最新排列组合二项式定理单元测试题(带答案)

排列、组合、二项式定理与概率测试题（理）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可以

用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种

2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ）

A ．96种

B ．180种

C ．240种

D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ）

A ．12种

B ．20种

C ．24种

D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）

A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod

m )。已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·

219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.2006

6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种

7、令1

)

1(++n n x a 为的展开式中含1

-n x

项的系数，则数列}1

{

n

a 的前n 项和为 （ ）

A ．

2)

3(+n n B ．

2)

1(+n n C ．

1+n n D ．

1

2+n n

8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）

A ．32

B ．1

C ．-1

D ．-32

9、二项式2

3n

x ?

?

*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （ ）

A 5

B 6

C 7

D 8

10、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）

A ．150种

B ．147种

C ．144种

D ．141种 11、两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合影留念，要求排成

一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有 （ ） A ．1440 B ．960 C ．720 D ．480 12、若x ∈A 则

x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，2

1

，1，2，3，4} 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）

A ．15

B ．16

C ．28

D ．25

二、填空题(每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种． 14、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．

15、已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ，则01n C a +1

2n C a + +33n C a +n n n C a 1+=

16、对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，

n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．

三、解答题(本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后1小题14分，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)

17、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？

18、设m，n∈Z＋，m、n≥1，f(x)=(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中，x的系数为19．

（1）求f(x)展开式中x2的系数的最值；

（2）对于使f(x)中x2的系数取最小值时的m、n的值，求x7的系数．

19、7位同学站成一排．问：

(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?

(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?

(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?

(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?

20、已知(

n

x的展开式中前三项的系数成等差数列．

（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

21、由0，1，2，3，4，5这六个数字。

（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（3）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？

22、规定=x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且=1，这是排列数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．

（1）求的值；

（2）排列数的两个性质：①，②．(其中m ，n 是正整

数)是否都能推广到

(x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证

明；若不能，则说明理由．

参考答案

1、C

2、C

3、C

4、B

5、 B

6、C

7、 D

8、 A

9、 C 10、D 11、B

12、A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，

21、2，3

1

、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 1

4+ C 2

4+ C 3

4+ C 4

4=15, 选A ．

13、34 14、1008 15、n n 32 16、①②③④ 点拨：(2005!!)×(2006!!)

17、解： 设男生有x 人，则女生有8－x 人，依题意，，

∴(8－x)·6=180，x 3－9x 2＋8x ＋60=0，

x 3－5x 2－(4x 2－20x)－(12x －60)=0， (x －5)(x 2－4x －12)=0，

∴x 1=5，x 2=6，x 3=－2(舍去)． ∴男生5人，女生3人；或男生6人，女生2人．

18、解：

=19，即m ＋n=19．∴m=19－n

(1)设x 2的系数为T==n 2－19n ＋171 =(n －)2＋171－．

∵n ∈Z ＋，n ≥1， ∴当n=1或n=18时，T max =153，当n=9或10时，T min =81； (2)对于使f(x)中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值，

即f(x)=(1＋x)9＋(1＋x)10 从而x 7的系数为．

19、 (1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有

种方法．所以

这样的排法一共有

种．

(2)

方法同上，一共有种．

(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种

方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行

排列有

种方法．所以这样的排法一共有

种方法．

(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有2个元素，∴一共有排法种数：

(种)．

20、解：（Ⅰ）由题设，得 02

111C C 2C 42

n n n +?=??， 即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1

（舍去）．

（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22r

r r r r r r r ++--???????≥，≥ 即1182(1)

11.291

r r r ??-+????-?≥，≥ 解得r ＝2或r

＝3．所以系数最大的项为5

37T x =，9

2

47T x =．

21、解：（1）1355300A A = (2)31125244156A A A A +=(3) 3121

54431112A A A A +++=

22、(1) =(－15)(－16)(－17)=－4080；(2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是：

①，②(x∈R，m∈N＋)

事实上，在①中，当m=1时，左边==x，右边==x，等式成立；

当m≥2时，左边=x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)=x[(x－1)(x－2)…((x－1)－(m－1)＋

1)]= 因此，①成立；在②中，m=1时，左边==右边，等式成立；当m≥2时，左边

=x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＋mx(x－1)(x－2)…(x－m＋2)

=x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m]=(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1] ==右边，因此②(x∈R，m∈N＋)成立．