数列与不等式知识点及练习(唐)
数列与不等式
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法:
①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法:
①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112
-+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a )
(2)在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足??
?
≤≥+0
01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足??
?≥≤+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法:
(1)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项:①;②
{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①
;②(4)造等差、等比数列求通项:;②;③;④.第一节通项公式
常用方法题型1 利用公式法求通项
例1:1.已知{a n }满足a n+1=a n +2,而且a 1=1。求a n 。
2.已知为数列{}n a 的前项和,求下列数列{}n a 的通项公式: ⑴ ;
⑵.总结:任何一个数列,它的前项和n S 与通项n a 都存在关系:
???≥-==-)
2()
1(11
n S S n S a n n n 若1a 适合n a ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例2:⑴已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式;
⑵已知为数列{}n a 的前项和,,,求数列{}n a 的通项公式.
总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“”; 迭乘法适用于求递推关系形如
“
“;⑵迭加法、迭乘法公式:①
??
?≥-==-)
2()111n S S n S a n n n ()(1n f a a n n +=+).(1n f a a n n =+q pa a n n +=+1n n n q pa a +=+1)(1n f pa a n n +=+n n n a q a p a ?+?=++12n S n 1322
-+=n n S n 12+=n
n S n )2(12,211≥-+==-n n a a a n n n S n 11=a n n a n S ?=2
)(1n f a a n n +=+)
(1n f a a n n ?=+11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
② . 题型3 构造等比数列求通项
例3已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法: ①令;② 在中令,;
③由得,. 例4已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式.
总结:递推关系形如“”通过适当变形可转化为:“”或“求解.
数列求和的常用方法
一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式: 3.
4、 5.
二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列,c 为常数;部分无理
数列、含阶乘的数列等。例2 求数列
的前n 项和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
11
22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=
----- 32,111+==+n n a a a q pa a n n +=+1)(1λλ-=-+n n a p a q pa a n n +=+1p
q
x x a a n n -=
?==+11∴)(1x a p x a n n -=-+q pa a n n +=+1q pa a n n +=-1∴)(11-+-=-n n n n a a p a a n
n n a a a 32,111+==+n
n n q pa a +=+1q pa a n n +=+1n
n n n f a a )(1+=+d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
?????≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n )1(211+==∑=n n k S n
k n )12)(1(61
1
2++==∑=n n n k S n
k n 21
3)]1(21
[+==∑=n n k S n
k n ?
??
??
?
+1n n a a c n a )
1(n 1
+n
(1)(2))
1
21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n (3)])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
三.错位相减法:可以求形如的数列的和,其中为等差数列,为等比数列.
例1:求和:. 例2:数列1,3x ,5x 2,…,(2n-1)x
n-1
前n 项的和.
小结:错位相减法类型题均为:
n
n
a b 等差数列等比数列连续相加。四.常用结论
1)1+2+3+...+n =
2
)
1(+n n 2) 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3)2
3
3
3
)1(2121??
?
???+=+++n n n 4))12)(1(613212222++=++++n n n n 5)
111)1(1+-=+n n n n )
21
1(21)2(1+-=+n n n n
重要不等式
1、和积不等式:(当且仅当时取到“”).
【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】
, 2、均值不等式:两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);
若0x <,则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”)
若0x ≠,则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)
111)1(1+-=+=n n n n a n ,a b R ∈?22
2a b ab +≥a b ==222()22
a b a b ab ++≤≤22
2()22a b a b ab ++==(,)2
a b
a b R ++∈2()(,)2a b ab a b R +∈≤b a 、≥≥≥2
2“”112ab a b a b a b a b
+===++时取)
*.若0>ab ,则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”)
若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取
“=”) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数):
(,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时,
ab b a 222≥+同时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a
a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b
a -≥22
八种变式:①222b a ab +≤;②2
)2(b a ab +≤;③2
)2(222b a b a +≤+ ④)(22
2
b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b
a -≥22;⑥a>0,b>0,则
b a b a +≥+4
11;
⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+;⑧若0≠ab ,则2
22)11(2111b a b
a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“
b a =”。
放缩不等式:
①,则. 【说明】:
(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③
; ④
,. ⑤,
函数
()(0)b
f x ax a b
x
=+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a x
b
ax x f 、图象如图:
3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立时取等或0=++==c b a c b a 3a b c ++?3(
)3a b c abc ++≤3333
a b c ++≤00
a b a m >>>>,b m b b m
a m a a m
-+<<-+b b m a a m
+<+0,0a b m >>>,则,,000>>>>n m b a b
a
n b n a m a m b a b <++<<++<
1,,a b c R +
∈b d a c
+<<+n N +∈<
<,1n N n +∈>211111
11n n n n n
-
<<-+-ln 1x x -≤(0)x >1x
e x +≥()x R ∈
(2)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ;
②单调递增区间:(,-∞
,)+∞
;单调递减区间:
,[0) 最值定理
(积定和最小)
①
,则当时和有最小值
(和定积最大)
②
,则当是积有最大值
. 【推广】:已知,则有.
(1)若积是定值,则当最大时,最大;当最小时,最
小.
(2)若和是定值,则当最大时,最小;当最小时,最大.
③已知,若,则有则
的最小值为:
④已知,若则和
的最小值为:
②
.
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”:
⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当时,求函的数最大值.
⑵凑项(加、减常数项):例2.已知,求函数的最大值. ⑶调整分子:例3.求函数的值域; ⑷变用公式:基本不等式有几个常用变形,,不易想到,应重视; 例4.求函数的最大值;
,0,x y x y >+≥由()xy P =定值x y =x y +,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值x y =xy 214
s R y x ∈,xy y x y x 2)()(2
2+-=+xy ||y x -||y x +||y x -||y x +||y x +||y x -||xy ||y x -||xy ,,,R a x b
y +
∈1ax by +
=2
11
11()())by ax ax by
a b a b ab a b x y x y x y
+=++=+++++=≥04x <<(82)y x x =-54x <
1()4245f x x x =-+-2710
()(1)1x x f x x x ++=
≠-+2a b +≥2
a b
+≥222
()22
a b a b ++≥15
()22
y x =<<
⑸连用公式:例5.已知,求的最小值;
⑹对数变换:例6.已知,且,求的最大值; ⑺三角变换:例7.已知,且,求的最大值;
⑻常数代换(逆用条件):例8.已知,且,求的最小值 1、数列95
,74,53,32,
1的一个通项公式n a 是() A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、3
2+n n
2、已知等比数列{}n a 的公比为正数,且2
4282a a a =,11=a 则()
A 、
B 、2
C 、
2
2
D 、21
3、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02
564=-+a a a 则=9S ()
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20 4、已知)1,0(,21∈a a ,记21a a M =,121-+=a a N 则M 与N 的大小关系() A 、M
5、若01
1<
c a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中
正确的是() A 、(1)(2) B 、(2)(3) C 、(1)(3) D 、(3)(4)
6、不等式
121
3≥--x x 的解集是() A 、??????≤≤243x x B 、??????<≤243x x C 、?
??
?
??
≤
>432x x x 或 D 、{}2 5,9a S a S ==则() A 、1 B 、1- C 、2 D 、 12 8、在的条件下,,00>>b a 三个结论:①22b a b a ab +≤+,②,2 22 2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2 2,其中正确的个数是() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 9、目标函数y x z +=2,变量y x ,满足?? ? ??≥<+≤+-125530 34x y x y x ,则有 () A 、3,12min max ==z z B 、,12max =z z 无最小值 C 、z z ,3min =无最大值 D 、z 既无最大值,也无最小值 10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立, 0a b >>2 16 () y a b a b =+-1 ,12 x y > >xy e =ln (2)y t x =2 0y x π << ≤tan 3tan x y =t x y =-0,0a b >>21a b +=11 t a b = +=2a 2 则() A 、11<<-a B 、20< C 、2 321<<- a D 、2 1 23<<- a 二、填空题:(每小题5分,共25分) 11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和=4S ___________ 12、 等比数列{}n a 的前n 项和n S ,又2132S S S +=,则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ,则xy 的最大值为___________ 14、实数x 、y 满足不等式组??? ??≥-≥≥0 01 y x y x ,则W=x y 1-的取值范围是_____________ 15、关于x 的不等式2 11(1)0(0)x a x a a a a -++++<>的解集为 三、解答题: 16、(本小题满分12分)等比数列{}n a 中,已知16,241==a a , (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项, 试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S . 17、(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =- (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 求n S 的最大或最小值. 18、(本小题满分12分)已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =,),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若 n n a C =·n n b 2+, (1)求数列{}n C 的通项公式; (2)求数列{}n C 的前n 项和n S . 19、(本小题满分12分)在数列{}n a 中,n n n a a a 22,111+==+ (1)设1 2 -= n n n a b ,证明:数列{}n b 是等差数列;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 20、(本小题满分13分)某房地产开发商投资81万元建一座写字楼,第一年装修费为1 万元,以后每年增加2万元,把写字楼出租,每年收入租金30万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以10万元出售该楼,问哪种方案盈利更多? 21、(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足:1 11 2,2-- ==n n a a a , ,4,3,2=n , (1) 求证:数列? ?? ?? ?-11n a 为等差数列; (2) 求数列{}n a 的通项公式; (3)令∑=+=n i i i n a a T 11 ,求证:43 + B A B B C BADCC 二、填空题:(每小题5分,共25分) 11、 215 12、2 1- 13、81 14、 [-1,1) 15、1 (1,)a a + 三、解答题: 16、解:(1)设公比为q ,则n n n q a a q q 2,2,216113==∴=∴=------------------------6分 (2)由(1)得,32,853==a a 则12,32,853===d b b 2812-=∴n b n n n S n 2262-=-----------------------(12分) 17、解:(1)当n=1时,4711-==S a 当n ≥2时,4921-=-=-n S S a n n n 故492-=n a n (2)由248n S n n =-576)24(2--=n ,于是n S 有最小值是-576,此时24=n ;无最大值。------------12分 18、(1)n n a C =·n n b 2+122sin 22cos 2+=++=n n n n θθ),(*N n ∈------------6分 (2) 22)12(2)222(12-+=+-=++++=+n n n S n n n n )(*N n ∈------------12分 19、解:(1)由n n n a a 221+=+得 1221 1+=-+n n n n a a }{11n n n b b b ∴=-∴+是等差数列- n n n S 223222232?+???+?+?+=-----------------------8分 (1)-(2)n n n n S 22 2211 2 ?-+???+++=-- = n n n n n n 2222 121?-=?--- 1)1(2+-=∴n S n n ----------------------12分 20、解:(1)设第n 年获取利润为y 万元 n 年共收入租金30n 万元,付出装修费构成一个以1为首项,2为公差的等差数列, 共222 ) 1(n n n n =?-+ 因此利润)81(302n n y +-=,令0>y 解得:273< (2)方案一:年平均利润n n n n n W --=+-= 81 30)81(302 1281230=-≤(当且仅当n n =81 ,即n=9时取等号) 所以9年后共获利润:12469+?=154(万元) 方案二:利润144)15()81(302 2+--=+-=n n n y 所以15年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.-------------------------13分 21 数列与不等式测试题 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分;共60分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 不等式1 x x > 成立的一个充分不必要条件是() A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0 7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ). A. 12 B. 1 2 - C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n = -+,前n 项和为9 19 ,则项数n 为( ) A. 7 B.8 C. 9 D. 10 9. 在等差数列{}n a 中,若9418,240,30n n S S a -===,则n 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,100S >并且110S =,若n k S S ≤对n N *∈恒成立,则正 整数k 构成集合为 ( ) A .{5} B .{6} C .{5,6} D .{7} 11.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于它后面两项的和,则其公比是( ) A. 212-12 12.若a 是12b +与12b -的等比中项,则 22ab a b +的最大值为() A. 12 B.4 C.5 D.2 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.公差不为0的等差数列{}n a 中,2 37 11220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则68b b = . 三角函数、数列、不等式练习题 命题人:刁化清 一、选择题 1.对于任意的实数,,a b c ,下列命题正确的是 A .若22bc ac >,则b a > B .若0,≠>c b a ,则bc ac > C .若b a >,则 b a 11< D .若b a >,则22b c ac > 2. 设0 C .0()0f x < D .)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列{n a }中,若,8171593=+++a a a a 则=11a ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8.已知等差数列前n 项和为n S ,且,则13S 的值为 A .13 B .26 C .8 D .162 9.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 10=2,S 30=14,则S 40等于( ) A .80 B .30 C .26 D .16 10.在ABC ?中,角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、,若2cos a c B =,则ABC ?的形状为 A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 数列与不等式专题练习 一、选择题 1.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于( ) A .66 B .99 C .144 D .297 2.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为( ) A .81 B .120 C .168 D .192 3.12+与12-,两数的等比中项是( ) A .1 B .1- C .1± D .2 1 4.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ,那么2113 -是此数列的第( )项 A .2 B .4 C .6 D .8 5.在公比为整数的等比数列{}n a 中,如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为( ) A .513 B .512 C .510 D .8 225 6.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A .4- B .6- C .8- D .10- 7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5 935,95S S a a 则( ) A .1 B .1- C .2 D . 21 8.若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列,则x 的值等于( ) A .1 B .0或32 C .32 D .5log 2 9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是( ) A .15(0,)2+ B .15(,1]2- C .15[1,)2+ D .)2 51,251(++- 10.在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .等腰直角三角形 D .以上都不对 11.在等差数列{}n a 中,设n a a a S +++=...211,n n n a a a S 2212...+++=++,n n n a a a S 322123...+++=++,则,,,321S S S 关系为( ) A .等差数列 B .等比数列 C .等差数列或等比数列 D .都不对 12.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log ...log a a a +++=( ) A .12 B .10 C .31log 5+ D .32log 5+ 一.方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题,难度较大,求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析. 二.解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足,,数列满足,记数列的前项和为,若对于任意的,,不等式恒成立,则实数的取值范围为() A.B. C.D. 【答案】A 【解析】 由题意得,则,等差数列的公差, . 由, 得, 则不等式恒成立等价于恒成立, 而, 问题等价于对任意的,恒成立. 设,, 则,即, 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题,仍要转化为求最值的问题求解,解答本题的关键是由等差数列通项公式可得,进而由递推关系可得 ,借助裂项相消法得到,又 ,问题等价于对任意 的 , 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =,其前n 项和为n S ,且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈,若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立,则a 的取值范围是( ) A .()3,5 B .()4,6 C .[)3,5 D .[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 , ,则使 的正整数的最小值是( ) A .2018 B .2019 C .2020 D .2021 数列与不等式复习题(一) 1.数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 ( ) A .43-=n a n B .43+-=n a n C .()43)1(--=n a n n D .()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中,122,211=-=+n n a a a ,则101a 的值为( ) A .49 B .50 C .51 D .52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为( ) A .15. B .17. C .19. D .21 4.不等式01 31 2>+-x x 的解集是 ( ) A .}21 31|{>- 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项:①;②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①;②(4)造等差、等比数列求通项:;②;③;④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1:1.已知{a n }满足a n+1=a n +2,而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和,求下列数列{}n a 的通项公式: ⑴ ; ⑵.总结:任何一个数列,它的前项和n S 与通项n a 都存在关系:???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ,则把它们 统一起来,否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项 例2:⑴已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式; ⑵已知为数列{}n a 的前项和,,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“”; 迭乘法适用于求递推关系形如““;⑵迭加法、迭乘法公式:① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法: ①令;② 在中令,;③由得,. 例4已知数列{}n a 中,,求数列{}n a 的通项公式. 总结:递推关系形如“”通过适当变形可转化为: “”或“求解. 数列求和的常用方法 高一数学检测卷(十一) 一、选择题 1. a ∈R ,且a 2+a <0,那么-a ,-a 3,a 2的大小关系是( ) A .a 2>-a 3>-a B .-a >a 2>-a 3 C .-a 3>a 2>-a D .a 2>-a >-a 3 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 3.已知x ,y ∈R + ,2x +y =2,c =xy ,那么c 的最大值为( ) A .1 B.12 C.22 D.14 4.设{}n a (n ∈N * )是等差数列,S n 是其前n 项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误..的是( ) A .d <0 B .a 7=0 C .S 9>S 5 D .S 6与S 7均为S n 的最大值 5.若数列{x n }满足lg x n +1=1+lg x n (n ∈N +),且x 1+x 2+x 3+…+x 100=100, 则lg(x 101+x 102+…+x 200)的值为( ) A .102 B .101 C .100 D .99 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1,a 3,a 9成等比数列,则 a 1+a 3+a 9 a 2+a 4+a 10 等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516 8.在平面直角坐标系中,不等式组???? ? x +y ≥0x -y +4≥0 x ≤1 表示的平面区域面积是( ) A .3 B .6 C.9 2 D .9 数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答(1) 1.已知数列{}n a 的前n 项积为n T ,{}n T 为等差数列,且1324a T ==,. (1)求n a ; (2)证明: 112233 1111 ln(1)n n n a T a T a T a T ++++ <+. 2.已知数列{}n a 满足11a =,点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =, 121 111n n n c a a a a -=++???+(2n ≥且n *∈N ). (1)求{}n a 的通项公式; (2)(i )求证:11 1n n n n c a c a +++=(2n ≥且n N ∈); (ii )求证:231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????. 3.已知{}n a 是无穷数列.给出两个性质: ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >,在{}n a 中都存在一项m a ,使2 i m j a a a =; ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ,在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >.使得2k n l a a a =. (Ⅰ)若(1,2, )n a n n ==,判断数列{}n a 是否满足性质①,说明理由; (Ⅱ)若1 2(1,2, )n n a n -==,判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②,说明理由; (Ⅲ)若{}n a 是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{}n a 为等比数列. 4.设数列{}n a 的前n 项的积为n T ,满足1n n T a =-,*N n ∈,记222 12n n S T T T =++???+ (1)证明:数列11n a ?? ??-? ?是等差数列; (2)记1n n n d a S +=-,证明:11 32 n d << 数列及不等式综合测试卷 测 试 卷 第I 卷(选择题) 一、选择题 1.下列不等式中成立的是( ) A .若a b >,则2 2 ac bc > B .若 a b >,则2 2 a b > C .若0a b <<,则2 2 a ab b << D .若 a b <<,则11 >a b 2.下列命题中,正确的是( ) A.若b a >,d c >,则bd ac > B.若bc ac >,则b a > C.若2 2 c b c a < ,则b a < D.若b a >,d c >, 则d b c a ->- 3.设1 1 1 () ()122 2 b a <<<,那么 A . a b a b a a << B .b a a a b a << C .a a b b a a << D .a a b a b a << 4.设3log π =a ,3 .02=b ,6 sin log 3π =c ,则 A .c b a >> B .b a c >> C .c a b >> D .a c b >> 5.若正数a, b 满足3a+4b=ab ,则a+b 的最小值为( ) A .6+2 B .7+2 C .7+4 D .7-6.在等比数列{}n a 中,若1 2 a =,2 50 a a +=,{}n a 的n 项 和为n S ,则2015 2016S S += ( ) A .4032 B .2 C .2- D .4030- 7.等比数列{}n a 中,4 52,5 a a ==,则数列{lg }n a 的前 8项和等于( ) A .6 B .5 C .3 D .4 8.已知}{n a 是首项为32的等比数列,n S 是其前n 项 和,且 64 65 36=S S ,则数列|} log {|2 n a 前10项和为 ( ) A.58 B.56 C.50 D.45 9.已知等比数列{}n a ,且4 82, a a +=则6 2 610(2) a a a a ++的 值为( ) A .4 B .6 C .8 D .10 10.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数,对任意实数 ,x y R ∈,都有()()()f x f y f x y ?=+,若 ()()11 ,2 n a a f n n N *==∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值 范围是( ) A. 1,22????? ? B. 1,22????? ? C. 1,12????? ? D. 1,12????? ? 数 列 与 不 等 式 测 试 题 班级:___________ 姓名:___________ 得分:___________ 一、选择题:(每小题5分,共50分) 1、数列95 ,74,53,32, 1的一个通项公式n a 是( ) A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、3 2+n n 2、已知等比数列{}n a 的公比为正数,且2 4282a a a =,11=a 则=2a ( ) A 、2 B 、2 C 、 2 2 D 、21 3、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02 564=-+a a a 则=9S ( ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知)1,0(,21∈a a ,记21a a M =,121-+=a a N 则M 与N 的大小关系( ) A 、M 数列向量不等式测试卷 一.选择题 1.不等式11<-x 的解为( ) A.0 期中考试练习题数列不等式 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:数列与不等式测试题及答案
三角函数、数列、不等式练习题练习题1
数列与不等式专题练习[1]
专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题(解析版)
数列与不等式复习题
数列与不等式知识点及练习
数列与不等式测试卷
数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答(1)
数列及不等式综合测试卷
高中数学:数列与不等式测试题新课标人教A版必修5
数列_不等式_向量综合测试题
期中考试练习题数列不等式