同角的余角和补角的关系

在高中数学中，我们学习了很多关于三角函数的知识，其中，余角和补角也是非常重要的一个概念。在这篇文章中，我们将介绍同角的余角和补角的关系。

一、什么是余角和补角？

首先，我们来了解一下余角和补角的概念。

余角是指一个角的补角与它本身的差值，也就是说，如果一个角的度数为x，它的补角的度数为90-x，那么这个角的余角就是90-x。

例如，如果一个角的度数为30度，那么它的补角的度数为60度，它的余角的度数则为60度。

在三角函数中，我们经常需要求一个角的正弦、余弦、正切等值。有时候，我们发现要求的角的值非常复杂，但是它的余角或者补角的值却非常简单，这时候就可以利用同角的余角和补角的关系来简化求解过程。

具体来说，对于一个角A，其余角B和补角C都是相对它而言的。因此，我们可以通过求角A的余角或者补角来简化求解角A的三角函数值。

1. 正弦函数

假设角A的正弦值为sinA，那么它的余角的正弦值为cosA，而它的补角的正弦值为sin(90-A)。

因为sin(90-A)=cosA，所以sinA=sin(90-B)=cosC。

三、结论

sinA=cos(90-A)

tanA=1/tan(90-A)

初中数学：互补的角、互余的角

互补的角、互余的角一、创设情境，引出课题有谁能告诉我：90和180在几何中表示哪两个角的度数? (90是直角的度数，180是平角的度数) 请同学们在练习本上画一个平角取名∠ＡＯＢ，画一个直角取名∠ＣＤＥ，然后，过这两个角的顶点任意画一条射线ＯＭ和射线ＤＮ，并记∠ＡＯＭ＝∠1，∠ＢＯＭ＝∠2，∠ＣＤＮ＝∠3，∠ＥＤＮ＝∠4，你有什么发现? (射线ＯＭ将平角∠ＡＯＢ分成∠1和∠2，并且∠1＋∠2＝180°；射线ＤＮ将直角∠ＣＤＥ分成∠3和∠4，并且∠3＋∠4＝90°) 不论∠1与∠2，∠3与∠4的位置关系如何变化，只要

大小不变，∠1与∠2的和永远是平角，∠3与∠4的和永远是直角．像这样具有特殊数量关系（教师加重语气）的两个角，我们分别称它们互为补角和互为余角．这就是本节课我们要学习的新知识——互补的角、互余的角．二、新知探究 1、互补的角、互余的角的定义如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．从“图形”的角度而言，180°和90°分别表示平角和直角，因而，还可以怎样叙述呢? 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角；如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补角；如果∠3＋∠4＝90°，那么∠3与∠4互为余角．翻开几何教材第50页，找到互为补角、互为余角的定义，做上记号，并将另外两种叙述补充到课本上．以后我们把两角互为补角（或余角），简称作两角互补（或互余）．①定义中的“互为”一词如何理解?

“互为”就是说，如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2，而∠2的补角是∠1；如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1。 ②互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边? 互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边． ③∠1与∠2互补，除用符号语言表示为∠1＋∠2＝180°外，用符号语言还可以表示为_____________．还可以表示为：∠1＝180°－∠2，或∠2＝180°－∠1．强调：问题1告诉我们互补或互余的两个角地位平等，一个“互”字说明概念中的角是成对出现的．问题2说明了互补、互余这两个概念本身是一种纯数量关系，而与两角“身居何处”（也就是位置）没有关系．问题3是一种纯代数中的等式的性质在几何中的再现，在以后的几何学习中，我们要经常借用一些代数方法来解决几何问题．练习：口答 ①若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝_________°． ②若∠1＝180°－∠2，则∠1与∠2_________．

余角和补角

80? 65? 46? 44? 25? 10? 4.3.3 余角和补角( 第1课时) 启东市鹤城初中周新娣教学目标： 1、经历观察、操作、计算、推理等过程，掌握余角和补角的概念和性质。 2、在研究余角、补角的概念和性质的过程中，初步建立符号意识，培养运用归纳、类比等方法进行合情推理的能力。 3、通过运用余角、补角的概念和性质解决简单实际问题，培养数学的应用意识。 4、在共同活动中培养数学兴趣和合作学习能力，在探索过程中养成独立思考、反思总结等学习习惯，形成实事求是的态度和勇于探索的精神。教学重点：余角、补角的概念和性质教学难点：性质的推理，图形中余角、补角的识别预习作业： 1、问题：1 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？如图①，已知∠1=61°，∠2=29°，那么∠1+∠2= 。如图 ②，已知点A 、O 、B 在一直线上，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。 2、问题：2 一副三角板中的两个直角的和等于多少度？如图③，A 、O 、B 在同一直线上，∠1+∠2= 如图④，已知∠1=62°,∠2=118°,那么 ∠1+∠2＝ 3、图中给出的各角，那些互为余角？ 2 图 ① 90° 1 2 图 ② 1 2 ＡＯＢ图 ③ 1 2 图 ④ C O D

170? 120? 100? 150? 80? 10? 30? 60? 4、图中给出的各角，那些互为补角？ 5、 58°17′的余角是，补角是。 6、已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15°，求这个角。教学设计：

4 3 展示探究图1 图2 活动二：合作交流：（1）找一副三角板中互余的两个角。（2）说出一个锐角，同伴尝试回答一个角的余角和补角。思考：（1）是不是所有的角都有余角和补角？（2）如何求∠a的余角和补角？（3）填空： ①70°的余角是，补角是。 ②∠α（∠α<90°）的它的余角是，它的补角是。 ⅰ如何表示一个角的余角和补角锐角∠α的余角是（90 °—∠α） ∠α的补角是（180 °—∠α） ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。活动三：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2和∠4的大小有什么关系？你能说明理由吗？思考：通过以上题目，你能发现同一个角的余角有什么关系？补角之间呢？两个相等的角的余角或补角之间又有什么关系呢？结论：同角（等角）的余角相等。同角（等角）的补角相等。学生小组活动。教师到小组中与学生交流，了解学生的交流过程并给与点拨，小组派代表回答两个思考题。学生自主探究，小组交流，派代表展示结论并进行说理，其他学生互相补充。教师适时点拨。就概念进行简单训练。从求具体的一个角的余角和补角过渡到求一个用字母表示的角的余角和补角，使学生体会从特殊到一般的过程，也为下一个环节得出余角、补角的性质作铺垫。让学生亲自体验研究问题的过程，学习类比的研究方法，培养学生用合情说理的方法进行说明，进一步培养学生的推理能力，发展勇于探索、勇于创新的科学精神。

余角、补角、对顶角的概念和习题答案

余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交,构成两对对顶角。对顶角相等.对顶角与对顶角相等. 对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。补角的性质：同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。余角的性质：同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、∠3 互余（互补）吗？不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。

初一数学余角补角知识点总结

初一数学余角补角知识点总结初一数学余角补角知识点总结一、概念解释余角：两个角的和等于90°，这两个角就是互为余角。补角：两个角的和等于180°，这两个角就是互为补角。二、计算方法 1. 余角的计算方法：已知角A，那么角B是角A的余角，可以按照以下公式计算：角B = 90° - 角A 例如，如果角A的度数是30°，那么角B的度数就是90° - 30° = 60°。 2. 补角的计算方法：已知角C，那么角D是角C的补角，可以按照以下公式计算：角D = 180° - 角C 例如，如果角C的度数是45°，那么角D的度数就是180° - 45° = 135°。三、性质总结 1. 余角的性质： a. 互为余角的两个角，它们的度数相加等于90°。 b. 如果一个角的度数是a°，那么它的余角的度数是90° - a°。 c. 余角的角度之和一定等于90°。例如，角X和角Y互为余角，角X的度数是40°，那么角Y的度数是90° - 40° = 50°。 2. 补角的性质： a. 互为补角的两个角，它们的度数相加等于180°。

b. 如果一个角的度数是b°，那么它的补角的度数是180° - b°。 c. 补角的角度之和一定等于180°。例如，角P和角Q互为补角，角P的度数是70°，那么角Q的度数是180° - 70° = 110°。四、应用场景 1. 解决角度问题：在一些角度问题中，有时候我们需要求出一个角的补角或者余角，从而能够更方便地进行计算和推理。例如，已知角A的度数是30°，我们需要求角A的补角的度数，就可以使用补角的计算公式得到。角A的补角的度数= 180° - 30° = 150°。 2. 图形问题中的运用：在解决一些与图形相关的问题时，余角和补角的概念也会发挥重要作用。例如，我们需要计算一个直角三角形的一个角的余角，从而能够帮助我们求解其他相关的角度或边长问题。五、注意事项 1. 角度的范围：度数是一个表示角度大小的量，它的范围是 0°到360°之间。在计算余角和补角时，应确保角度的度数在这个范围内。 2. 角度的弧度表示：除了用度数来表示角度大小外，角度也可以用弧度来表示。弧度是一个无单位的量，它是用圆的弧长与半径的比值来表示角度的。例如，一个直角的度数是90°，它对应的弧度是π/2，即1.57。六、练习题 1. 计算以下角度的余角和补角： a. 角M的度数是20°。

(完整)余角与补角的概念

余角、补角的概念余角、补角是几何图形中两个重要的数量关系角概念，与角的位置无关．它们分别与两个特殊角直角、平角联系起来，在分析几何图形角的关系时占有十分重要的地位．借助余角、补角的概念，我们可以探究出它们很多有用的性质．由于余角、补角是数量关系角,而方程所表达的是一种相等的数量关系，因此借助方程求解余角、补角问题是最常用的思想方法．一、正确理解互余、互补 ⑴互余、互补是指两个角的数量关系，而不是三个或更多角的关系．两个角的和等于90°(直角）时,称这两个角互为余角．而三个或更多角的和也为90°（直角）时，则不能称它们互为余角．两个角的和等于180°（平角)时，称这两个角互为补角．而三个或更多角的和也为180°(平角）时，则不能称它们互为补角． ⑵余角、补角都是一种“相互”关系．如∠1、∠2互余,即∠1+∠2=90°，此时∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．同时一个角∠α的余角都可以用90°－∠α来表示． ⑶余角、补角都是数量关系角,与位置关系无关．余角、补角都是数量关系角，与位置关系无关．因此考虑两个角是否互余、互补，只考虑角的大小，而不需考虑这两个角是否有公共顶点、公共边等关系二、余角、补角性质的探究 ①两角互余，则这两个角必都为锐角； ②两角互补，则这两个角不可能同时为锐角或钝角．（只可能1锐1钝或两个角都为直角） ③一个角的余角必为锐角; ④一个角的补角可能为锐角、直角、钝角．(其中锐角的补角为钝角、钝角的补角为锐角、直角的补角还是直角．） ⑤一个锐角的补角比这个角的余角大90° ⑥同角或等角的余（补）角相等三、巧用方程求解余角、补角问题

余角与补角

个角的余角 (1)互为余角是对两个角而言的. (2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle). 小结:同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等. . 这样的两个角叫对顶角 (1)对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线. (2)对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个. 要在图形中准确地找出对顶角，需两看： (1)看是不是两条直线相交所得的角; (2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角. 1 2、如图 .如果∠1与∠ 2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等 3、阅读理解：两直线交于O。如图示。因为∠1+∠3=180o，∠2+∠3=180o①所以∠1=∠2。② 1 O 2 （1）步骤①的理解是____平角的定义_________。 3 步骤②的理解是____等量代换(或同角的补角相等)_______。

（2）由此可以得出一个重要的结论是____对顶角相等_______。对顶角相等． 4、练一练 1. 如图1，点A 、O 、B 在一条直线上， 1,=∠∠=∠BOC AOC 则图中互余的角共有____4____对. 2. 若1∠与2∠互为余角，且︒=∠371 ，则2∠=____530___ 3. 如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿54°42′＿＿＿； 4. 若1∠与2∠互为补角，︒=∠1201 ，则2∠=___600________ 5. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ 600 ） 6. 锐角的补角是__钝___角，直角的补角是___直____角，钝角的补角是_锐_角. 7. 已知α∠与β∠互补，且α∠与β∠是对顶角，则α∠=__900_ 8. 如图2直线L 1与L 2 相交于点O ，1L OM ⊥,若︒=∠44α，则____46____0=∠β 9. 如图3,直线AB 与CD 相交于点O, E 是AOD ∠内一点，已知 ,AB OE ⊥,45︒=∠BOD 则___135___0=∠COE 8、已知,24︒=∠α且α∠与β∠互补，β∠与γ∠互补，则 γ∠的余角和补角的度数分别为_____240 ____. 9、如图4，已知直线AB 、CD 相交与点O ，OA 平分︒=∠∠70,EOC EOC ,则 A B C D 45o O E 图3 图2 M O L 1 L 2 α β

(完整版)余角、补角、对顶角的概念和习题答案

余角和补角和对顶角余角: 如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 /A + /C=90 °/A= 90 ° /C , /C 的余角=90 ° /C 即:/A 的余角=90 ° /A 补角: 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角 /A + /C=180 °/A= 180 ° /C , /C 的补角=180 ° /C 即:/A 的补角=180 ° /A 对顶角: 一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。对顶角相等.对顶角与对顶角相等. 对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。补角的性质: 同角的补角相等。比如：/ A+ /B=180 °/A+ /C=180 :则:/ C= /B。等角的补角相等。比如：/ A+ /B=180 °/D+ /C=180 °/A= /D 贝U:/ C= /B。余角的性质: 同角的余角相等。比如：/ A+ /B=90 °/A+/C=90。，则：/ C= /Bo 等角的余角相等。比如：/ A+ /B=90 °/D+/C=90 °/A= ZD 贝U:/C= /Bo 注意: ①钝角没有余角; ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如/ A+ /B+ /C=90。，不能说ZA、/B、/C 互余；同样：如/ A+ /B+ /C=180。，不能说/A、/B、/C互为补角; ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90 ° 或180 °，就一定互为余角或补角。余角与补角概念认识提示: (1 )定义中的“互为”一词如何理解? 如果/1与/2互余，那么/ 1的余角是/ 2，同样/ 2的余角是/ 1 ;如果/ 1与/2互补，那么/ 1的补角是 /2 ,同样/2的补角是/ 1 o (2 )互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边? 两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。 (3 )/1 + / + /3 = 90 ° 180 ° ),能说/ 1、/2、/3 互余(互补)吗? 不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。

余角与补角

备课人：周光东使用人：评价： 2.1余角与补角学习目标：1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。 2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。学习重、难点：重点：1、余角、补角、对顶角的概念 2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等。判断是否是对顶角。学习准备预习探究探究一 1、小组讨论概括出互为余角和互为补角的概念。互为余角的概念：互为补角的概念; 2、讨论：你认为余角和补角表示的是两个角？还是两个角之间的关系？那它们表示的是两个角的数量关系，还是位置关系？ 3、想一想：在图２－１中 (1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？为什么？你能用几何语言表示出来吗？ (2)∠3与∠4有什么关系？你怎么知道的？ (3)∠1与∠2有什么关系？为什么？（4）∠AOE与∠BOD有什么关系？为什么？ 4、小组讨论余角与补角的性质：（要求学生画图并用几何语言说说）探究二：（1）用剪刀剪东西的时候，哪对角同时变大或变小？（2）如果将剪刀简单的表示为图2－3，那么∠1和∠2有什么位置关系？

（3）它们的大小有什么关系？能试着说明理由吗？（4）小组讨论得出：对顶角的概念：对顶角的性质：合作探究 1、判断下列说法是否正确（1）300，700、800的和为平角，所以这三个角互补。（）（2）一个角的余角必为锐角。（）（3）一个角的补角必为钝角。（）（4）900的角为余角。（）（5）两角是否互余既与其大小有关又与其位置有关（）（6）平面内两条直线相交于一点，必定有两对对顶角。（）（7）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3一定互余。（）（8）若∠A与∠B互余，则∠A+∠B=180°（） 2．如下图，直线AB与CD相较于O，∠EOD=90°，说出下列两角的关系，并说明理由。 3．议一议：如上图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？ 4、一个角的补角是它的余角的3倍，试求这个角。小结反思： 1、熟记（1）余角、补角的概念。（2）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。（3）对顶角的概念和“对顶角相等”。 2、反思感悟

数学余角和补角的概念

数学余角和补角的概念数学中的余角和补角是初中阶段学习的重要概念，它们在几何和三角函数中都有着重要的应用。余角和补角是角度的两个重要概念，它们在解决角度相关问题时起着至关重要的作用。本文将从数学角度对余角和补角进行详细介绍，帮助读者更好地理解这两个概念。首先，我们来看看什么是余角。余角是指一个角与90度之间的差角，也就是说，两个角的和为90度。例如，如果一个角的度数为30度，那么它的余角就是60度，因为30度加上60 度等于90度。同样地，如果一个角的度数为45度，那么它的余角就是45度，因为45度加上45度也等于90度。可以看出，余角是相对于90度的一个补充角度，它们的和总是等于90度。接下来，我们来看看什么是补角。补角是指一个角与180度之间的差角，也就是说，两个角的和为180度。例如，如果一个角的度数为40度，那么它的补角就是140度，因为40度加上140度等于180度。同样地，如果一个角的度数为60度，那么它的补角就是120度，因为60度加上120度也等于180度。可以看出，补角是相对于180度的一个补充角度，它们的和总是等于180度。在几何中，余角和补角经常用于求解角度相关的问题。例如，在直角三角形中，我们经常需要求解某个角的余角或补角来辅

助解题。在三角函数中，余角和补角也有着重要的应用。例如，正弦函数和余弦函数之间存在着余角关系，而正切函数和余切函数之间存在着补角关系。因此，在学习三角函数时，理解余角和补角的概念对于掌握相关知识非常重要。除了在几何和三角函数中的应用外，余角和补角还可以帮助我们简化计算。例如，在一些复杂的三角函数表达式中，我们可以利用余角或补角关系将其转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算。因此，掌握余角和补角的概念可以提高我们解决数学问题的效率。在实际生活中，余角和补角也有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，工程师需要根据建筑物的结构来确定各种角度，而余角和补角可以帮助他们更好地进行设计和计算。在日常生活中，我们也经常会遇到各种需要计算角度的情况，而理解余角和补角的概念可以帮助我们更好地解决这些问题。总之，余角和补角是数学中重要的概念，它们在几何、三角函数以及实际生活中都有着重要的应用。通过本文对余角和补角的介绍，希望读者能够更好地理解这两个概念，并在学习和实践中灵活运用它们。

余角与补角的计算技巧

余角与补角的计算技巧数学是一门让人爱恨交加的学科，对于很多初中生来说，数学中的一些概念和计算方法常常让他们感到头疼。其中，余角与补角的计算就是一个让很多学生困惑的问题。在本文中，我将为大家介绍一些关于余角与补角的计算技巧，希望能帮助大家更好地理解和运用这一概念。首先，我们先来了解一下余角和补角的概念。在平面几何中，两个角互为余角，当且仅当它们的和等于90度。同样地，两个角互为补角，当且仅当它们的和等于180度。余角和补角的计算是一种常见的角度计算方法，它们在解决几何问题和代数问题中都有广泛的应用。那么，如何计算余角和补角呢？我们来看一些具体的例子。例子一：已知角A的度数为40度，求角A的余角和补角。解析：余角是指与角A相加等于90度的角，补角是指与角A相加等于180度的角。因此，角A的余角为90度减去角A的度数，即90度-40度=50度；角A的补角为180度减去角A的度数，即180度-40度=140度。所以，角A的余角为50度，补角为140度。例子二：已知角B的余角为60度，求角B的度数和补角。解析：已知角B的余角为60度，根据余角的定义可知，角B的度数加上60度等于90度。因此，角B的度数为90度-60度=30度。又根据补角的定义可知，角 B的度数加上补角等于180度。所以，角B的补角为180度-30度=150度。通过以上两个例子，我们可以看出，计算余角和补角的关键在于理解其定义，并且将其与给定的角度进行运算。接下来，我将介绍一些常见的计算技巧，帮助大家更好地掌握余角和补角的计算。

技巧一：利用角度关系计算余角和补角。例如，已知角C的度数为x度，那么角C的余角为90度-x度，角C的补角为180度-x度。通过这种方法，我们可以直接得到余角和补角的度数。技巧二：利用角度关系计算余角和补角的和。例如，已知角D的余角为y度，那么角D的度数为90度-y度，角D的补角为180度-(90度-y度)。通过这种方法，我们可以直接得到角D的度数和补角的度数。技巧三：利用角度关系计算余角和补角的差。例如，已知角E的补角为z度，那么角E的度数为180度-z度，角E的余角为90度-(180度-z度)。通过这种方法，我们可以直接得到角E的度数和余角的度数。通过以上的技巧，我们可以更加灵活地计算余角和补角，解决各种与角度相关的问题。当然，在实际应用中，我们还需要结合具体的问题进行分析和推理，灵活运用这些技巧。希望通过这些技巧的介绍，能够帮助大家更好地理解和运用余角和补角的计算方法。总结起来，余角和补角的计算是数学中的一个重要概念，它在解决几何问题和代数问题中有广泛的应用。通过理解其定义和灵活运用相关的计算技巧，我们可以更好地掌握这一概念。希望本文所介绍的内容能够对中学生和他们的父母有所帮助，让大家在数学学习中更加得心应手。

七年级数学上册余角与补角

七年级数学上册余角与补角余角和补角一、教学目标 1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的性质 2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列方程)解决几何问题. 3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。二、教学重点及难点重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念. 难点：余角和补角的性质. 三、教学过程（一）创设情境，自然引入先观察如图，∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？再观察如图，∠α+∠β与∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？（让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓励）（二）设问质疑，探究尝试教师用多媒体演示∠1+∠2与Rt ∠AOB 重合，再移动一角，问∠1+∠2与Rt ∠AOB 相等吗？同样∠α+∠β与∠AOB 重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB 相等吗？通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是90°，有时两个角的和是180°，也就是两个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的概念： 1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余．反之，因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°． 2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互

为补角．简称互补．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1与∠2互补．反之，因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°．（三）归纳总结，概括知识 1、试举出互余、互补角的例子． 1 2 A O B α β A O B 2、30°与60°是互余的两角，能说30°是余角吗？ (要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变) 3、若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角．解：35°35′35″的余角为90°-35°35′35″=54°24′25″． (在计算过程中将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便) 35°35′35″的补角为180°-35°35′35″=144°24′25″． (在计算过程中将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角．) 4、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC = Rt∠,OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。 C D A O B 师生共同总结出：同角的余角相等．同理可推出：同角的补角相等再问：如果两个角相等，那么它们的余角和补角有什么关系？由此得到补角和余角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．注意：学生往往对“同角”、“等角”的认识不太清楚，在“同角”的情况时说“等角”，在“等角”的情况时说“同角”，因此要对学生强调指出：“等角是相等的角”，而“同角是同一个角”．另外，这个性质在目前的应用还不太多，但今后的应用是

余角和补角

余角和补角（第一课时）导学案（修改版）菜西七中苏红（修改：青岛七中頁奕）温馨寄语：细节在于观察，成功在于积蠶！【学习目标】： 1、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理的表达能力。 2、学会余角、补角的定义，会利用互余、互补的关系求出角的度数。 3、学会两种角的性质：1、同角（等角）的余角相等 2、同角（等角）的补角相等【学习重点和难点】：重点：认识角的互余、互补关系及其性质。难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质并能用规范的语言描述性质【学习过程】：一、动手操作、探究新知（先独立完成，再小组交流，限时6分钟）【活动1] （1）画一个直角，过这个角的顶点0,任意作射线0M,射线07把直角分成了几个角？它们的度数关系如何？ <2）在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？ 1.互为余角的定义：（1）如果两个角的和是直角，就说这两个角互为余角。也可以说其中一个角是另一个角的余角（*只体现数量关系，与位宜无关） Zl、Z2互为余角，Z1是Z2的余角，或Z2是Z1的余角（2） __________________________________________ 符号语言：如果Z1+Z2二 ,那么Z1和Z2互为余角。反之：如果Z1与Z2互为余角，那么Z1+Z2二_____________ 。（3）Zl + Z2 + Z3 = 90°，能说Zl、Z2、Z3 互余吗？温馨提示：互余指的是两个角的关系，只与它们的和有关，与其位置无关。 • • • 2.跟踪练习（独立完成，限时3分钟）（1）请你判断： ①Z1+Z2二90°则Z1是Z2的余角.（） ②互余的两个角一定都是锐角.（） ③两个锐角一定互余.（）（2）连线：图中给岀的各角，哪些互为余角？

4.5 角的比较与补(余)角例题与讲解

4.5 角的比较与补(余)角 1．角的大小比较 (1)叠合法：把一个角放在另一个角上，使两个角的顶点和一边分别重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看见两个角的大小．如果两角的另一边重合，这两个角相等；如果两角的另一边不重合，则这两个角不等，其中一个角的另一边落在另一个角的内部，则这个角比另一个角小，其中一个角的另一边落在另一个角的外部，则这个角比另一个角大． ①先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果OB与ED重合，则表示这两个角相等，如图，记作∠AOB＝∠CED. ②先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果ED落在∠AOB的外部，则表示∠AOB小于∠CED，如图，记作∠AOB＜∠CED. ③先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果ED落在∠AOB的内部，则表示∠AOB大于∠CED，如图，记作∠AOB＞∠CED. (2)度量法：用量角器量出角的度数，根据角的度数大小来判定角的大小，度数大的角大，度数小的角小，度数相等时，角相等．即角的大小和它们的度数大小一致．辨误区用叠合法比较角的大小时应注意的问题用叠合法比较角的大小时，一定要将角的另一边落在重合边的同侧．【例1－1】已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的关系是()． A．∠AOC一定大于∠BOC B．∠AOC一定小于∠BOC C．∠AOC一定等于∠BOC D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC 解析：由题可知射线OC可能在O A这一侧，那么此时∠AOC就小于∠BOC，如果射线OC在OB这一侧，那么∠AOC就大于∠BOC，如果射线OC垂直直线AB，那么∠AOC ＝∠BOC＝90°，综合所述∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC. 答案：D 【例1－2】如图有两块三角板，你能比较∠BAC与∠DEF的大小吗？