b b c == ， ，则 a b b c + +的值为（）． （A） 11 21（B） 21 11（C） 110 21（D） 210 11 4.如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边 的距离相等，凉亭的位置应选在（） A.三角形的三条中线的交点 B.三角形三边的垂直平分线的交点 C.三角形三条角平分线的交点 D.三角形三条高所在直线的交点 3 y x = 5.如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线 （0 x>） 上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会( ) A.逐渐增大 B. 逐渐减小 C.不变 D.先增大后减小 6.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm， 则梯形ABCD的面积为（） A ．2 B. 6cm2 C. 2 D.12cm2 7.将抛物线2 21216 y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的 解析式是（）． A．2 21216 y x x =--+B．2 21216 y x x =-+- C．2 21219 y x x =-+-D．2 21220 y x x =-+- 8．若实数a，b满足 2 1 20 2 a a b b -++= ，则a的取值范围是（）． （A）a≤2-（B）a≥4 （C）a≤2-或a≥4 （D）2-≤a≤4 二、填空题（每小题3分，共21分） 9.“等腰三角形两腰上的高相等”，这个命题的逆命题是. 10.方程x(x-1)=2(x-1)的解为． 11.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点Ｄ，交边 AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长等于cm． 12.在正方形ABCD中有一点E，△EAB是等边三角形，则∠CED为. 13一个函数的图像关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数24 y x bx =+- 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运 动，设BD＝x，CE＝y.如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°， 则y与x之间的函数关系式为. 15．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车 在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5 分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 三、解答题（共55分） 16.计算: 0020 60|3sin30|cos45 +--（6分） 17.在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/平方米下降到5 月份的12600元/平方米. (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95 .0 9.0≈） (2)如果房价继续回落，按照此前降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交价是 否会跌破10000元/平方米？请说明理由。（8分） 18.如图，某电信公司计划修建一条连接B、C两地的电缆.测量人员在山脚A点测得B、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B处测得C地的仰角为60°，已知C 地比 A 地高200m ， 求电缆BC的长（结果保留根号）.（10分）初三数学圆的专项培优练习题含答案
韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc
八年级竞赛培优第19讲 一元二次方程的解法
九年级数学(上)竞赛试题及答案
初中数学七年级上培优练习册全集(人教版)
七年级数学一元一次方程竞赛题
(完整版)精编一元二次方程竞赛训练题一
2019-2020学年九年级数学上学期知识竞赛试题
九年级数学培优练习题
二元一次方程组竞赛题集答案解析
人教版九年级数学上册 2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解
初三数学圆的专项培优练习题(含答案)
最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解
初三数学培优资料
一元二次方程竞赛题
九年级数学竞赛
《一元一次方程》竞赛试题(可编辑修改word版)
2015年湘教版九年级上册数学基础知识竞赛试卷及答案