专题十二 推理与证明(试题部分)

专题十二 推理与证明

探考情 悟真题

【考情探究】

考点 内容解读

5年考情

预测 热度

考题示例

考向

关联考点

合情推理与演绎推理

①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行

简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理;③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

2019课标全国Ⅱ,5,5分 合情推理 — ★★☆

2016课标全国Ⅱ,16,5分 合情推理 —

2019课标全国Ⅰ,4,5分 合情推理

—

直接证明与间接证明 ①了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法,并了解分析法和综合法的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方法:反证法,并了解反证法的思考过程、特点

2018江苏,20,16分 直接证明

等差、等比数列 的综合应用

★★☆

分析解读

本专题在高考中主要考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,

常以不等式、立体几何、解析几何、函数

为载体,考查综合法、分析法及反证法.本专题内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属于中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属于中高档题.

破考点练考向

【考点集训】

考点一合情推理与演绎推理

1.(2019安徽六校教育研究会第一次素质测试,8)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形由正(n+2)边形扩展而来,其中n∈N*,则第n个图形的顶点个数是( )

A.(2n+1)(2n+2)

B.3(2n+2)

C.2n(5n+1)

D.(n+2)(n+3)

答案D

2.(命题标准样题,14)甲、乙、丙、丁参加一比赛,赛前甲、乙、丙分别作出预测.

甲说:乙会获得奖牌;

乙说:丙会获得金牌;

丙说:丁不会获得银牌.

比赛结果有3人分别获得金牌、银牌和铜牌,另外1人没获得奖牌.如果甲、乙、丙中有一人获得了金牌,而且只有获得金牌的那个人预测正确,则获得金牌的是.

答案甲

3.(2019广东珠海期末,14)某班级的四位学生A、B、C、D参加了文科综合知识竞赛,在竞赛结果公布前,地理老师预测得冠军的是A或B;历史老师预测得冠军的是C;政治老师预测得冠军的不可能是A或D;语文老师预测得冠军的是B,而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了,则得冠军的是.

答案C

考点二直接证明与间接证明

1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a

A.c-b>0

B.c-a>0

C.(c-b)(c-a)>0

D.(c-b)(c-a)<0

答案C

2.(2020届河南许昌质量检测,7)用反证法证明命题“已知x,y∈N*,如果xy可被7整除,那么x,y至少有一个能被7整除”时,假设的内容是( )

A.x,y都不能被7整除

B.x,y都能被7整除

C.x,y只有一个能被7整除

D.只有x不能被7整除

答案A

炼技法提能力

【方法集训】

方法 归纳推理与类比推理的应用

1.(2019江西吉安教学质量检测,9)斐波那契数列又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在数学上,斐波那契数列{a n }定义为a 1=1,a 2=1,a n+2=a n +a n+1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据a n+2=a n +a n+1可得a n =a n+2-a n+1,所以a 1+a 2+…+a n =(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n+2-a n+1)=a n+2-a 2=a n+2-1,类比这一方法,可得a 12+a 22+…+a 102

=( )

A.714

B.1 870

C.4 895

D.4 896 答案 C

2.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+1

2

2<3

2

,1+1

2

2+1

3

2<53

,1+1

2

2+1

3

2+1

4

2<74

,……,照此规律,第五个不等式

为 . 答案 1+1

2

2+1

3

2+1

4

2+1

5

2+1

6

2<116

【五年高考】

A 组 统一命题·课标卷题组

1.(2019课标全国Ⅰ,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

√5-1

2√5-1

2

≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-1

2

.若某人满

足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )

A.165 cm

B.175 cm

C.185 cm

D.190 cm

答案 B

2.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和

3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 答案 1和3

B 组 自主命题·省(区、市)卷题组

考点一 合情推理与演绎推理

1.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-12=12

1-12+13-14=13+14

1-12+13-14+15-16=14+15+1

6

……

据此规律,第n 个等式可为 . 答案 1-12+13-14

+…+

12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12)

2.(2016山东,12,5分)观察下列等式: (sin π3)-2+(sin 2π3)-2=4

3

×1×2; (sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=4

3×2×3; (sin π7)-2+(sin 2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=4

3×3×4; (sin π9

)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=4

3

×4×5; …… 照此规律, (sin

π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1

)-2= .

答案

4n(n+1)3

3.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12

考点二 直接证明与间接证明

(2018江苏,20,16分)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;

(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1,√2m

],证明:存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示). 答案 (1)由条件知a n =(n-1)d,b n =2n-1. 因为|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立.

即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得73

≤d ≤52

. 因此,d 的取值范围为[73,52

].

(2)由条件知:a n =b 1+(n-1)d,b n =b 1q n-1.

若存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b 1+(n-1)d-b 1q n-1|≤b 1(n=2,3,…,m+1).

即当n=2,3,…,m+1时,d 满足q n -1-2n -1b 1≤d ≤q n -1

n -1

b 1. 因为q ∈(1,√2m

], 所以1

q n -1-2n -1b 1≤0,q n -1

n -1

b 1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.

因此,取d=0时,|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列{

q n -1-2n -1}的最大值和数列{q n -1

n -1

}的最小值(n=2,3,…,m+1). ①当2≤n ≤m 时,q n -2n -q n -1-2n -1=nq n -q n -nq n -1+2n(n -1)=n(q n -q n -1)-q n +2

n(n -1)

,

当

1

m 时,有

q n ≤q m ≤2,

从而n(q n -q n-1)-q n +2>0. 因此,当2≤n ≤m+1时, 数列{q n -1-2

n -1

}单调递增, 故数列{

q n -1-2n -1}的最大值为q m -2m

. ②设f(x)=2x (1-x),当x>0时,f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x <0. 所以f(x)单调递减, 从而f(x)

时,q n n q n -1n -1

=q(n -1)n ≤21

n (1-1n )=f (1n )<1. 因此,当2≤n ≤m+1时,数列{q n -1

n -1

}单调递减, 故数列{

q n -1n -1}的最小值为q m

m

. 因此,d 的取值范围为[b 1(q m -2)m ,b 1q m

m

].

C 组 教师专用题组

考点一 合情推理与演绎推理

1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.

学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次)

63

a

75

60

63

72

70

a-1

b

65

在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B

2.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为 . 答案 A

3.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a ≠2;②b=2;③c ≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于 . 答案 201

4.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率. (1)求p(100);

(2)当n ≤2 014时,求F(n)的表达式;

(3)令g(n)为这个数中数字0的个数, f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p(n)的最大值.

答案 (1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=11192

. (2)F(n)={

n, 1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1 107,1 000≤n ≤2 014.

(3)当n=b(1≤b ≤9,b ∈N *)时,g(n)=0;

当n=10k+b(1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N )时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11,

即g(n)={0, 1≤n ≤9,

k,n =10k +b,1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N,11,n =100.

同理有f(n)

={

0, 1≤n ≤8,k,n =10k +b -1,n -80,89≤n ≤98,20,n =99,100.

1≤k ≤8,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N , 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90. 所以当n ≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当n=9时,p(9)=0; 当n=90时,p(90)=

g(90)F(90)=9171=1

19

; 当n=10k+9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p(n)=g(n)F(n)=k 2n -9=k

20k+9

,由于y=

k

20k+9

关于k 单调递增,故当n=10k+9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p(n)的最

大值为p(89)=8169

. 又

8169<1

19

,所以当n ∈S 时,p(n)的最大值为119

.

5.(2014天津,20,14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i

∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;

(2)设s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n

(2)证明:由s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n 及a n

(q -1)(1-q n -1)1-q

-q n-1

=-1<0. 所以,s

考点二 直接证明与间接证明

1.(2016浙江,20,15分)设函数f(x)=x 3+1

1+x

,x ∈[0,1].证明: (1)f(x)≥1-x+x 2; (2)34

< f(x)≤32

.

证明 (1)因为1-x+x 2-x 3=1-(-x)41-(-x)=1-x 4

1+x

, 由于x ∈[0,1],有1-x 41+x ≤1

x+1

, 即1-x+x 2-x 3≤

1x+1

, 所以f(x)≥1-x+x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x, 故f(x)=x 3+

1x+1≤x+1x+1=x+1x+1-32+32=(x -1)(2x+1)2(x+1)+32≤32

, 所以f(x)≤32

.

由(1)得f(x)≥1-x+x 2=(x -12

)2+34

≥34

, 又因为f (12

)=1924>34

, 所以f(x)>34. 综上,3

4

2.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若T=?,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =a t 1+a t 2+…+a t k .例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)对任意正整数k(1≤k ≤100),若T ?{1,2,…,k},求证:S T

所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *. (2)因为T ?{1,2,…,k},a n =3n-1>0,n ∈N *,

所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k-1=12

(3k -1)<3k . 因此,S T

(3)下面分三种情况证明.

①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D . ②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集. 令E=C ∩?U D,F=D ∩?U C, 则E ≠?,F ≠?,E ∩F=?.

于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l. 由(2)知,S E

从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l-1=

3l -12≤3k -1-12=a k -12≤S E -1

2, 故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1,即S C +S C ∩D ≥2S D +1. 综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .

【三年模拟】

时间:45分钟 分值:60分

一、选择题(每小题5分,共45分)

1.(命题标准样题,3)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p, p+2)称为孪生素数.则由不超过20的素数组成的孪生素数共有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

答案 C

2.(2018广东六校第三次联考,10)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况,得到如下结果:

①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟;②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟. 根据上述调查结果,下列结论错误的是( ) A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生 B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样 C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟 答案 D

3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),6)平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,……,则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A.16

B.20

C.21

D.22

答案 D

4.(2020届宁夏大武口质量检测,4)大前提:奇函数的图象关于原点对称,小前提:f(x)=1x

是奇函数,结论:f(x)=1x

的图象关于原点对称,则推理过程( )

A.正确

B.因大前提错误导致结论错误

C.因小前提错误导致结论错误

D.因推理形式错误导致结论错误

答案A

5.(2020届河南南阳质量检测,8)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,已知第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列

2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前56项和为( )

A.2060

B.2038

C.4084

D.4108

答案C

6.(2019安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会第二次联考,12)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是( )

(1)若a2+b2π

2;(2)若ab>c2,则C>π

3

;

(3)若a3+b3=c3,则C<π

2;(4)若2ab>(a+b)c,则C>π

2

;

(5)若(a2+b2)c2<2a2b2,则C<π

3

.

A.(1)(2)(3)

B.(1)(2)(5)

C.(1)(3)(4)

D.(1)(3)(5)

答案D

7.(2020届河南新乡质量检测,7)从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于

是向三位司机咨询,司机甲说:“2号路线不堵车,3号路线不堵车.”司机乙说:“1号路线不堵车,2号路线不堵车.”司机丙说:“1

号路线堵车,2号路线不堵车.”如果三位司机中只有一位的说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是( )

A.1号路线

B.2号路线

C.3号路线

D.2号路线或3号路线

答案B

8.(2020届江西临川质量检测,8)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三

项是20,21,22,依此类推,若该数列前n项和N满足:①N>80;②N是2的整数次幂,则满足条件的最小的n为( )

A.21

B.91

C.95

D.101

答案C

9.(2020届河南安阳质量检测,6)中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像

阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、万位、……用纵式表示,十位、千位、十万位、……用横式表示,则56846可用算筹表示为( )

答案B

二、填空题(每小题5分,共15分)

10.(2019广东惠州模拟,15)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”,该数表的规律是每行首尾数字均为1,从第三行开始,其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角形中的奇数换成1,偶数换成0,得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表,由上往下数,记第n行各数字的和为S n,如S1=1,S2=2,S3=2,S4=4,S5=2,……,则S33= .

答案2

11.(2018河北衡水中学模拟,16)数列{a n}满足a n+1={1

2

a n,a n是正偶数,

3a n+1,a n是正奇数,

已知a7=2,{a n}的前7项和的最大值为S,把a1的所有可

能取值从小到大排成一个新数列{b n},{b n}所有项的和为T,则S-T= .

答案64

12.(命题标准样题,15)两位同学在研究三角形时,分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”,你认为这两位同学的刻画方式更合理的是;请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式:

. 答案三角形的周长;三角形最长边的长度、三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和(其他合理答案均可)